統計検定 1級 2023年 医薬生物学 問5 モンティ・ホール問題

本稿には、2023年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問5の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕ベイズの定理

ベイズの定理より、 $$\begin{array}{rl}P\left(A_j\right|B)& =\frac{P\left(A_j\right)\cdot P\left(B\right|A_j)}{P\left(B\right)}\\ & =\frac{P\left(A_j\right)}{P\left(B\right)}\cdot P\left(B\right|A_j)\end{array}$$ ここで、$P\left(A_j\right)=\frac{1}{m},P\left(B\right)$ は定数なので、 $$\begin{array}{c}P\left(A_j\right|B)=c\cdot P\left(B\right|A_j)\\ c=\frac{1}{mP\left(B\right)}\end{array}$$ $◼$

〔2〕選択を変えた方が有利な理由

箱 $j$ が当たりである事象を $A_j$ とし、和夫さんが箱1を選んだとき、令美さんが箱3を開ける事象を $B$ とすると、〔1〕より、 $$\begin{array}{rl}P\left(A_1\right|B):P\left(A_2\right|B):P\left(A_3\right|B)& =P\left(B\right|A_1):P\left(B\right|A_2):P\left(B\right|A_3)\\ & =\frac{1}{2}:1:0\\ & =1:2:0\end{array}$$ であるので、 箱2が当たりの確率は、 $$\begin{array}{c}P\left(A_2\right|B)=\frac{2}{3}\end{array}$$ となる。 $◼$

〔3〕変更先が当たりである確率の一般的な値

$P\left(B\right|A_1)=w$ として、〔2〕と同様に考えると、 $$\begin{array}{rl}P\left(A_1\right|B):P\left(A_2\right|B):P\left(A_3\right|B)& =P\left(B\right|A_1):P\left(B\right|A_2):P\left(B\right|A_3)\\ & =w:1:0\end{array}$$ 箱2が当たりの確率は、 $$\begin{array}{rl}p& =P\left(A_2\right|B)\\ & =\frac{1}{1+w}\end{array}$$ 確率の公理 $0\le w\le 1$ により、 $$\begin{array}{c}0+1\le w+1\le 1+1\\ \frac{1}{2}\le \frac{1}{w+1}\le 1\\ \frac{1}{2}\le p\le 1\end{array}$$ $◼$

〔4〕サンプルサイズの設計

帰無仮説と対立仮説は、 $$\begin{array}{r}{H}_0:p=\frac{1}{2}{H}_1:p=\frac{2}{3}\end{array}$$ 二項分布の確率関数の定義式より、 $$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{}_n{C}_x{p}^x{(1-p)}^{n-x}& x=0,1,\cdots ,n\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$ 帰無仮説のもとでは、 $$\begin{array}{c}f\left(x\right)={}_n{C}_x{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\end{array}$$ このとき、 $$\begin{array}{rl}P(n-1\le X|H_0)& =P(X=n-1|H_0)+P(X=n|H_0)\\ & =\frac{{}_n{C}_{n-1}+{}_n{C}_n}{2^n}\\ & =\frac{n+1}{2^n}\end{array}$$ $n$ に具体的な値を代入してみると、 $$\begin{array}{r}\frac{7+1}{2^7}=\frac{8}{128}=0.0625\\ \frac{8+1}{2^8}=\frac{9}{256}=0.0352\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}P(n-1\le X|H_0)\le 0.05\end{array}$$ を満たす最小の $n$ は、 $$\begin{array}{r}{n}_0=8\end{array}$$ このとき、検出力は、 $$\begin{array}{rl}P(7\le X|H_1)& =P(X=7|H_1)+P(X=8|H_1)\\ & ={}_8{C}_7{\left(\frac{2}{3}\right)}^7\left(\frac{1}{3}\right)+{}_8{C}_8{\left(\frac{2}{3}\right)}^8\\ & =\frac{8\cdot 2^7+2^8}{3^8}\\ & =\frac{1280}{6561}\\ & \cong 0.195\end{array}$$ $◼$

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