第1章 確率と集合
Probability and Set
1.1.事象と集合
Event and Set
1.2.確率の公理と基本性質
Axiom and Basic Properties of Probability
1.3.条件付き確率とベイズの定理
Conditional Probability and Bayesian Theory
1.4.事象の独立性
Independence of Events
第2章 確率変数と確率分布
Random Variable and Distribution
2.1.確率変数と分布関数
Random Variable and Distribution Function
2.2.多次元の確率分布
Multi-Dimensional Probability Distribution
2.3.確率変数変換
Transformations of Random Variables
2.4.確率分布の特性値
Characteristic Value of Probability Distributions
2.5.モーメントと母関数
Moment and Generating Function
2.6.共分散と相関係数
Covariance and Correlation Coefficient
2.7.条件付き確率分布の特性値
Characteristic Value of Conditional Probability Distributions
第3章 代表的な離散型の確率分布
Major Discrete Probability Distributions
3.1.離散型一様分布
Discrete Uniform Distribution
定義と概要
Definition and Outline
確率母関数・モーメント母関数
PGF and MGF
期待値と分散
Expected Value and Variance
3.2.ベルヌーイ分布
Bernoulli Distribution
定義と概要
Definition and Outline
確率母関数・モーメント母関数
PGF and MGF
期待値・分散
Expected Value and Variance
3.3.二項分布
Binomial Distribution
定義と概要
Definition and Outline
確率母関数・モーメント母関数
PGF and MGF
期待値・分散
Expected Value and Variance
再生性
Reproductive Property
確率漸化式と最頻値
Recurrence Relation and Mode
累積分布関数と部分和
Cumulative Distribution Function
和に関する条件付き分布
A Conditional Distribution
3.4.ポアソン分布
Poisson Distribution
定義と概要
Definition and Outline
確率母関数・モーメント母関数
PGF and MGF
期待値・分散
Expected Value and Variance
再生性
Reproductive Property
確率漸化式と最頻値
Recurrence Relation and Mode
累積分布関数
Cumulative Distribution Function
和に関する条件付き分布
A Conditional Distribution
3.5.超幾何分布
Hypergeometric Distribution
定義と概要
Definition and Outline
共分散
Covariance
期待値・分散
Expected Value and Variance
二項近似
Binomial Approximation to the Hypergeometric Distribution
確率漸化式と最頻値
Recurrence Relation and Mode
3.6.幾何分布
Geometric Distribution
定義と概要
Definition and Outline
確率母関数・モーメント母関数
PGF and MGF
期待値・分散
Expected Value and Variance
無記憶性
Memoryless Property
3.7.負の二項分布
Negative Binomial Distribution
定義と概要
Definition and Outline
確率母関数・モーメント母関数
PGF and MGF
期待値・分散
Expected Value and Variance
再生性
Reproductive Property
確率漸化式と最頻値
Recurrence Relation and Mode
第4章 代表的な連続型の確率分布
Major Continuous Probability Distributions
4.1.連続一様分布
Continuous Uniform Distribution
定義と概要
Definition and Outline
モーメント母関数
Moment-Generating Function
期待値・分散
Expected Value and Variance
平方変換
Square Conversion
4.2.正規分布
Normal Distribution
定義と概要
Definition and Outline
モーメント母関数
Moment-Generating Function
期待値・分散と中心モーメント
Expected Value, Variance and Center Moments
線形変換と再生性
Linear Conversion and Reproductive Property
4.3.対数正規分布
Log-Normal Distribution
定義と概要
Definition and Outline
期待値・分散
Expected Value and Variance
4.4.指数分布
Exponential Distribution
定義と概要
Definition and Outline
モーメント母関数
Moment-Generating Function
期待値・分散
Expected Value and Variance
無記憶性
Memoryless Property
互いに独立な指数分布の比の分布
A Ratio of Independent Exponential Random Variables
4.5.ガンマ分布
Gamma Distribution
定義と概要
Definition and Outline
モーメント母関数
Moment-Generating Function
期待値・分散
Expected Value and Variance
確率密度関数の導出と再生性
Derivation and Reproductive Property
線形変換
Linear Transformation
4.6.ワイブル分布
Weibull Distribution
定義と概要
Definition and Outline
期待値・分散
Expected Value and Variance
4.7.ベータ分布
Beta Distribution
定義と概要
Definition and Outline
期待値・分散と最頻値
Expected Value, Variance and Mode
互いに独立なガンマ分布の比と和の分布とベータ分布の線形変換
A Ratio and Sum
4.8.$\chi^2$分布
Chi-squared Distribution
定義と概要
Definition and Outline
$\chi^2$分布とガンマ分布・指数分布の関係
Relationship among Chi-squared, Gamma and Exponential Distribution
モーメント母関数
Moment-Generating Function
期待値・分散と最頻値
Expected Value, Variance and Mode
再生性
Reproductive Property
分布関数の対数和
