F分布の定義と概要（確率密度関数の導出付き）

確率変数 $X,Y$ の確率密度関数は、 \begin{gather} g \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}\displaystyle\frac{1}{2^\frac{m}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)}x^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}&0 \le x\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right.\\ h \left(y\right)= \left\{\begin{matrix}\displaystyle\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}y^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}}&0 \le y\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right. \end{gather} 確率変数の独立性の定義式 $f \left(x,y\right)=g \left(x\right) \cdot h \left(y\right)$ より、同時確率密度関数は、 \begin{align} f \left(x,y\right)=\frac{1}{2^\frac{m}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)}x^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}y^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} \left\{\begin{matrix}w=\frac{\frac{x}{m}}{\frac{y}{n}}\\v=y\\\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{m}{n}wv\\y=v\\\end{matrix}\right.\\ \begin{matrix}x:0\rightarrow\infty\\y:0\rightarrow\infty\\\end{matrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{matrix}w:0\rightarrow\infty\\v:0\rightarrow\infty\\\end{matrix} \end{gather} 変数変換のヤコビアンは、 \begin{align} \left|J\right|&= \left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial w}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial v}\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|\begin{matrix}\frac{m}{n}v&0\\\frac{m}{n}w&1\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|\frac{m}{n}v-0\right|\\ &=\frac{m}{n}v \end{align} 変数変換後の同時確率密度関数の公式 $g \left(v,w\right)=f \left\{x \left(v,w\right),y \left(v,w\right)\right\} \left|J\right|$ より、 \begin{align} g \left(v,w\right)&=\frac{1}{2^\frac{m}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}wv\right)^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{1}{2}\frac{m}{n}wv} \cdot \frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}v^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{v}{2}} \cdot \frac{m}{n}v\\ &=\frac{1}{2^\frac{m+n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2} \cdot w^{\frac{m}{2}-1} \cdot v^{\frac{m+n}{2}-1} \cdot e^{-\frac{v}{2} \left(\frac{m}{n}w+1\right)} \end{align} 周辺確率分布の定義式 $g \left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x,y\right)dy$ より、 \begin{align} k \left(w\right)&=\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{2^\frac{m+n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2} \cdot w^{\frac{m}{2}-1} \cdot v^{\frac{m+n}{2}-1} \cdot e^{-\frac{v}{2} \left(\frac{m}{n}w+1\right)}dv}\\ &=\frac{w^{\frac{m}{2}-1}}{2^\frac{m+n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}\int_{0}^{\infty}{v^{\frac{m+n}{2}-1} \cdot e^{-\frac{v}{2} \left(\frac{m}{n}w+1\right)}dv} \end{align} ガンマ関数の公式 \begin{align} \frac{\Gamma \left(\alpha\right)}{\beta^\alpha}=\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1}e^{-\beta x}dx} \end{align} より、 \begin{align} \alpha=\frac{m+n}{2} \quad \beta=\frac{1}{2} \left(\frac{m}{n}w+1\right) \end{align} とすると、 \begin{align} k \left(w\right)&=\frac{w^{\frac{m}{2}-1}}{2^\frac{m+n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right) \cdot 2^\frac{m+n}{2} \cdot \left(1+\frac{m}{n}w\right)^{-\frac{m+n}{2}}\\ &=\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)w^{\frac{m}{2}-1}}{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right) \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{m}{n}w\right)^\frac{m+n}{2}} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2} \end{align} また、ベータ関数とガンマ関数の関係 $B \left(\alpha,\beta\right)=\frac{\Gamma \left(\alpha\right)\Gamma \left(\beta\right)}{\Gamma \left(\alpha+\beta\right)}$ より、 \begin{align} k \left(w\right)=\frac{w^{\frac{m}{2}-1}}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{m}{n}w\right)^\frac{m+n}{2}} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2} \end{align} $\blacksquare$

