統計検定 1級 2023年 医薬生物学 問1 ロジスティック回帰モデル・診断検査

本稿には、2023年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

• 著作権の関係上、問題文は、掲載することができません。申し訳ありませんが、閲覧者のみなさまでご用意いただければ幸いです。
• この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
• 計算ミスや誤字・脱字などがありましたら、コメントなどでご指摘いただければ大変助かります。
• スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。

 

〔1〕ロジスティック回帰モデルにおける対数オッズ

問題文の定義より、各群の対数オッズは、 $$\begin{array}{rl}\log \left(\frac{{\pi }_T}{1-{\pi }_T}\right)& =\alpha +\beta \cdot 1\\ & =\alpha +\beta \end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\log \left(\frac{{\pi }_C}{1-{\pi }_C}\right)& =\alpha +\beta \cdot 0\\ & =\alpha \end{array}$$ $T$ 群の $C$ 群に対する対数オッズ比は、 $$\begin{array}{rl}\log \left(\frac{\frac{{\pi }_C}{1-{\pi }_C}}{\frac{{\pi }_T}{1-{\pi }_T}}\right)& =\log \left(\frac{{\pi }_C}{1-{\pi }_C}\right)-\log \left(\frac{{\pi }_T}{1-{\pi }_T}\right)\\ & =\alpha +\beta -\alpha \\ & =\beta \end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}\mathrm{OR}=e^{\beta }\end{array}$$ $◼$

 

〔2〕対数尤度関数

ロジスティック回帰モデルの仮定より、 $$\begin{array}{c}{\pi }_T=\frac{e^{\alpha +\beta }}{1+e^{\alpha +\beta }}1-{\pi }_T=\frac{1}{1+e^{\alpha +\beta }}\\ {\pi }_C=\frac{e^{\alpha }}{1+e^{\alpha }}1-{\pi }_C=\frac{1}{1+e^{\alpha }}\end{array}$$ 積二項尤度の基本式より、 $$\begin{array}{r}L({\pi }_T,{\pi }_C)={}_{10}{C}_7{\pi }_T^7{(1-{\pi }_T)}^3\cdot {}_{10}{C}_4{\pi }_C^4{(1-{\pi }_C)}^6\end{array}$$ 対数尤度関数の定義式 $l(\theta ,\mathit{x})=\log L(\theta ,\mathit{x})$ より、 $$\begin{array}{r}l({\pi }_T,{\pi }_C)=\log {}_{10}{C}_7+7\log {\pi }_T+3\log (1-{\pi }_T)+\log {}_{10}{C}_4+4\log {\pi }_C+6\log (1-{\pi }_C)\end{array}$$ 問題文と同様、$\log {}_{10}{C}_7+\log {}_{10}{C}_4=C$ を無視すると、 $$\begin{array}{rl}l({\pi }_T,{\pi }_C)& =7\log {\pi }_T+3\log (1-{\pi }_T)+4\log {\pi }_C+6\log (1-{\pi }_C)\\ & =7\log \left(\frac{e^{\alpha +\beta }}{1+e^{\alpha +\beta }}\right)+3\log \left(\frac{1}{1+e^{\alpha +\beta }}\right)+4\log \left(\frac{e^{\alpha }}{1+e^{\alpha }}\right)+6\log \left(\frac{1}{1+e^{\alpha }}\right)\\ & =7\{(\alpha +\beta )-\log (1+e^{\alpha +\beta })\}-3\log (1+e^{\alpha +\beta })+4\{\alpha -\log (1+e^{\alpha })\}-6\log (1+e^{\alpha })\\ & =11\alpha +7\beta -10\log (1+e^{\alpha })-10\log (1+e^{\alpha +\beta })\end{array}$$ したがって、係数を比較すると、 $$\begin{array}{r}{c}_1=11c_2=7c_3=-10c_4=-10\end{array}$$ $◼$

 

〔3〕最尤法によるパラメータの推定

マッチングなしのコホート研究（積二項モデル）において、ロジスティック・モデルを用いると、パラメータ $\alpha ,\beta$ の最尤推定量は、 $$\begin{array}{c}\hat{\alpha }=\log \frac{b}{d}\hat{\beta }=\log \frac{ad}{bc}\end{array}$$ で与えられる。 常用対数で求めると、付表5より、 $$\begin{array}{rl}\hat{\alpha }& ={\log }_{10}\frac{4}{6}\\ & ={\log }_{10}2-{\log }_{10}3\\ & =0.3010-0.4771\\ & =-0.1761\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\hat{\beta }& ={\log }_{10}\frac{7\cdot 6}{4\cdot 3}\\ & ={\log }_{10}\frac{7}{2}\\ & ={\log }_{10}3.5\\ & =0.5441\end{array}$$ 付表5の注より、常用対数を自然対数に直すと、 $$\begin{array}{rl}\hat{\alpha }& =-0.1761\times 2.3026\\ & \cong -0.4055\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\hat{\beta }& =0.5441\times 2.3026\\ & \cong 1.253\end{array}$$ $◼$

 

〔4〕尤度比カイ二乗検定

$$\begin{array}{c}{H}_0:\gamma =0\mathrm{v}.\mathrm{s}.H_1:\gamma \ne 0\end{array}$$ の仮説検定について、 最尤推定量 $\hat{\gamma }$ は漸近的に正規分布に従い、推定量の分散を $V\left(\hat{\gamma }\right)$ とすると、帰無仮説の下で $$\begin{array}{rl}{\chi }^2& =\frac{{\hat{\gamma }}^2}{V\left(\hat{\gamma }\right)}\\ & =\frac{{(-0.1)}^2}{{0.07}^2}\\ & =\frac{0.01}{0.0049}\\ & =2.04\end{array}$$ これが自由度 $1$ の ${\chi }^2$ 分布に従うことを用いると、付表3より $$\begin{array}{r}{\chi }^2=2.04<3.84={\chi }_{0.05}^2\left(1\right)\end{array}$$ となるため、 有意水準5%の下で、帰無仮説は棄却されない。 $◼$

 

〔5〕陽性的中率と陰性的中率

陽性的中率の定義より、 $$\begin{array}{rl}\widehat{\mathrm{PPV}}& =P\left(D\right|+)\\ & =\frac{2+3+1}{2+5+2}\\ & =\frac{6}{9}\\ & =\frac{2}{3}\\ & \cong 0.667\end{array}$$ 陰性的中率の定義より、 $$\begin{array}{rl}\widehat{\mathrm{NPV}}& =P\left(\overline{D}\right|-)\\ & =\frac{1+0+5}{3+2+6}\\ & =\frac{6}{11}\\ & \cong 0.545\end{array}$$ $◼$

 

関連記事

• ロジスティック回帰分析
• 診断検査の正確性
• ロジスティック・モデルによる対数オッズ比の最尤推定