Logarithmic Sum of Cumulative Distribution Functions
4.9.$\mathrm{t}$分布
t-Distribution
定義と概要
Definition and Outline
期待値と分散
Expected Value and Variance
$\mathrm{t}$分布の標準正規分布への収束
T-Distribution Convergence to Standard Normal Distribution
4.10.$\mathrm{F}$分布
F-Distribution
定義と概要
Definition and Outline
期待値と分散
Expected Value and Variance
$\mathrm{t}$分布と$\mathrm{F}$分布の関係
Relationship between t-Distribution and F-Distribution
第5章 代表的な多次元確率分布
Major Multi-Dimensional Probability Distributions
5.1.多項分布
Multinomial Distribution
定義と概要
Definition and Outline
モーメント母関数
Moment-Generating Function
周辺分布と共分散
Marginal Probability Distribution and Covariance
5.2.多変量正規分布
Multivariate Normal Distribution
定義と概要
Definition and Outline
モーメント母関数
Moment-Generating Function
期待値・分散・共分散
Expected Value, Variance and Covariance
周辺確率分布と条件付き分布
Marginal Probability and Conditional Distribution
第6章 標本分布
Sampling Distribution
6.1.母数と統計量
Parameters and Statistics
6.2.大数の法則と中心極限定理
Law of Large Numbers and Central Limit Theorem
第7章 統計的推定
Statistical Estimation
7.1.統計モデル
Statistical Model
7.2.十分統計量
Sufficient Statistics
7.3.推定量の評価
Estimation of Estimator
7.4.最尤推定法とモーメント法
Maximum Likelihood Method and Method of Moment
7.5.区間推定と信頼区間
Interval Estimation and Confidence Interval
第8章 統計的仮説検定
Statistical Hypothesis Testing
8.1.仮説検定の基礎
Base of Hypothesis Testing
8.2.一様最強力検定
Uniformly Most Powerful Test
8.3.尤度比検定
Likelihood Ratio Test
定理の証明・公式の導出集
Proofs of Theorems and Formulas
A1 事象と集合
Event and Set
べき集合の要素数
Number of Elements in Power Set
ド・モルガンの法則
De Morgan's Laws
A2 確率空間と確率の公理
Probability Space and Axiom of Probability
確率の基本性質
Basic Properties of Probability
確率の加法定理
Addition Theorem on Probability
ブールの不等式
Boole's Inequality
ボンフェローニの不等式
Bonferroni's Inequality
A3 条件付き確率とベイズの定理
Conditional Probability and Bayesian Theory
確率の乗法定理
Multiplication Theorem on Probability
条件付き確率の基本性質
Basic Properties of Conditional Probability
全確率の定理
Total Probability Rule
ベイズの定理
Bayes' Theorem
A4 事象の独立性
Independence of Events
余事象の独立性
Independence and Complementary Event
事象の独立性と排反性
Independence and Exclusion of Events
B1 確率変数変換
Transformations of Random Variables
変数変換後の確率密度関数
Probability Density Function after Transformation
線形変換後の確率密度関数
Probability Density Function after Linear Transformation
平方変換後の確率密度関数
Probability Density Function after Square Transformation
平方根変換後の確率密度関数
Probability Density Function after Square Root Transformation
対数変換後の確率密度関数
Probability Density Function after Log Transformation
指数変換後の確率密度関数
Probability Density Function after Exponential Transformation
逆数変換後の確率密度関数
Probability Density Function after Reciprocal Transformation
確率積分変換
Probability Integral Transformation
変数変換後の独立性
Independence of Transformed Random Variables
2次元確率変数の和の確率密度関数
Probability Density Function of Sum of Random Variables
2次元確率変数の差の確率密度関数
Probability Density Function of Difference of Random Variables
2次元確率変数の積の確率密度関数
Probability Density Function of Product of Random Variables
2次元確率変数の比の確率密度関数
Probability Density Function of Ratio of Random Variables
確率変数のたたみこみ
Convolution of Random Variables
B2 確率分布の特性値
Characteristic Value of Probability Distributions
期待値の基本性質
Basic Properties of Expected Value
分散の基本性質
Basic Properties of Variance
中央値の性質
Basic Property of Median
B3 モーメントと母関数
Moment and Generating Function
確率母関数の定義と性質
Probability-Generating Function
モーメント母関数の定義と基本性質
Moment-Generating Function
特性関数とキュムラント母関数の定義と性質
Characteristic Function and Cumulant-Generating Function
B4 共分散と相関係数
Covariance and Correlation Coefficient
共分散の定義と基本性質
Covariance
相関係数の定義と基本性質
Correlation Coefficient
確率変数の和（差）の分散の一般公式
