統計検定 1級 2024年 医薬生物学 問5 重回帰分析

本稿には、2024年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問5の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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• この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕重回帰モデルにおけるパラメータの推定

相関係数について、 $$\begin{array}{c}0\le r_{12}<1\\ 0<1-r_{12}^2\le 1\end{array}$$ したがって、逆行列が存在することから、逆行列の公式より、 $$\begin{array}{r}{\left(\begin{array}{cc}1& r_{12}\\ r_{12}& 1\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{1-r_{12}^2}\left(\begin{array}{cc}1& -r_{12}\\ -r_{12}& 1\end{array}\right)\end{array}$$ この逆行列を与えられた正規方程式の左からかけると、 $$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)& =\frac{1}{1-r_{12}^2}\left(\begin{array}{cc}1& -r_{12}\\ -r_{12}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{r}_{y1}\\ r_{y2}\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{1-r_{12}^2}\left(\begin{array}{c}{r}_{y1}-r_{12}\cdot r_{y2}\\ -r_{12}\cdot r_{y1}+r_{y2}\end{array}\right)\end{array}$$ 問題文で与えられた数値を代入すると、 $$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)& =\frac{1}{1-0.25}\left(\begin{array}{c}0.6-0\\ -0.5\cdot 0.6+0\end{array}\right)\\ & =\frac{4}{3}\left(\begin{array}{c}0.6\\ -0.3\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}0.8\\ -0.4\end{array}\right)\end{array}$$ $◼$

 

〔2〕重回帰式と単回帰式のパラメータの関係①

〔1〕での検討より、 $$\begin{array}{r}{b}_1=\frac{r_{y1}-r_{12}\cdot r_{y2}}{1-r_{12}^2}\end{array}$$ 相関係数の性質や与えられた条件から、 $$\begin{array}{r}0\le r_{12}<1,0<1-r_{12}^2\le 1,0<r_{y1}\end{array}$$ 与えられた関係式が成り立つとき、 $$\begin{array}{c}{r}_{y1}<\frac{r_{y1}-r_{12}\cdot r_{y2}}{1-r_{12}^2}\\ r_{y1}(1-r_{12}^2)<r_{y1}-r_{12}\cdot r_{y2}\\ r_{y1}-r_{y1}\cdot r_{12}^2<r_{y1}-r_{12}\cdot r_{y2}\\ -r_{y1}\cdot r_{12}<-r_{y2}\\ \frac{r_{y2}}{r_{y1}}<r_{12}\end{array}$$ $◼$

 

〔3〕重回帰式と単回帰式のパラメータの関係②

〔1〕での検討より、 $$\begin{array}{r}{b}_2=\frac{r_{y2}-r_{12}\cdot r_{y1}}{1-r_{12}^2}\end{array}$$ 相関係数の性質や与えられた条件から、 $$\begin{array}{r}0\le r_{12}<1,0<1-r_{12}^2\le 1,0<r_{y1},0\le r_{y2}\end{array}$$ 与えられた関係式が成り立つとき、 $$\begin{array}{c}\frac{r_{y2}-r_{12}\cdot r_{y1}}{1-r_{12}^2}<0\\ r_{y2}-r_{12}\cdot r_{y1}<0\\ r_{y2}<r_{12}\cdot r_{y1}\\ \frac{r_{y2}}{r_{y1}}<r_{12}\end{array}$$ $◼$

 

〔4〕予測値の分散、予測値と観測値との共分散

問題文の条件より、 $$\begin{array}{c}E\left(x_1\right)=E\left(x_2\right)=E\left(y\right)=0\\ V\left(x_1\right)=V\left(x_2\right)=V\left(y\right)=1\end{array}$$ 相関係数の定義式から、確率変数どうしの共分散を求めると、 $$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V\left(X\right)}\cdot \sqrt{V\left(Y\right)}}={\rho }_{xy}\\ \mathrm{Cov}(X,Y)={\rho }_{xy}\cdot \sqrt{V\left(X\right)}\cdot \sqrt{V\left(Y\right)}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}\mathrm{Cov}(x_1,x_2)=0.5\cdot \sqrt{1}\cdot \sqrt{1}=0.5\\ \mathrm{Cov}(x_1,y)=0.6\cdot \sqrt{1}\cdot \sqrt{1}=0.6\\ \mathrm{Cov}(x_2,y)=0\cdot \sqrt{1}\cdot \sqrt{1}=0\end{array}$$ また、共分散の公式より、 $$\begin{array}{c}\mathrm{Cov}(X,Y)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)\cdot E\left(Y\right)\\ E\left(XY\right)=\mathrm{Cov}(X,Y)+E\left(X\right)\cdot E\left(Y\right)\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}E\left(x_1{x}_2\right)=0.5+0\cdot 0=0.5\\ E\left(x_{1}y\right)=0.6+0\cdot 0=0.6\\ E\left(x_{2}y\right)=0+0\cdot 0=0\end{array}$$

分散の性質と共分散の性質より、 $$\begin{array}{rl}V\left(\hat{y}\right)& =V(0.8x_1-0.4x_2)\\ & ={0.8}^{2}V\left(x_1\right)+{0.4}^{2}V\left(x_2\right)+2\mathrm{Cov}(0.8x_1,-0.4x_2)\\ & =0.64\cdot 1+0.16\cdot 1+2\cdot 0.8\cdot (-0.4)\cdot \mathrm{Cov}(x_1,x_2)\\ & =0.8-0.64\cdot 0.5\\ & =0.48\end{array}$$

共分散の公式より、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}(y,\hat{y})& =E\left[(0.8x_1-0.4x_2)y\right]-E\left(y\right)E\left(\hat{y}\right)\\ & =0.8E\left(x_{1}y\right)-0.4E\left(x_{2}y\right)-0\\ & =0.8\cdot 0.6-0.4\cdot 0\\ & =0.48\end{array}$$ $◼$

 

〔5〕決定係数

相関係数の定義より、予測値と観測値との相関係数は、 $$\begin{array}{rl}{\rho }_{\hat{y}y}& =\frac{\mathrm{Cov}(y,\hat{y})}{\sqrt{V\left(y\right)}\cdot \sqrt{V\left(\hat{y}\right)}}\\ & =\frac{0.48}{\sqrt{1}\cdot \sqrt{0.48}}\\ & =\sqrt{0.48}\end{array}$$ 決定係数の定義より、 $$\begin{array}{rl}{R}_2^2& ={\rho }_{\hat{y}y}^2\\ & ={\sqrt{0.48}}^2\\ & =0.48\end{array}$$ $◼$

 

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