F分布の定義と概要（確率密度関数の導出付き）

確率変数 $X,Y$ の確率密度関数は、 $$\begin{array}{c}g\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2^{\frac{m}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)}{x}^{\frac{m}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}}& 0\le x\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\\ h\left(y\right)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{y}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{y}{2}}}& 0\le y\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$ 確率変数の独立性の定義式 $f(x,y)=g\left(x\right)\cdot h\left(y\right)$ より、同時確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}f(x,y)=\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)}{x}^{\frac{m}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{y}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{y}{2}}\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}w=\frac{\frac{x}{m}}{\frac{y}{n}}\\ v=y\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=\frac{m}{n}wv\\ y=v\end{array}\\ \begin{array}{c}x:0\to \mathrm{\infty }\\ y:0\to \mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}w:0\to \mathrm{\infty }\\ v:0\to \mathrm{\infty }\end{array}\end{array}$$ 変数変換のヤコビアンは、 $$\begin{array}{rl}\left|J\right|& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial w}& \frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial x}{\partial v}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}\frac{m}{n}v& 0\\ \frac{m}{n}w& 1\end{array}\right|\\ & =|\frac{m}{n}v-0|\\ & =\frac{m}{n}v\end{array}$$ 変数変換後の同時確率密度関数の公式 $g(v,w)=f\{x(v,w),y(v,w)\}\left|J\right|$ より、 $$\begin{array}{rl}g(v,w)& =\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)}{\left(\frac{m}{n}wv\right)}^{\frac{m}{2}-1}{e}^{-\frac{1}{2}\frac{m}{n}wv}\cdot \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{v}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{v}{2}}\cdot \frac{m}{n}v\\ & =\frac{1}{2^{\frac{m+n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}\cdot w^{\frac{m}{2}-1}\cdot v^{\frac{m+n}{2}-1}\cdot e^{-\frac{v}{2}(\frac{m}{n}w+1)}\end{array}$$ 周辺確率分布の定義式 $g\left(x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$ より、 $$\begin{array}{rl}k\left(w\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{\frac{m+n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}\cdot w^{\frac{m}{2}-1}\cdot v^{\frac{m+n}{2}-1}\cdot e^{-\frac{v}{2}(\frac{m}{n}w+1)}dv\\ & =\frac{w^{\frac{m}{2}-1}}{2^{\frac{m+n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{v}^{\frac{m+n}{2}-1}\cdot e^{-\frac{v}{2}(\frac{m}{n}w+1)}dv\end{array}$$ ガンマ関数の公式 $$\begin{array}{r}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\beta }^{\alpha }}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}dx\end{array}$$ より、 $$\begin{array}{r}\alpha =\frac{m+n}{2}\beta =\frac{1}{2}(\frac{m}{n}w+1)\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{rl}k\left(w\right)& =\frac{w^{\frac{m}{2}-1}}{2^{\frac{m+n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+n}{2}\right)\cdot 2^{\frac{m+n}{2}}\cdot {(1+\frac{m}{n}w)}^{-\frac{m+n}{2}}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+n}{2}\right)w^{\frac{m}{2}-1}}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)\cdot {(1+\frac{m}{n}w)}^{\frac{m+n}{2}}}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}\end{array}$$ また、ベータ関数とガンマ関数の関係 $B(\alpha ,\beta )=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)\mathrm{\Gamma }\left(\beta \right)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}$ より、 $$\begin{array}{r}k\left(w\right)=\frac{w^{\frac{m}{2}-1}}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\cdot {(1+\frac{m}{n}w)}^{\frac{m+n}{2}}}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}\end{array}$$ $◼$

$\mathrm{F}$分布に従う確率変数の定義式より、 $$\begin{array}{r}X=\frac{\frac{{\chi }^2\left(m\right)}{m}}{\frac{{\chi }^2\left(n\right)}{n}}\end{array}$$ これを逆数変換すると、 $$\begin{array}{r}Y=\frac{\frac{{\chi }^2\left(n\right)}{n}}{\frac{{\chi }^2\left(m\right)}{m}}\end{array}$$ これは、自由度 $(n,m)$ の $\mathrm{F}$分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{F}(n,m)\end{array}$$ の定義式である。 したがって、確率変数 $Y$ は自由度 $(n,m)$ の $\mathrm{F}$分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{F}(n,m)\end{array}$$ に従う。 $◼$