General Variance Formula of Sum or Difference of Random Variables
B5 条件付き確率分布の特性値
Characteristic Value of Conditional Probability Distributions
条件付き期待値の定義と基本性質
Conditional Expected Value
条件付き分散の定義と基本性質
Conditional Variance
条件付き共分散の定義と基本性質
Conditional Covariance
C1 母数と統計量
Parameters and Statistics
標本平均の期待値と分散
Expected Value and Variance of Sample Mean
標本分散の期待値と分散
Expected Value and Variance of Sample Variance
C2 順序統計量
Order Statistics
順序統計量の分布
Distribution of Order Statistics
最大値・最小値の分布
Distribution of the Maximum and the Minimum
最大値・最小値の同時確率分布
Joint Distribution of Maximum and Minimum Statistics
標本範囲と標本中点の同時確率分布
Joint Distribution of Sample Range and Sample Midrange
連続一様分布の順序統計量の分布
Distribution of Order Statistics of Continuous Uniform Distribution
C3 正規分布からの無作為標本
Normal Random Variables
正規分布の標本分布
Sampling Distribution of Normal Distribution
正規分布の標本平均と標本分散の独立性
Independence of the Sample Mean and Variance for Normal Distributions
正規分布の標本平均・標本分散とt統計量・F統計量
Sample Mean and Variance of Normal Distributions and t-Statistic and F-Statistic
C4 確率不等式
Probability Inequalities
マルコフの不等式とチェビシェフの不等式
Markov's Inequality and Chebyshev's Inequality
イェンセンの不等式
Jensen's Inequality
コーシー・シュワルツの不等式
Cauchy–Schwarz Inequality
ヘルダーの不等式
Holder's Inequality
ミンコフスキーの不等式
Minkowski's Inequality
リアプノフの不等式
Lyapunov Inequality
C5 大数の法則と中心極限定理
Law of Large Numbers and Central Limit Theorem
スラツキーの定理
Slutzky's Theorem
中心極限定理
Central Limit Theorem
デルタ法
Delta Method
D1 統計モデル
Statistical Model
フィッシャー・ネイマンの因子分解定理
Fisher-Neyman Factorization Theorem
代表的な確率分布の十分統計量
Sufficient Statistics of Major Probability Distributions
指数型分布族
Exponential Family
D2 推定量の評価
Estimation of Estimator
正規分布の母標準偏差の不偏推定量
Unbiased Estimator of Standard Deviation of Normal Distribution
共通の母分散の不偏推定量
Unbiased Estimator of Common Population Variance
ラオ・ブラックウェルの定理
Rao-Blackwell Theorem
レーマン・シェフェの定理
Lehmann-Scheffe Theorem
スコア関数とフィッシャー情報量
Score Function and Fisher Information
クラメール・ラオの不等式
Cramer-Rao's Inequality
D3 最尤推定法
Maximum Likelihood Method
代表的な確率分布の最尤推定量とフィッシャー情報量
MLE and Fisher Information of Major Probability Distributions
D4 信頼区間
Confidence Interval
正規分布の母平均
The Population Mean of Normal Distributions
大標本における母平均
The Population Mean of Any Distribution with Large-Sample
正規分布の母平均の差
Population Mean Difference of Normal Distributions
大標本における母平均の差
Population Mean Difference of Any Distributions with Large-Sample
大標本における母比率
Population Proportion with Large-Sample
大標本における母比率の差
Population Proportion Difference with Large-Sample
指数分布のパラメータ
The Parameter of Exponential Distribution
E1 一様最強力検定
Uniformly Most Powerful Test
ネイマン・ピアソンの基本定理
Neyman-Pearson Lemma
E2 代表的な統計的検定法
Major Statistical Hypothesis Tests
正規分布の母平均（Z検定）
Z-Test for the Population Mean of Normal Distributions
正規分布の母平均（t検定）
t-Test for the Population Mean of Normal Distributions
正規分布の母平均の差（Z検定）
Two-Sample Z-Test
正規分布の母平均の差（対応のないt検定）
Student's t-Test
正規分布の母平均の差（対応のあるt検定）
Paired t-Test
正規分布の母分散
Chi-Square test for the Population Variance of Normal Distributions
正規分布の等分散性
F-test of equality of variances
大標本における母平均の差
Population Mean Difference of Any Distributions with Large-Sample
大標本における母比率
Population Proportion with Large-Sample
大標本における母比率の差
Population Proportion Difference with Large-Sample
大標本におけるポアソン分布のパラメータ
The Parameter of Poisson Distribution with Large-Sample
指数分布のパラメータ
The Parameter of Exponential Distribution
適合度の検定の検定統計量の従う分布
The Distribution of Chi-Square Goodness of Fit Test Statistic
独立性の検定の検定統計量の公式
Test Statistic of Chi-Square Independence Test
参考文献
References
- 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, 209p.
