2次元確率変数の比の確率密度関数の導出

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{c}v=\frac{x}{y}\\ w=y\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=vw\\ y=w\end{array}\end{array}$$ 変数変換のヤコビアンは、 $$\begin{array}{rl}J& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial v}& \frac{\partial y}{\partial v}\\ \frac{\partial x}{\partial w}& \frac{\partial y}{\partial w}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}w& 0\\ v& 1\end{array}\right|\\ & =w\end{array}$$ このとき、$v,w$ の同時確率密度関数 $g(v,w)=f\{x(v,w),y(v,w)\}\left|J\right|$ は、 $$\begin{array}{r}g(v,w)=f(vw,w)\left|w\right|\end{array}$$ よって、周辺確率密度関数の定義式 $f\left(x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$ より、$V$ の周辺確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}g\left(v\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(vw,w)\left|w\right|dw={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(vy,y)\left|y\right|dy\end{array}$$ $◼$