二項分布の期待値・分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} E \left(X\right)=\sum_{x=0}^{n}{x \cdot \frac{n!}{x! \left(n-x\right)!}p^x \left(1-p\right)^{n-x}} \end{align} $x=0$ の項を外に出すと、 \begin{align} E \left(X\right)&=0 \cdot \frac{n!}{0!n!}p^0 \left(1-p\right)^n+\sum_{x=1}^{n}{\frac{n!}{ \left(x-1\right)! \left(n-x\right)!}p^x \left(1-p\right)^{n-x}}\\ &=\sum_{x=1}^{n}{\frac{n!}{ \left(x-1\right)! \left(n-x\right)!}p^x \left(1-p\right)^{n-x}} \end{align} この式を変形すると、 \begin{align} E \left(X\right)&=\sum_{x=1}^{n}{\frac{n \left(n-1\right)!}{ \left(x-1\right)! \left(n-x\right)!} \cdot p \cdot p^{x-1} \left(1-p\right)^{n-x}}\\ &=np\sum_{x=1}^{n}{\frac{ \left(n-1\right)!}{ \left(x-1\right)! \left(n-x\right)!} \cdot p^{x-1} \left(1-p\right)^{n-x}}\\ &=np\sum_{x=1}^{n}{\frac{ \left(n-1\right)!}{ \left(x-1\right)! \left\{ \left(n-1\right)- \left(x-1\right)\right\}!} \cdot p^{x-1} \left(1-p\right)^{ \left(n-1\right)- \left(x-1\right)}}\tag{1} \end{align}

ここで、$ \left\{\begin{matrix}y=x-1\\m=n-1\\\end{matrix}\right.$ と変数変換すると、 $x:1\rightarrow n \quad $のとき$ \quad y:0\rightarrow m$ となるので、 式 $(1)$ は、 \begin{align} E \left(X\right)&=np\sum_{y=0}^{m}{\frac{m!}{y! \left(m-y\right)!}p^y \left(1-p\right)^{m-y}}\\ &=np\sum_{y=0}^{m}{{}_{m}C_yp^y \left(1-p\right)^{m-y}} \end{align} 二項定理 $ \left(a+b\right)^n=\sum_{x=0}^{n}{{}_{n}C_xa^xb^{n-x}}$ において、$a=p,b=1-p$ とすると、 \begin{align} \sum_{y=0}^{m}{{}_{m}C_yp^y \left(1-p\right)^{m-y}}= \left\{p+ \left(1-p\right)\right\}^m=1 \end{align} したがって、 \begin{align} E \left(X\right)=np \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
2次階乗モーメントの定義式 $E \left\{X \left(X-1\right)\right\}=\sum_{x=0}^{\infty}{x \left(x-1\right) \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}=\sum_{x=0}^{n}{x \left(x-1\right)\frac{n!}{x! \left(n-x\right)!}p^x \left(1-p\right)^{n-x}} \end{align} $x=0,x=1$ の項を外に出すと、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=0+0+\sum_{x=2}^{n}{\frac{n!}{ \left(x-2\right)! \left(n-x\right)!}p^x \left(1-p\right)^{n-x}}\\ &=\sum_{x=2}^{n}{\frac{n!}{ \left(x-2\right)! \left(n-x\right)!}p^x \left(1-p\right)^{n-x}}\\ \end{align} この式を変形すると、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=\sum_{x=2}^{n}{\frac{n \left(n-1\right) \left(n-2\right)!}{ \left(x-2\right)! \left(n-x\right)!}p^2 \cdot p^{x-2} \left(1-p\right)^{n-x}}\\ &=n \left(n-1\right)p^2\sum_{x=2}^{n}{\frac{ \left(n-2\right)!}{ \left(x-2\right)! \left(n-x\right)!} \cdot p^{x-2} \left(1-p\right)^{n-x}}\\ &=n \left(n-1\right)p^2\sum_{x=2}^{n}{\frac{ \left(n-2\right)!}{ \left(x-2\right)! \left\{ \left(n-2\right)- \left(x-2\right)\right\}!} \cdot p^{x-2} \left(1-p\right)^{ \left(n-2\right)- \left(x-2\right)}}\tag{2} \end{align}

