二項分布の期待値・分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=\sum _{x=0}^{n}x\cdot \frac{n!}{x!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}\end{array}$$ $x=0$ の項を外に出すと、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =0\cdot \frac{n!}{0!n!}{p}^0{(1-p)}^n+\sum _{x=1}^n\frac{n!}{(x-1)!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}\\ & =\sum _{x=1}^n\frac{n!}{(x-1)!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}\end{array}$$ この式を変形すると、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\sum _{x=1}^n\frac{n(n-1)!}{(x-1)!(n-x)!}\cdot p\cdot p^{x-1}{(1-p)}^{n-x}\\ & =np\sum _{x=1}^n\frac{(n-1)!}{(x-1)!(n-x)!}\cdot p^{x-1}{(1-p)}^{n-x}\\ \text{(1)}& & =np\sum _{x=1}^n\frac{(n-1)!}{(x-1)!\{(n-1)-(x-1)\}!}\cdot p^{x-1}{(1-p)}^{(n-1)-(x-1)}\end{array}$$

ここで、$\{\begin{array}{c}y=x-1\\ m=n-1\end{array}$ と変数変換すると、 $x:1\to n$のとき$y:0\to m$ となるので、 式 $(1)$ は、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =np\sum _{y=0}^m\frac{m!}{y!(m-y)!}{p}^y{(1-p)}^{m-y}\\ & =np\sum _{y=0}^m{}_m{C}_y{p}^y{(1-p)}^{m-y}\end{array}$$ 二項定理 ${(a+b)}^n=\sum _{x=0}^n{}_n{C}_x{a}^x{b}^{n-x}$ において、$a=p,b=1-p$ とすると、 $$\begin{array}{r}\sum _{y=0}^m{}_m{C}_y{p}^y{(1-p)}^{m-y}={\{p+(1-p)\}}^m=1\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=np\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
2次階乗モーメントの定義式 $E\left\{X(X-1)\right\}=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x(x-1)\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left\{X(X-1)\right\}=\sum _{x=0}^{n}x(x-1)\frac{n!}{x!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}\end{array}$$ $x=0,x=1$ の項を外に出すと、 $$\begin{array}{rl}E\left\{X(X-1)\right\}& =0+0+\sum _{x=2}^n\frac{n!}{(x-2)!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}\\ & =\sum _{x=2}^n\frac{n!}{(x-2)!(n-x)!}{p}^x{(1-p)}^{n-x}\end{array}$$ この式を変形すると、 $$\begin{array}{rl}E\left\{X(X-1)\right\}& =\sum _{x=2}^n\frac{n(n-1)(n-2)!}{(x-2)!(n-x)!}{p}^2\cdot p^{x-2}{(1-p)}^{n-x}\\ & =n(n-1)p^2\sum _{x=2}^n\frac{(n-2)!}{(x-2)!(n-x)!}\cdot p^{x-2}{(1-p)}^{n-x}\\ \text{(2)}& & =n(n-1)p^2\sum _{x=2}^n\frac{(n-2)!}{(x-2)!\{(n-2)-(x-2)\}!}\cdot p^{x-2}{(1-p)}^{(n-2)-(x-2)}\end{array}$$

ここで、$\{\begin{array}{c}z=x-2\\ l=n-2\end{array}$ と変数変換すると、 $x:2\to n$のとき$z:0\to l$ となるので、 式 $(2)$ は、 $$\begin{array}{rl}E\left\{X(X-1)\right\}& =n(n-1)p^2\sum _{z=0}^l\frac{l!}{z!(l-z)!}\cdot p^z{(1-p)}^{l-z}\\ & =n(n-1)p^2\sum _{z=0}^l{}_l{C}_z{p}^z{(1-p)}^{l-z}\end{array}$$ 二項定理 ${(a+b)}^n=\sum _{x=0}^n{}_n{C}_x{a}^x{b}^{n-x}$ において、$a=p,b=1-p$ とすると、 $$\begin{array}{r}\sum _{z=0}^l{}_l{C}_z{p}^z{(1-p)}^{l-z}={\{p+(1-p)\}}^l=1\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}E\left\{X(X-1)\right\}& =n(n-1)p^2\\ & =n^2{p}^2-n{p}^2\end{array}$$ 階乗モーメントを用いた分散の公式 $V\left(X\right)=E\left\{X(X-1)\right\}+E\left(X\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =n^2{p}^2-n{p}^2+np-n^2{p}^2\\ & =np-n{p}^2\\ & =np(1-p)\end{array}$$ $◼$

