同等性・非劣性試験におけるサンプルサイズ設計

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【2022年11月4週】 【A000】生物統計学 【A074】サンプルサイズの設計

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本稿では、同等性・非劣性試験に対するサンプルサイズ設計の考え方について解説しています。どちらも信頼区間にもとづく考え方と検定にもとづく考え方の2種類の導出方法がありますが、やや捻った仮定や考え方が必要となるため、ひとつひとつ整理して理解することが肝心です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

  • スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
  • 曝露(発症)状況を表す右下の添え字は、「0」である場合(n0,π0 など)や「2」である場合(n2,π2 など)がありますが、どちらも「非曝露群(コントロール群)」を表しています。
  • 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。

非劣性試験におけるサンプルサイズ設計

非劣性試験におけるサンプルサイズの設計方法には、①信頼区間にもとづく考え方と②検定にもとづく考え方がある。以下では、それぞれの考え方について、
非劣性マージンを Δ(>0) 帰無仮説と対立仮説を H0:θ1=θ0H1:θ1θ0H0:δ=0H1:δ0 とし、 効果量の推定量が漸近的な場合も含めて
帰無仮説の下で、 δ^N(0,σ02)δ^σ0=Z0N(0,1) 対立仮説の下で、 δ^N(δ,σ12)δ^δσ1=Z1N(0,1) となることを仮定する。

信頼区間にもとづく考え方

効果量の片側信頼限界が Δ 以上となるとき、すなわち Δδ^Zασ1 のときに非劣性が示される。

対立仮説の下で、この関係式が成り立つ確率が検出力となるので、 1β=P(Δδ^Zασ1)=P(Δδδ^δZασ1)=P(ZαΔ+δσ1δ^δσ1)=P(ZαΔ+δσ1Z1) したがって、 Z1β=ZαΔ+δσ1Δ+δ=σ1(ZαZ1β) 効果量の標準誤差がサンプルサイズの関数として表すことができるとき、 Δ+δ=ϕ1N(ZαZ1β)N=ϕ1Δ+δ(ZαZ1β)N=[ϕ1(ZαZ1β)Δ+δ]2

この方法は、最もストレートで分かりやすい方法である。しかし、θ1=θ0 という仮説の下では、効果量の推定量の平均が0から離れる方向に移動することになる。その結果、対応する非劣性マージンが満たされる確率が減少し、より多くのサンプルサイズが必要となる。

これに対し、θ1=θ0 を仮定して同様にサンプルサイズを算出すると、対立仮説の下で算出したサンプルサイズよりも小さくなるため、標準的にはむしろ帰無仮説の下でサンプルサイズを設計することになっている。

このとき、効果量とその標準偏差もそれに対応し、 N=[ϕ0(ZαZ1β)Δ]2 となる。

検定にもとづく考え方

この考え方では、片側検定 H0:δ=ΔH1:δ>Δ の下でサンプルサイズを設計する。

このとき、効果量の推定量の分布は
帰無仮説の下で、 δ^+ΔN(0,σ02)δ^+Δσ0=Z0N(0,1) 対立仮説の下で、 δ^+ΔN(δ+Δ,σ12)δ^δσ1=Z1N(0,1)

したがって、帰無仮説における検定統計量の棄却域は、 Zαδ^+Δσ0Zασ0Δδ^ 検出力の定義(対立仮説が正しいときに、帰無仮説を棄却する事象が起こる)より、 1β=P(Zασ0δ^+Δ)=P(Zασ0δΔδ^δ)=P{Zασ0(δ+Δ)σ1δ^δσ1}=P{Zασ0(δ+Δ)σ1Z1}=P(Z1βZ1) したがって、 Z1β=Zασ0(δ+Δ)σ1Z1βσ1=Zασ0(δ+Δ)δ+Δ=Zασ0Z1βσ1 効果量の標準誤差がサンプルサイズの関数として表すことができるとき、 Δ+δ=Zαϕ0NZ1βϕ1NN=Zαϕ0Z1βϕ1Δ+δN=(Zαϕ0Z1βϕ1Δ+δ)2

同等性試験におけるサンプルサイズ設計

同等性試験におけるサンプルサイズの設計方法も同様に、①信頼区間にもとづく考え方と②検定にもとづく考え方がある。以下では、それぞれの考え方について、
同等性マージンを Δ(>0) 帰無仮説と対立仮説を H0:θ1=θ0H1:θ1θ0H0:δ=0H1:δ0 とし、 効果量の推定量が漸近的な場合も含めて
帰無仮説の下で、 δ^N(0,σ02)δ^σ0=Z0N(0,1) 対立仮説の下で、 δ^N(δ,σ12)δ^δσ1=Z1N(0,1) となることを仮定する。

