本稿では、2次元確率変数の比の確率密度関数の公式を導出しています。
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【公式】2次元確率変数の比の確率密度関数
【公式】
2次元確率変数の比の確率密度関数
Probability Density Function of Ratio of Random Variables
連続型確率変数 $X,Y$ の同時確率密度関数を \begin{gather} f \left(x,y\right) \end{gather} とするとき、 \begin{gather} V=\frac{X}{Y} \end{gather} の確率密度関数は、 \begin{align} g \left(v\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(vy,y\right) \left|y\right|dy \end{align} で与えられる。
導出
\begin{align} \left\{\begin{matrix}v=\frac{x}{y}\\w=y\\\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=vw\\y=w\\\end{matrix}\right. \end{align} 変数変換のヤコビアンは、 \begin{align} J&= \left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial v}\\\frac{\partial x}{\partial w}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|\begin{matrix}w&0\\v&1\\\end{matrix}\right|\\ &=w \end{align} このとき、$v,w$ の同時確率密度関数 $g \left(v,w\right)=f \left\{x \left(v,w\right),y \left(v,w\right)\right\} \left|J\right|$ は、 \begin{align} g \left(v,w\right)=f \left(vw,w\right) \left|w\right| \end{align} よって、周辺確率密度関数の定義式 $f \left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x,y\right)dy$ より、$V$ の周辺確率密度関数は、 \begin{align} g \left(v\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(vw,w\right) \left|w\right|dw=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(vy,y\right) \left|y\right|dy \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.66-67
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