本稿には、2023年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
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〔1〕ロジスティック回帰モデルにおける対数オッズ
問題文の定義より、各群の対数オッズは、 \begin{align} \log{ \left(\frac{\pi_T}{1-\pi_T}\right)}&=\alpha+\beta \cdot 1\\ &=\alpha+\beta \end{align} \begin{align} \log{ \left(\frac{\pi_C}{1-\pi_C}\right)}&=\alpha+\beta \cdot 0\\ &=\alpha \end{align} $T$ 群の $C$ 群に対する対数オッズ比は、 \begin{align} \log{ \left(\frac{\frac{\pi_C}{1-\pi_C}}{\frac{\pi_T}{1-\pi_T}}\right)}&=\log{ \left(\frac{\pi_C}{1-\pi_C}\right)}-\log{ \left(\frac{\pi_T}{1-\pi_T}\right)}\\ &=\alpha+\beta-\alpha\\ &=\beta \end{align} したがって、 \begin{gather} \mathrm{OR}=e^\beta \end{gather} $\blacksquare$
〔2〕対数尤度関数
ロジスティック回帰モデルの仮定より、 \begin{gather} \pi_T=\frac{e^{\alpha+\beta}}{1+e^{\alpha+\beta}} \quad 1-\pi_T=\frac{1}{1+e^{\alpha+\beta}}\\ \pi_C=\frac{e^\alpha}{1+e^\alpha} \quad 1-\pi_C=\frac{1}{1+e^\alpha} \end{gather} 積二項尤度の基本式より、 \begin{align} L \left(\pi_T,\pi_C\right)={}_{10}C_7\pi_T^7 \left(1-\pi_T\right)^3 \cdot {}_{10}C_4\pi_C^4 \left(1-\pi_C\right)^6 \end{align} 対数尤度関数の定義式 $l \left(\theta,\boldsymbol{x}\right)=\log{L \left(\theta,\boldsymbol{x}\right)}$ より、 \begin{align} l \left(\pi_T,\pi_C\right)=\log{{}_{10}C_7}+7\log{\pi_T}+3\log{ \left(1-\pi_T\right)}+\log{{}_{10}C_4}+4\log{\pi_C}+6\log{ \left(1-\pi_C\right)} \end{align} 問題文と同様、$\log{{}_{10}C_7}+\log{{}_{10}C_4}=C$ を無視すると、 \begin{align} l \left(\pi_T,\pi_C\right)&=7\log{\pi_T}+3\log{ \left(1-\pi_T\right)}+4\log{\pi_C}+6\log{ \left(1-\pi_C\right)}\\ &=7\log{ \left(\frac{e^{\alpha+\beta}}{1+e^{\alpha+\beta}}\right)}+3\log{ \left(\frac{1}{1+e^{\alpha+\beta}}\right)}+4\log{ \left(\frac{e^\alpha}{1+e^\alpha}\right)}+6\log{ \left(\frac{1}{1+e^\alpha}\right)}\\ &=7 \left\{ \left(\alpha+\beta\right)-\log{ \left(1+e^{\alpha+\beta}\right)}\right\}-3\log{ \left(1+e^{\alpha+\beta}\right)}+4 \left\{\alpha-\log{ \left(1+e^\alpha\right)}\right\}-6\log{ \left(1+e^\alpha\right)}\\ &=11\alpha+7\beta-10\log{ \left(1+e^\alpha\right)}-10\log{ \left(1+e^{\alpha+\beta}\right)} \end{align} したがって、係数を比較すると、 \begin{align} c_1=11 \quad c_2=7 \quad c_3=-10 \quad c_4=-10 \end{align} $\blacksquare$
〔3〕最尤法によるパラメータの推定
マッチングなしのコホート研究（積二項モデル）において、ロジスティック・モデルを用いると、パラメータ $\alpha,\beta$ の最尤推定量は、 \begin{gather} \hat{\alpha}=\log{\frac{b}{d}} \quad \hat{\beta}=\log{\frac{ad}{bc}} \end{gather} で与えられる。 常用対数で求めると、付表5より、 \begin{align} \hat{\alpha}&=\log_{10}{\frac{4}{6}}\\ &=\log_{10}{2}-\log_{10}{3}\\ &=0.3010-0.4771\\ &=-0.1761 \end{align} \begin{align} \hat{\beta}&=\log_{10}{\frac{7 \cdot 6}{4 \cdot 3}}\\ &=\log_{10}{\frac{7}{2}}\\ &=\log_{10}{3.5}\\ &=0.5441 \end{align} 付表5の注より、常用対数を自然対数に直すと、 \begin{align} \hat{\alpha}&=-0.1761\times2.3026\\ &\cong-0.4055 \end{align} \begin{align} \hat{\beta}&=0.5441\times2.3026\\ &\cong1.253 \end{align} $\blacksquare$
〔4〕尤度比カイ二乗検定
\begin{gather} H_0:\gamma=0 \quad \mathrm{v.s.} \quad H_1:\gamma \neq 0 \end{gather} の仮説検定について、 最尤推定量 $\hat{\gamma}$ は漸近的に正規分布に従い、推定量の分散を $V \left(\hat{\gamma}\right)$ とすると、帰無仮説の下で \begin{align} \chi^2&=\frac{{\hat{\gamma}}^2}{V \left(\hat{\gamma}\right)}\\ &=\frac{ \left(-0.1\right)^2}{{0.07}^2}\\ &=\frac{0.01}{0.0049}\\ &=2.04 \end{align} これが自由度 $1$ の $\chi^2$ 分布に従うことを用いると、付表3より \begin{align} \chi^2=2.04 \lt 3.84=\chi_{0.05}^2 \left(1\right) \end{align} となるため、 有意水準5%の下で、帰無仮説は棄却されない。 $\blacksquare$
〔5〕陽性的中率と陰性的中率
陽性的中率の定義より、 \begin{align} \mathrm{\widehat{PPV}}&=P \left(D\middle|+\right)\\ &=\frac{2+3+1}{2+5+2}\\ &=\frac{6}{9}\\ &=\frac{2}{3}\\ &\cong0.667 \end{align} 陰性的中率の定義より、 \begin{align} \mathrm{\widehat{NPV}}&=P \left(\bar{D}\middle|-\right)\\ &=\frac{1+0+5}{3+2+6}\\ &=\frac{6}{11}\\ &\cong0.545 \end{align} $\blacksquare$
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