統計検定 1級 2023年 統計数理 問2 確率変数変換

本稿には、2023年に実施された統計検定1級『統計数理』 問2の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕カイ2乗分布の確率密度関数の概形

与えられた確率密度関数に $k=1,2,3$ を代入すると、$0\le y$ の範囲において、 $$\begin{array}{r}{f}_1\left(y\right)=\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)}{y}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{y}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{\sqrt{y}}{e}^{-\frac{y}{2}}\\ f_2\left(y\right)=\frac{1}{2\mathrm{\Gamma }\left(1\right)}{y}^0{e}^{-\frac{y}{2}}=\frac{1}{2}{e}^{-\frac{y}{2}}\\ f_3\left(y\right)=\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)}{y}^{\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{y}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sqrt{y}{e}^{-\frac{y}{2}}\end{array}$$ それぞれの1階微分を求めると、 $$\begin{array}{rl}{f}_1^{\prime }\left(y\right)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}(e^{-\frac{y}{2}}\cdot \frac{1}{dy}{y}^{-\frac{1}{2}}+y^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{dy}{e}^{-\frac{y}{2}})\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}(-\frac{1}{2}{y}^{-\frac{3}{2}}{e}^{-\frac{y}{2}}-\frac{1}{2}{y}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{y}{2}})\\ & =-\frac{1}{2\sqrt{2\pi }}\frac{1}{\sqrt{y}}{e}^{-\frac{y}{2}}(\frac{1}{y}+1)\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{f}_2^{\prime }\left(y\right)=-\frac{1}{4}{e}^{-\frac{y}{2}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{f}_3^{\prime }\left(y\right)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}(e^{-\frac{y}{2}}\cdot \frac{1}{dy}{y}^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{dy}{e}^{-\frac{y}{2}})\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}(\frac{1}{2}{y}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{y}{2}}-\frac{1}{2}{y}^{\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{y}{2}})\\ & =\frac{1}{2\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y}{2}}(\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{y})\end{array}$$ 増減表は、 $$\underline{\begin{array}{ccccc}y& 0& \cdots & 1& \cdots \\ f_1^{\prime }\left(y\right)& -\mathrm{\infty }& -& -& -\\ f_1\left(y\right)& \mathrm{\infty }& \searrow & \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}& \searrow \\ f_2^{\prime }\left(y\right)& 0& -& -& -\\ f_2\left(y\right)& \frac{1}{2}& \searrow & \frac{1}{\sqrt{e}}& \searrow \\ f_3^{\prime }\left(y\right)& \mathrm{\infty }& +& 0& -\\ f_3\left(y\right)& 0& \nearrow & \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{2\pi }}& \searrow \end{array}}$$ グラフの概形を描くと、以下のようになる。 $◼$

〔2〕確率変数変換

以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{cc}x=\frac{z}{\sqrt{y_1}}& -\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }\\ s=y_1& 0<s<\mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{cc}z=x\sqrt{s}& -\mathrm{\infty }<z<\mathrm{\infty }\\ y_1=s& 0<y_1<\mathrm{\infty }\end{array}\end{array}$$ 変数変換のヤコビアンは、 $$\begin{array}{rl}J& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial z}{\partial x}& \frac{\partial y_1}{\partial x}\\ \frac{\partial z}{\partial s}& \frac{\partial y_1}{\partial s}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}\sqrt{s}& 0\\ \frac{x}{2\sqrt{s}}& 1\end{array}\right|\\ & =\sqrt{s}\end{array}$$ このとき、$x,s$ の同時確率密度関数 $f_{X,S}(x,s)=f\{z(x,s),y_1(x,s)\}\left|J\right|$ は、 $$\begin{array}{rl}{f}_{X,S}(x,s)& =\phi \left(x\sqrt{s}\right)\cdot f_1\left(s\right)\cdot \sqrt{s}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^{2}s}{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{\sqrt{s}}{e}^{-\frac{s}{2}}\cdot \sqrt{s}\\ & =\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{s}{2}(1+x^2)}\end{array}$$ よって、周辺確率密度関数の定義式 $f\left(x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,s)ds$ より、$X$ の周辺確率密度関数は、 $$\begin{array}{rl}g\left(x\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{s}{2}(1+x^2)}ds\\ & =\frac{1}{2\pi }{[-\frac{2}{1+x^2}{e}^{-\frac{s}{2}(1+x^2)}]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{1}{\pi (1+x^2)}\{0-(-1)\}\\ & =\frac{1}{\pi (1+x^2)}\end{array}$$ $◼$

〔3〕変数変換後の確率密度関数

確率変数 $X,W$ の関係は、 $$\begin{array}{c}W={\tan }^{-1}X\iff X=\tan W\\ -\frac{\pi }{2}<w<\frac{\pi }{2}\iff -\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }\end{array}$$ 変数変換後の確率密度関数の公式 $g\left(y\right)=f\left[h^{-1}\left(y\right)\right]\left|\frac{d}{dy}{h}^{-1}\left(y\right)\right|$ より、 $$\begin{array}{rl}h\left(w\right)& =\frac{1}{\pi (1+{\tan }^{2}w)}\cdot \frac{d}{dw}\tan w\\ & =\frac{1}{\pi }\cdot \frac{1}{\frac{{\cos }^{2}w+{\sin }^{2}w}{{\cos }^{2}w}}\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}w}\\ & =\frac{1}{\pi }\cdot {\cos }^{2}w\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}w}\\ & =\frac{1}{\pi }\end{array}$$ これは、区間 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ の一様分布の確率密度関数である。 $◼$

〔4〕乱数の生成法

これは、区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従う乱数 $U_1,U_2,\cdots$ を $$\begin{array}{r}\pi (U_1-0.5),\pi (U_2-0.5),\cdots \end{array}$$ とし、 $$\begin{array}{r}{X}_1=\tan \left\{\pi (U_1-0.5)\right\},X_2=\tan \left\{\pi (U_2-0.5)\right\},\cdots \end{array}$$ とすればよい。 $◼$

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