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, 329p.
- 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, 347p.
- 東京大学教養学部統計学教室 編. 基礎統計学 1 統計学入門. 東京大学出版会, 1991, 307p.
- 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, 328p.
- デイヴィッド・サルツブルグ 著, 竹内惠行, 熊谷悦生 訳. 統計学を拓いた異才たち：経験則から科学へ進展した一世紀. 日本経済新聞出版社, 2010, 504p.
- 宮川 公男 著. 基本統計学. 有斐閣, 2015, 341p.
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, 313p.
- 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, 246p.
Webサイト
Web Sites
統計解析ソフト
Statistical Analysis Software
その他のテーマの参考文献
References for Other Themes
単回帰分析
Regression Analysis
- 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.235-243, p.254-266
- 東京大学教養学部統計学教室 編. 基礎統計学 1 統計学入門. 東京大学出版会, 1991, p.257-276
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.178-200
- 佐和 隆光 著. 回帰分析. 新装版, 朝倉書店, 2020, 187p.
分散分析
Analysis of Variance
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.268-269
- 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.224-226, p.243-254
- 永田 靖 著. 入門実験計画法. 日科技連出版社, 2000, 386p.
- 三輪 哲久 著. 実験計画法と分散分析. 朝倉書店, 2015, 216p.
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.205-210
ノンパラメトリック法
Nonparametric Test
- 村上 秀俊 著. ノンパラメトリック法. 朝倉書店, 2015, 181p.
- Smirnov, N.V.. Estimate of deviation between empirical distribution functions in two independent samples. Bulletin of Moscow University. 1939, 2, p.3-16.
- Wilcoxon, F.. Individual comparisons by ranking methods. Biometrics. 1945, 1, p.80-83, doi: 10.2307/3001968
- Mann, H.B. & Whitney, D.R.. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. The Annals of Mathematical Statistics. 1948, 18, p.50-60, https://www.jstor.org/stable/2236101
- 若杉 晃介. 生物・社会調査のための統計解析入門 その5：ノンパラメトリック検定. 農業土木学会誌. 2004, 72(12), p.1051-1056, doi: 10.11408/jjsidre1965.72.12_1051
- 富原 一哉. 日本の心理学研究論文におけるMann-WhitneyのU検定の誤用とその対策. 人文学科論集. 2004, 61, p.1-6.
- 名取 真人. マン・ホイットニーのU検定と不等分散時における代表値の検定法. 霊長類研究. 2014, 30(1), p.173-185, doi: 10.2354/psj.30.006
- 名取 真人. カイ二乗近似によるクラスカル・ウォリス検定と小標本. 霊長類研究. 2014, 30(2), p.209-215, doi: 10.2354/psj.30.019
欠測データの統計解析
Missing Data Analysis
- 阿部 貴行 著. 欠測データの統計解析. 朝倉書店, 2016, 190p.
- 高橋 将宜, 渡辺 美智子 著. 欠測データ処理: Rによる単一代入法と多重代入法. 共立出版, 2017, 192p.
- 高井 啓二, 星野 崇宏, 野間 久史 著. 欠測データの統計科学：医学と社会科学への応用. 岩波書店, 2016, 232p.
- ダグラス・アルトマン 著, 木船 義久, 佐久間 昭 訳. 医学研究における実用統計学. サイエンティスト社, 1999, p.105-113
- 丹後 俊郎, 松井 茂之 編集. 医学統計学ハンドブック. 新版, 朝倉書店, 2018, p.34
ベイズ統計学
Bayesian Statistics
- 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.311-334
- エマニュエル・ルサッフル, アンドリュー・ローソン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 安藤 英一, 鎗田 政男, 中山 高志 訳. 医薬データ解析のためのベイズ統計学. 共立出版, 2016, 631p.
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.124-126, p.231-244
- 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.221-238
- ピーター・ホフ 著, 入江 薫, 菅澤 翔之助, 橋本 真太郎 訳. 標準ベイズ統計学. 朝倉書店, 2022, 288p.
確率過程
Stochastic Process
- 伏見 正則 著. 確率と確率過程. 朝倉書店, 2004, 142p.
- 柳瀬 眞一郎 著. 確率と確率過程：具体例で学ぶ確率論の考え方. 森北出版, 2015, 214p.
- 宮沢 政清 著. 対話・確率過程入門. 現代数学社, 2019, 219p.
- 竹居 正登 著. 入門確率過程. 森北出版, 2020, 214p.
- 千代延 大造 著. 確率と確率過程. 第2版, 学術図書出版社, 2021, 178p.