（i）期待値
二項分布の確率母関数の公式より、 $$\begin{array}{r}{G}_X\left(\theta \right)={(\theta p+1-p)}^n\end{array}$$ 確率母関数の1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 $$\begin{array}{rl}{G}_X^{\left(1\right)}\left(\theta \right)& =n{(\theta p+1-p)}^{n-1}\cdot \frac{d}{d\theta }(\theta p+1-p)\\ & =np{(\theta p+1-p)}^{n-1}\end{array}$$ 1次モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{\left(1\right)}\left(1\right)=E\left(X\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =np{(p+1-p)}^{n-1}\\ & =np\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
確率母関数の2階微分を求めると、 $$\begin{array}{rl}{G}_X^{\left(2\right)}\left(\theta \right)& =n(n-1)p{(\theta p+1-p)}^{n-2}\cdot \frac{d}{d\theta }(\theta p+1-p)\\ & =n(n-1)p^2{(\theta p+1-p)}^{n-2}\end{array}$$ 2次階乗モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{\left(2\right)}\left(1\right)=E\left\{X(X-1)\right\}$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left\{X(X-1)\right\}& =n(n-1)p^2{(p+1-p)}^{n-2}\\ & =n(n-1)p^2\\ & =n^2{p}^2-n{p}^2\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left\{X(X-1)\right\}+E\left(X\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =n^2{p}^2-n{p}^2+np-n^2{p}^2\\ & =np-n{p}^2\\ & =np(1-p)\end{array}$$ $◼$

（i）期待値
二項分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)={(e^{\theta }p+1-p)}^n\end{array}$$ モーメント母関数の1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X^{\left(1\right)}\left(\theta \right)& =n{(e^{\theta }p+1-p)}^{n-1}\cdot \frac{d}{d\theta }(e^{\theta }p+1-p)\\ & =np{e}^{\theta }\cdot {(e^{\theta }p+1-p)}^{n-1}\end{array}$$ 1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{\left(1\right)}\left(0\right)=E\left(X\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =np\cdot {(p+1-p)}^{n-1}\\ & =np\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、積の微分公式より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X^{\left(2\right)}\left(\theta \right)& =np\{e^{\theta }\cdot \frac{d}{d\theta }{(e^{\theta }p+1-p)}^{n-1}+{(e^{\theta }p+1-p)}^{n-1}\cdot \frac{d}{d\theta }{e}^{\theta }\}\\ & =np\{(n-1)e^{\theta }\cdot {(e^{\theta }p+1-p)}^{n-2}\cdot \frac{d}{d\theta }(e^{\theta }p+1-p)+{(e^{\theta }p+1-p)}^{n-1}\cdot e^{\theta }\}\\ & =np\{(n-1)e^{\theta }\cdot {(e^{\theta }p+1-p)}^{n-2}\cdot e^{\theta }p+{(e^{\theta }p+1-p)}^{n-1}\cdot e^{\theta }\}\\ & =np{e}^{\theta }\cdot {(e^{\theta }p+1-p)}^{n-2}\{(n-1)\cdot e^{\theta }p+e^{\theta }p+1-p\}\end{array}$$ 2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{\left(2\right)}\left(0\right)=E\left(X^2\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =np\cdot {(p+1-p)}^{n-2}\{(n-1)p+p+1-p\}\\ & =np\cdot (np-p+1)\\ & =n^2{p}^2-n{p}^2+np\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =n^2{p}^2-n{p}^2+np-n^2{p}^2\\ & =np(1-p)\end{array}$$ $◼$

二項分布の確率変数 $Y$ を互いに独立にベルヌーイ分布に従う確率変数 $X_i(i=1,2,\cdots ,n)$ の和と考えると、 $$\begin{array}{r}Y=X_1+X_2+\cdots +X_n\end{array}$$ また、ベルヌーイ分布の期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{c}E\left(X_i\right)=p\\ V\left(X_i\right)=p(1-p)\end{array}$$ 期待値の性質 $E\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}E\left(X_i\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(Y\right)=E\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}p=np\end{array}$$ 分散の性質 $V\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}V\left(X_i\right)$ より、 $$\begin{array}{r}V\left(Y\right)=V\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}p(1-p)=np(1-p)\end{array}$$ $◼$