信頼区間にもとづく考え方

効果量の信頼区間が同等性マージンに完全に含まれるとき、 Δδ^Z0.5ασ1δ^+Z0.5ασ1Δ のときに同等性が示される。

この条件式を書き換えると、 Δ+Z0.5ασ1δ^ΔZ0.5ασ1 対立仮説の下で、この関係式が成り立つ確率が検出力となるので、 1β=P(Δ+Z0.5ασ1δ^ΔZ0.5ασ1)=P(Δδ+Z0.5ασ1δ^δΔδZ0.5ασ1)=P(Δ+δσ1+Z0.5αδ^δσ1Δδσ1Z0.5α)=P(Δ+δσ1+Z0.5αZ1Δδσ1Z0.5α) これは、簡単に解くことができない。ただ、一般的に対立仮説を仮定するよりも帰無仮説を仮定した方が、サンプルサイズが小さくなるので、帰無仮説の下でこの式を評価すると、 1β=P(Δσ0+Z0.5αZ1Δσ0Z0.5α)1β=P(Z10.5βZ1Z10.5β) したがって、Z10.5β<0 に注意して、 Z10.5β=Δσ0+Z0.5αΔ=σ0(Z0.5αZ1β) 効果量の標準誤差がサンプルサイズの関数として表すことができるとき、 Δ=ϕ0N(Z0.5αZ10.5β)N=ϕ0Δ(Z0.5αZ10.5β)N=[ϕ0(Z0.5αZ10.5β)Δ]2

検定にもとづく考え方

同等性試験では、次の2つの片側検定を行い、帰無仮説が両方とも棄却されたときに同等性を認める。すなわち、
片側検定① H0:δ=ΔH1:δ>Δ 片側検定② H0:δ=ΔH1:δ<Δ として、サンプルサイズを設計する。

効果量の推定量の分布と棄却域(片側検定①)
帰無仮説の下で、 δ^+ΔN(0,σ02)δ^+Δσ0=Z0N(0,1) 対立仮説の下で、 δ^+ΔN(δ+Δ,σ12)δ^δσ1=Z1N(0,1) したがって、帰無仮説における検定統計量の棄却域は、 Zαδ^+Δσ0Zασ0Δδ^

効果量の推定量の分布と棄却域(片側検定②)
帰無仮説の下で、 δ^ΔN(0,σ02)δ^Δσ0=Z0N(0,1) 対立仮説の下で、 δ^ΔN(δΔ,σ12)δ^δσ1=Z1N(0,1) したがって、帰無仮説における検定統計量の棄却域は、 δ^Δσ0Zαδ^Zασ0+Δ

検出力の定義(対立仮説が正しいときに、帰無仮説を棄却する事象が起こる)より、 1β=P(Zασ0Δδ^,δ^Zασ0+Δ)=P(Zασ0Δδ^Zασ0+Δ)=P(Zασ0Δδδ^δZασ0+Δδ)=P(Zασ0Δδσ1δ^δσ1Zασ0+Δδσ1)

同等性試験を考える場合、ルールとして、真に同等な場合 δ=0 の場合で考える。 したがって、 Z10.5β=Zασ0Δσ1Z10.5βσ1=Zασ0ΔΔ=Zασ0Z10.5βσ1

効果量の標準誤差がサンプルサイズの関数として表すことができるとき、 Δ=Zαϕ0NZ10.5βϕ1NN=Zαϕ0Z10.5βϕ1ΔN=(Zαϕ0Z10.5βϕ1Δ)2

参考文献

  • 丹後 俊郎, 小西 貞則 編集. 医学統計学の事典 新装版. 朝倉書店, 2018, p.334-337
  • ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.100-103
  • Makuch, R. & Simon, R.. Sample size requirements for evaluating a conservative therapy. Cancer Treat Rep. 1978, 62(7), p.1037-1040.
  • Blackwelder, W.C.. Proving the null hypothesis in clinical trials. Control Clin Trials. 1982, 3(4), p.345-353, doi: 10.1016/0197-2456(82)90024-1

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大学時代に読書の面白さに気づいて以来、読書や勉強を通じて、興味をもったことや新しいことを学ぶことが生きる原動力。そんな人間が、その時々に学んだことを備忘録兼人生の軌跡として記録しているブログです。

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