関数の増減の判定

本稿では、関数の増減の判定を紹介しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

導関数の符号と関数の増減

証明

定理の系

証明

増減表

例えば、 $$\begin{array}{c}f\left(x\right)=x^3-3x+1\end{array}$$ について 1階微分を求めると $$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\end{array}$$ したがって、
区間$x<-1$では、$f^{\prime }\left(x\right)>0$ 区間$-1<x<1$では、$f^{\prime }\left(x\right)<0$ 区間$1<x$では、$f^{\prime }\left(x\right)>0$ これを表にまとめると以下のようになる。 $$\begin{array}{cccccc}x& \cdots & -1& \cdots & 1& \cdots \\ f^{\prime }\left(x\right)& +& 0& -& 0& +\\ f\left(x\right)& \nearrow & 3& \searrow & -1& \nearrow \end{array}$$ このような表のことを増減表 derivative sign chart という。表の中の $\nearrow$ は増加を、$\searrow$ は減少を表している。一般に関数の増減について調べるときは、増減表を作ると便利である。

極大点・極小点との関係

関数 $f$ が微分可能である区間内の1点 $c$ において $$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(c\right)=0\end{array}$$ で、$x$ が増加しながら $c$ を通過するとき、 $f^{\prime }\left(x\right)$ の値が正から負に変わるならば、 $x=c$ は $f$ の極大点 である。 $f^{\prime }\left(x\right)$ の値が負から正に変わるならば、 $x=c$ は $f$ の極小点 である。 実際上、これが関数の極値を求めるための基本的な判定法となっている。なお、$f^{\prime }\left(c\right)=0$ であっても、$x=c$ の前後で $f^{\prime }\left(x\right)$ の符号が変わらなければ、$f^{\prime }\left(c\right)$ は極値ではない。

参考文献

• 松坂 和夫 著. 数学読本 5. 新装版, 岩波書店, 2019, p.908-912

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