$\mathrm{F}$分布の確率密度関数は、 $$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\frac{x^{\frac{m-2}{2}}}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\cdot {(1+\frac{m}{n}x)}^{\frac{m+n}{2}}}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}\end{array}$$ $Y=\frac{1}{X}$ の取り得る値の範囲は、 $$\begin{array}{r}0\le X\Rightarrow 0\le Y\end{array}$$ 逆数変換の公式 $g\left(y\right)=f\left(\frac{1}{y}\right)\cdot \frac{1}{y^2}$ より、 $$\begin{array}{rl}g\left(y\right)& =\frac{{\left(\frac{1}{y}\right)}^{\frac{m}{2}-1}}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\cdot {(1+\frac{m}{n}\cdot \frac{1}{y})}^{\frac{m+n}{2}}}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}\cdot {\left(\frac{1}{y}\right)}^2\\ & =\frac{{\left(\frac{1}{y}\right)}^{\frac{m}{2}+1}}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\cdot {(1+\frac{m}{n}\cdot \frac{1}{y})}^{\frac{m+n}{2}}}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}\\ & =\frac{{\left(\frac{m}{ny}\right)}^{\frac{m}{2}}}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\cdot {\left\{\frac{m}{ny}(\frac{ny}{m}+1)\right\}}^{\frac{m+n}{2}}}\cdot \frac{1}{y}\\ & =\frac{{\left(\frac{m}{ny}\right)}^{\frac{m}{2}}}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\cdot {\left(\frac{m}{ny}\right)}^{\frac{m}{2}}{\left(\frac{m}{ny}\right)}^{\frac{n}{2}}{(1+\frac{n}{m}y)}^{\frac{m+n}{2}}}\cdot \frac{1}{y}\\ & =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\cdot {\left(\frac{m}{ny}\right)}^{\frac{n}{2}}{(1+\frac{n}{m}y)}^{\frac{m+n}{2}}}\cdot \frac{1}{y}\\ & =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\cdot {\left(\frac{ny}{m}\right)}^{-\frac{n}{2}}{(1+\frac{n}{m}y)}^{\frac{m+n}{2}}}\cdot \frac{1}{y}\\ & =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\cdot {(1+\frac{n}{m}y)}^{\frac{m+n}{2}}}{\left(\frac{ny}{m}\right)}^{\frac{n}{2}}\cdot \frac{1}{y}\\ & =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\cdot {(1+\frac{n}{m}y)}^{\frac{m+n}{2}}}{\left\{y\left(\frac{n}{m}\right)\right\}}^{\frac{n}{2}}\cdot \frac{1}{y}\\ & =\frac{1}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\cdot {(1+\frac{n}{m}y)}^{\frac{m+n}{2}}}{\left(\frac{n}{m}\right)}^{\frac{n}{2}}\cdot y^{\frac{n}{2}}\cdot y^{-1}\end{array}$$ ベータ関数の対称性 $B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})=B(\frac{n}{2},\frac{m}{2})$ より、 $$\begin{array}{r}g\left(y\right)=\frac{y^{\frac{n}{2}-1}}{B(\frac{n}{2},\frac{m}{2})\cdot {(1+\frac{n}{m}y)}^{\frac{m+n}{2}}}{\left(\frac{n}{m}\right)}^{\frac{n}{2}}\end{array}$$ これは、自由度 $(n,m)$ の $\mathrm{F}$分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{F}(n,m)\end{array}$$ の確率密度関数である。 したがって、確率密度関数の一意性により、確率変数 $Y$ は自由度 $(n,m)$ の $\mathrm{F}$分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{F}(n,m)\end{array}$$ に従う。 $◼$