ここで、$ \left\{\begin{matrix}z=x-2\\l=n-2\\\end{matrix}\right.$ と変数変換すると、 $x:2\rightarrow n \quad $のとき$ \quad z:0\rightarrow l$ となるので、 式 $(2)$ は、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=n \left(n-1\right)p^2\sum_{z=0}^{l}{\frac{l!}{z! \left(l-z\right)!} \cdot p^z \left(1-p\right)^{l-z}}\\ &=n \left(n-1\right)p^2\sum_{z=0}^{l}{{}_{l}C_zp^z \left(1-p\right)^{l-z}} \end{align} 二項定理 $ \left(a+b\right)^n=\sum_{x=0}^{n}{{}_{n}C_xa^xb^{n-x}}$ において、$a=p,b=1-p$ とすると、 \begin{align} \sum_{z=0}^{l}{{}_{l}C_zp^z \left(1-p\right)^{l-z}}= \left\{p+ \left(1-p\right)\right\}^l=1 \end{align} したがって、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=n \left(n-1\right)p^2\\ &=n^2p^2-np^2 \end{align} 階乗モーメントを用いた分散の公式 $V \left(X\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}+E \left(X\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=n^2p^2-np^2+np-n^2p^2\\ &=np-np^2\\ &=np \left(1-p\right) \end{align} $\blacksquare$

（i）期待値
二項分布の確率母関数の公式より、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)= \left(\theta p+1-p\right)^n \end{align} 確率母関数の1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 \begin{align} G_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)&=n \left(\theta p+1-p\right)^{n-1} \cdot \frac{d}{d\theta} \left(\theta p+1-p\right)\\ &=np \left(\theta p+1-p\right)^{n-1} \end{align} 1次モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{ \left(1\right)} \left(1\right)=E \left(X\right)$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=np \left(p+1-p\right)^{n-1}\\ &=np \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
確率母関数の2階微分を求めると、 \begin{align} G_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)&=n \left(n-1\right)p \left(\theta p+1-p\right)^{n-2} \cdot \frac{d}{d\theta} \left(\theta p+1-p\right)\\ &=n \left(n-1\right)p^2 \left(\theta p+1-p\right)^{n-2} \end{align} 2次階乗モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{ \left(2\right)} \left(1\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}$ より、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=n \left(n-1\right)p^2 \left(p+1-p\right)^{n-2}\\ &=n \left(n-1\right)p^2\\ &=n^2p^2-np^2 \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}+E \left(X\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=n^2p^2-np^2+np-n^2p^2\\ &=np-np^2\\ &=np \left(1-p\right) \end{align} $\blacksquare$

（i）期待値
二項分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)= \left(e^\theta p+1-p\right)^n \end{align} モーメント母関数の1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 \begin{align} M_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)&=n \left(e^\theta p+1-p\right)^{n-1} \cdot \frac{d}{d\theta} \left(e^\theta p+1-p\right)\\ &=npe^\theta \cdot \left(e^\theta p+1-p\right)^{n-1} \end{align} 1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(1\right)} \left(0\right)=E \left(X\right)$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=np \cdot \left(p+1-p\right)^{n-1}\\ &=np \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、積の微分公式より、 \begin{align} M_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)&=np \left\{e^\theta \cdot \frac{d}{d\theta} \left(e^\theta p+1-p\right)^{n-1}+ \left(e^\theta p+1-p\right)^{n-1} \cdot \frac{d}{d\theta}e^\theta\right\}\\ &=np \left\{ \left(n-1\right)e^\theta \cdot \left(e^\theta p+1-p\right)^{n-2} \cdot \frac{d}{d\theta} \left(e^\theta p+1-p\right)+ \left(e^\theta p+1-p\right)^{n-1} \cdot e^\theta\right\}\\ &=np \left\{ \left(n-1\right)e^\theta \cdot \left(e^\theta p+1-p\right)^{n-2} \cdot e^\theta p+ \left(e^\theta p+1-p\right)^{n-1} \cdot e^\theta\right\}\\ &=npe^\theta \cdot \left(e^\theta p+1-p\right)^{n-2} \left\{ \left(n-1\right) \cdot e^\theta p+e^\theta p+1-p\right\} \end{align} 2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)=E \left(X^2\right)$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=np \cdot \left(p+1-p\right)^{n-2} \left\{ \left(n-1\right)p+p+1-p\right\}\\ &=np \cdot \left(np-p+1\right)\\ &=n^2p^2-np^2+np \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=n^2p^2-np^2+np-n^2p^2\\ &=np \left(1-p\right) \end{align} $\blacksquare$

二項分布の確率変数 $Y$ を互いに独立にベルヌーイ分布に従う確率変数 $X_i\ \left(i=1,2, \cdots ,n\right)$ の和と考えると、 \begin{align} Y=X_1+X_2+ \cdots +X_n \end{align} また、ベルヌーイ分布の期待値と分散の公式より、 \begin{gather} E \left(X_i\right)=p\\ V \left(X_i\right)=p \left(1-p\right) \end{gather} 期待値の性質 $E \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}E \left(X_i\right)$ より、 \begin{align} E \left(Y\right)=E \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}p=np \end{align} 分散の性質 $V \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}V \left(X_i\right)$ より、 \begin{align} V \left(Y\right)=V \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}p \left(1-p\right)=np \left(1-p\right) \end{align} $\blacksquare$