本稿には、2023年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問2の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
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- この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕指数分布のパラメータの最尤推定
イベント時間の確率密度関数 $f \left(t\right)=\lambda \left(t\right) \cdot S \left(t\right)$ は、 \begin{align} f \left(t\right)=\lambda e^{-\lambda t} \end{align} 打ち切りが存在しないとき、尤度関数は、 \begin{align} L \left(\lambda\right)=\prod_{i=1}^{n}{\lambda e^{-\lambda t_i}} \end{align} 対数尤度関数 $l \left(\theta,\boldsymbol{x}\right)=\log{L \left(\theta,\boldsymbol{x}\right)}$ は、 \begin{align} l \left(\lambda\right)&=\sum_{i=1}^{n} \left(\log{\lambda}-\lambda t_i\right)\\ &=n\log{\lambda}-\lambda\sum_{i=1}^{n}t_i \end{align} パラメータ $\lambda$ に関するスコア関数 $U \left(\lambda\right)=\frac{\partial}{\partial\lambda}l \left(\lambda\right)$ は、$T=\sum_{i=1}^{n}t_i$ として、 \begin{align} U \left(\lambda\right)=\frac{n}{\lambda}-T \end{align} 尤度方程式 $U \left(\theta\right)=0$ を解くと、パラメータ $\lambda$ の最尤推定量は、 \begin{gather} \frac{n}{\hat{\lambda}}=T\\ \hat{\lambda}=\frac{n}{T} \end{gather} $\blacksquare$
〔2〕パラメータのフィッシャー情報量
〔1〕から続けて、観測情報量 $i \left(\theta\right)=-\frac{\partial}{\partial\theta}U \left(\theta\right)$ は、 \begin{align} I_n \left(\lambda\right)&=- \left(-\frac{n}{\lambda^2}\right)\\ &=\frac{n}{\lambda^2}\\ \end{align} フィッシャー情報量 $I \left(\theta\right)=E \left[i \left(\theta\right)\right]$ は、 \begin{align} I_n \left(\lambda\right)&=E \left(\frac{n}{\lambda^2}\right)\\ &=\frac{n}{\lambda^2} \end{align} $\blacksquare$
〔3〕有意水準・検出力・臨床的有意差の関係
①帰無仮説での有意水準と棄却域
問題文の仮定より、検定統計量 $Z$ は、帰無仮説のもとで、
\begin{align}
Z \sim \mathrm{N} \left(0,1\right)
\end{align}
したがって、帰無仮説における検定統計量の棄却域は、
\begin{gather}
z_\alpha \lt Z
\end{gather}
②対立仮説での棄却域と検出力
同様に、検定統計量 $Z$ は、対立仮説のもとで、
\begin{gather}
Z \sim \mathrm{N} \left(\mu,1\right)
\end{gather}
ここで、正規分布の性質などにより、
\begin{gather}
W=Z-\mu\\
W \sim \mathrm{N} \left(0,1\right)
\end{gather}
検出力の定義（対立仮説のもとで、帰無仮説を棄却する事象が起こる）より、
\begin{align}
1-\beta&=P \left(z_\alpha \lt Z\middle| H_1\right)\\
&=P \left(z_\alpha-\mu \lt Z-\mu\right)\\
&=P \left(z_\alpha-\mu \lt W\right)\\
&=P \left(z_{1-\beta} \lt W\right)
\end{align}
したがって、$z_{1-\beta}=-z_\beta$ より、
\begin{gather}
z_{1-\beta}=z_\alpha-\mu\\
\mu=z_\alpha-z_{1-\beta}\\
\mu=z_\alpha+z_\beta
\end{gather}
$\blacksquare$
〔4〕サンプルサイズの設計公式
〔1〕、〔2〕の結果と問題文の仮定より、最尤推定量 $\hat{\lambda}$ は漸近的に、 \begin{gather} \hat{\lambda} \sim \mathrm{N} \left(\lambda,\phi^2\right)\\ \phi^2=\frac{\lambda^2}{n} \end{gather} これを標準化した値は、 \begin{align} \frac{\hat{\lambda}-\lambda}{\phi}=Z \sim \mathrm{N} \left(0,1\right) \end{align} 問題文の設定より、 \begin{align} Z=\frac{\hat{\lambda}-\lambda_0}{\sigma} \quad \sigma^2=\frac{\lambda_1^2}{n} \end{align} この式を変形すると、 \begin{align} \hat{\lambda}=\lambda_0+Z\sigma \end{align} 両辺の期待値を取ると、問題文の仮定より、 \begin{gather} E \left(\hat{\lambda}\right)=\lambda_0+\sigma E \left(Z\right)\\ \lambda_1=\lambda_0+\sigma E \left(Z\right)\\ E \left(Z\right)=\frac{\lambda_1-\lambda_0}{\sigma} \end{gather} 〔3〕の結果より、対立仮説のもとで、 \begin{align} E \left(Z\right)&=\mu\\ &=z_\alpha+z_\beta \end{align} となるとき、有意水準と検出力がそれぞれ $\alpha,1-\beta$ となる。 したがって、 \begin{gather} \frac{\lambda_1-\lambda_0}{\sigma}=z_\alpha+z_\beta\\ \frac{ \left(\lambda_1-\lambda_0\right)\sqrt n}{\lambda_1}=z_\alpha+z_\beta\\ \sqrt n=\frac{\lambda_1 \left(z_\alpha+z_\beta\right)}{\lambda_1-\lambda_0}\\ n= \left\{\frac{\lambda_1 \left(z_\alpha+z_\beta\right)}{\lambda_1-\lambda_0}\right\}^2 \end{gather} $\blacksquare$
〔5〕サンプルサイズの算出
問題文の条件より、時点 $t$ における累積分布関数（感染症の回復率）は、 \begin{align} F \left(t\right)=1-e^{-\lambda t} \end{align} 問題文の仮定より、帰無仮説におけるパラメータは、付表5より、 \begin{gather} F \left(5\right)=0.5\\ 1-e^{-5\lambda_0}=0.5\\ e^{-5\lambda_0}=0.5\\ -5\lambda_0=\log{0.5}\\ \lambda_0=-\frac{1}{5}\log{0.5} \end{gather} \begin{align} \lambda_0&=-\frac{1}{5} \left(\log{5}-1\right) \cdot 2.3026\\ &=-\frac{1}{5} \left(0.6990-1\right) \cdot 2.3026\\ &=0.139 \end{align} 対立仮説におけるパラメータは、 \begin{gather} F \left(5\right)=0.75\\ 1-e^{-5\lambda_1}=0.75\\ e^{-5\lambda_1}=0.25\\ -5\lambda_1=\log{0.25}\\ \lambda_1=-\frac{1}{5}\log{0.25} \end{gather} \begin{align} \lambda_1&=-\frac{1}{5} \left(\log{1}-\log{4}\right) \cdot 2.3026\\ &=-\frac{1}{5} \left(0-0.6021\right) \cdot 2.3026\\ &=0.277 \end{align} 〔4〕の結果より、 \begin{align} n&= \left\{\frac{\lambda_1 \left(z_\alpha+z_\beta\right)}{\lambda_1-\lambda_0}\right\}^2\\ &= \left\{\frac{0.277 \left(1.960+0.842\right)}{0.277-0.139}\right\}^2\\ &= \left(\frac{0.277 \cdot 2.802}{0.139}\right)^2\\ &={5.604}^2\\ &\cong31.4 \end{align} したがって、検出力80%以上を満たす最小の被験者数は、 \begin{align} n=32 \end{align} $\blacksquare$
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