$\mathrm{F}$分布に従う確率変数の定義式より、 \begin{align} X=\frac{\frac{\chi^2 \left(m\right)}{m}}{\frac{\chi^2 \left(n\right)}{n}} \end{align} これを逆数変換すると、 \begin{align} Y=\frac{\frac{\chi^2 \left(n\right)}{n}}{\frac{\chi^2 \left(m\right)}{m}} \end{align} これは、自由度 $ \left(n,m\right)$ の $\mathrm{F}$分布 \begin{align} \mathrm{F} \left(n,m\right) \end{align} の定義式である。 したがって、確率変数 $Y$ は自由度 $ \left(n,m\right)$ の $\mathrm{F}$分布 \begin{align} \mathrm{F} \left(n,m\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$

$\mathrm{F}$分布の確率密度関数は、 \begin{gather} f \left(x\right)=\frac{x^\frac{m-2}{2}}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{m}{n}x\right)^\frac{m+n}{2}} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2} \end{gather} $Y=\frac{1}{X}$ の取り得る値の範囲は、 \begin{align} 0 \le X\Rightarrow0 \le Y \end{align} 逆数変換の公式 $g \left(y\right)=f \left(\frac{1}{y}\right) \cdot \frac{1}{y^2}$ より、 \begin{align} g \left(y\right)&=\frac{ \left(\frac{1}{y}\right)^{\frac{m}{2}-1}}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{m}{n} \cdot \frac{1}{y}\right)^\frac{m+n}{2}} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2} \cdot \left(\frac{1}{y}\right)^2\\ &=\frac{ \left(\frac{1}{y}\right)^{\frac{m}{2}+1}}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{m}{n} \cdot \frac{1}{y}\right)^\frac{m+n}{2}} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}\\ &=\frac{ \left(\frac{m}{ny}\right)^\frac{m}{2}}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left\{\frac{m}{ny} \left(\frac{ny}{m}+1\right)\right\}^\frac{m+n}{2}} \cdot \frac{1}{y}\\ &=\frac{ \left(\frac{m}{ny}\right)^\frac{m}{2}}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(\frac{m}{ny}\right)^\frac{m}{2} \left(\frac{m}{ny}\right)^\frac{n}{2} \left(1+\frac{n}{m}y\right)^\frac{m+n}{2}} \cdot \frac{1}{y}\\ &=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(\frac{m}{ny}\right)^\frac{n}{2} \left(1+\frac{n}{m}y\right)^\frac{m+n}{2}} \cdot \frac{1}{y}\\ &=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(\frac{ny}{m}\right)^{-\frac{n}{2}} \left(1+\frac{n}{m}y\right)^\frac{m+n}{2}} \cdot \frac{1}{y}\\ &=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{n}{m}y\right)^\frac{m+n}{2}} \left(\frac{ny}{m}\right)^\frac{n}{2} \cdot \frac{1}{y}\\ &=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{n}{m}y\right)^\frac{m+n}{2}} \left\{y \left(\frac{n}{m}\right)\right\}^\frac{n}{2} \cdot \frac{1}{y}\\ &=\frac{1}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{n}{m}y\right)^\frac{m+n}{2}} \left(\frac{n}{m}\right)^\frac{n}{2} \cdot y^\frac{n}{2} \cdot y^{-1} \end{align} ベータ関数の対称性 $B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right)=B \left(\frac{n}{2},\frac{m}{2}\right)$ より、 \begin{align} g \left(y\right)=\frac{y^{\frac{n}{2}-1}}{B \left(\frac{n}{2},\frac{m}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{n}{m}y\right)^\frac{m+n}{2}} \left(\frac{n}{m}\right)^\frac{n}{2} \end{align} これは、自由度 $ \left(n,m\right)$ の $\mathrm{F}$分布 \begin{align} \mathrm{F} \left(n,m\right) \end{align} の確率密度関数である。 したがって、確率密度関数の一意性により、確率変数 $Y$ は自由度 $ \left(n,m\right)$ の $\mathrm{F}$分布 \begin{align} \mathrm{F} \left(n,m\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$