マクネマー検定に関する優越性試験のサンプルサイズ設計の公式

対称性に関する仮説を検定するための検定統計量は、 $$\begin{array}{r}\hat{\delta }={\hat{\pi }}_{12}-{\hat{\pi }}_{21}\end{array}$$ 〔1〕標本リスク差の漸近分布
対立仮説の下で $$\begin{array}{r}\hat{\delta }\stackrel{d}{\to }N[{\pi }_{12}-{\pi }_{21},\frac{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})-{({\pi }_{12}-{\pi }_{21})}^2}{N}]\end{array}$$ 帰無仮説の下で $$\begin{array}{r}\hat{\delta }\sim \mathrm{N}(0,\frac{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}{N})\end{array}$$ したがって、検定統計量の分散について、 $$\begin{array}{c}\frac{{\varphi }_0^2}{N}=\frac{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}{N}\\ {\varphi }_0^2={\pi }_{12}+{\pi }_{21}\\ {\varphi }_0=\sqrt{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}\end{array}$$ $$\begin{array}{c}\frac{{\varphi }_1^2}{N}=\frac{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})-{({\pi }_{12}-{\pi }_{21})}^2}{N}\\ {\varphi }_1^2=({\pi }_{12}+{\pi }_{21})-{({\pi }_{12}-{\pi }_{21})}^2\\ {\varphi }_1=\sqrt{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})-{({\pi }_{12}-{\pi }_{21})}^2}\end{array}$$ これをサンプルサイズの設計公式に代入すると、 $$\begin{array}{r}N={\left[\frac{Z_{\alpha }\cdot \sqrt{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}-Z_{1-\beta }\cdot \sqrt{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})-{({\pi }_{12}-{\pi }_{21})}^2}}{|{\pi }_{12}-{\pi }_{21}|}\right]}^2\end{array}$$ 条件付きオッズ比が与えられた場合は、 $$\begin{array}{c}{\phi }_c=\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{21}}\iff {\pi }_{12}={\phi }_c{\pi }_{21}\end{array}$$ これを代入すると、 $$\begin{array}{rl}N& ={\left[\frac{Z_{\alpha }\cdot \sqrt{{\phi }_c{\pi }_{21}+{\pi }_{21}}-Z_{1-\beta }\cdot \sqrt{({\phi }_c{\pi }_{21}+{\pi }_{21})-{({\phi }_c{\pi }_{21}-{\pi }_{21})}^2}}{|{\phi }_c{\pi }_{21}-{\pi }_{21}|}\right]}^2\\ & ={\left[\frac{Z_{\alpha }\cdot \sqrt{({\phi }_c+1){\pi }_{21}}-Z_{1-\beta }\cdot \sqrt{({\phi }_c+1){\pi }_{21}-{\pi }_{21}^2{({\phi }_c-1)}^2}}{\left|({\phi }_c-1){\pi }_{21}\right|}\right]}^2\end{array}$$ $◼$