統計検定 1級 2024年 医薬生物学 問5 重回帰分析

本稿には、2024年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問5の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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• この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
• 計算ミスや誤字・脱字などがありましたら、コメントなどでご指摘いただければ大変助かります。
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〔1〕重回帰モデルにおけるパラメータの推定

相関係数について、 \begin{gather} 0 \le r_{12} \lt 1\\ 0 \lt 1-r_{12}^2 \le 1 \end{gather} したがって、逆行列が存在することから、逆行列の公式より、 \begin{align} \left(\begin{matrix}1&r_{12}\\r_{12}&1\\\end{matrix}\right)^{-1}=\frac{1}{1-r_{12}^2} \left(\begin{matrix}1&-r_{12}\\-r_{12}&1\\\end{matrix}\right) \end{align} この逆行列を与えられた正規方程式の左からかけると、 \begin{align} \left(\begin{matrix}b_1\\b_2\\\end{matrix}\right)&=\frac{1}{1-r_{12}^2} \left(\begin{matrix}1&-r_{12}\\-r_{12}&1\\\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}r_{y1}\\r_{y2}\\\end{matrix}\right)\\ &=\frac{1}{1-r_{12}^2} \left(\begin{matrix}r_{y1}-r_{12} \cdot r_{y2}\\-r_{12} \cdot r_{y1}+r_{y2}\\\end{matrix}\right) \end{align} 問題文で与えられた数値を代入すると、 \begin{align} \left(\begin{matrix}b_1\\b_2\\\end{matrix}\right)&=\frac{1}{1-0.25} \left(\begin{matrix}0.6-0\\-0.5 \cdot 0.6+0\\\end{matrix}\right)\\ &=\frac{4}{3} \left(\begin{matrix}0.6\\-0.3\\\end{matrix}\right)\\ &= \left(\begin{matrix}0.8\\-0.4\\\end{matrix}\right) \end{align} $\blacksquare$

 

〔2〕重回帰式と単回帰式のパラメータの関係①

〔1〕での検討より、 \begin{align} b_1=\frac{r_{y1}-r_{12} \cdot r_{y2}}{1-r_{12}^2} \end{align} 相関係数の性質や与えられた条件から、 \begin{align} 0 \le r_{12} \lt 1, \quad 0 \lt 1-r_{12}^2 \le 1, \quad 0 \lt r_{y1} \end{align} 与えられた関係式が成り立つとき、 \begin{gather} r_{y1} \lt \frac{r_{y1}-r_{12} \cdot r_{y2}}{1-r_{12}^2}\\ r_{y1} \left(1-r_{12}^2\right) \lt r_{y1}-r_{12} \cdot r_{y2}\\ r_{y1}-r_{y1} \cdot r_{12}^2 \lt r_{y1}-r_{12} \cdot r_{y2}\\ -r_{y1} \cdot r_{12} \lt -r_{y2}\\ \frac{r_{y2}}{r_{y1}} \lt r_{12} \end{gather} $\blacksquare$

 

〔3〕重回帰式と単回帰式のパラメータの関係②

〔1〕での検討より、 \begin{align} b_2=\frac{r_{y2}-r_{12} \cdot r_{y1}}{1-r_{12}^2} \end{align} 相関係数の性質や与えられた条件から、 \begin{align} 0 \le r_{12} \lt 1, \quad 0 \lt 1-r_{12}^2 \le 1, \quad 0 \lt r_{y1}, \quad 0 \le r_{y2} \end{align} 与えられた関係式が成り立つとき、 \begin{gather} \frac{r_{y2}-r_{12} \cdot r_{y1}}{1-r_{12}^2} \lt 0\\ r_{y2}-r_{12} \cdot r_{y1} \lt 0\\ r_{y2} \lt r_{12} \cdot r_{y1}\\ \frac{r_{y2}}{r_{y1}} \lt r_{12} \end{gather} $\blacksquare$

 

〔4〕予測値の分散、予測値と観測値との共分散

問題文の条件より、 \begin{gather} E \left(x_1\right)=E \left(x_2\right)=E \left(y\right)=0\\ V \left(x_1\right)=V \left(x_2\right)=V \left(y\right)=1 \end{gather} 相関係数の定義式から、確率変数どうしの共分散を求めると、 \begin{gather} \frac{\mathrm{Cov} \left(X,Y\right)}{\sqrt{V \left(X\right)} \cdot \sqrt{V \left(Y\right)}}=\rho_{xy}\\ \mathrm{Cov} \left(X,Y\right)=\rho_{xy} \cdot \sqrt{V \left(X\right)} \cdot \sqrt{V \left(Y\right)} \end{gather} したがって、 \begin{gather} \mathrm{Cov} \left(x_1,x_2\right)=0.5 \cdot \sqrt1 \cdot \sqrt1=0.5\\ \mathrm{Cov} \left(x_1,y\right)=0.6 \cdot \sqrt1 \cdot \sqrt1=0.6\\ \mathrm{Cov} \left(x_2,y\right)=0 \cdot \sqrt1 \cdot \sqrt1=0 \end{gather} また、共分散の公式より、 \begin{gather} \mathrm{Cov} \left(X,Y\right)=E \left(XY\right)-E \left(X\right) \cdot E \left(Y\right)\\ E \left(XY\right)=\mathrm{Cov} \left(X,Y\right)+E \left(X\right) \cdot E \left(Y\right) \end{gather} したがって、 \begin{gather} E \left(x_1x_2\right)=0.5+0 \cdot 0=0.5\\ E \left(x_1y\right)=0.6+0 \cdot 0=0.6\\ E \left(x_2y\right)=0+0 \cdot 0=0 \end{gather}

分散の性質と共分散の性質より、 \begin{align} V \left(\hat{y}\right)&=V \left(0.8x_1-0.4x_2\right)\\ &={0.8}^2V \left(x_1\right)+{0.4}^2V \left(x_2\right)+2\mathrm{Cov} \left(0.8x_1,-0.4x_2\right)\\ &=0.64 \cdot 1+0.16 \cdot 1+2 \cdot 0.8 \cdot \left(-0.4\right) \cdot \mathrm{Cov} \left(x_1,x_2\right)\\ &=0.8-0.64 \cdot 0.5\\ &=0.48 \end{align}

共分散の公式より、 \begin{align} \mathrm{Cov} \left(y,\hat{y}\right)&=E \left[ \left(0.8x_1-0.4x_2\right)y\right]-E \left(y\right)E \left(\hat{y}\right)\\ &=0.8E \left(x_1y\right)-0.4E \left(x_2y\right)-0\\ &=0.8 \cdot 0.6-0.4 \cdot 0\\ &=0.48 \end{align} $\blacksquare$

 

〔5〕決定係数

相関係数の定義より、予測値と観測値との相関係数は、 \begin{align} \rho_{\hat{y}y}&=\frac{\mathrm{Cov} \left(y,\hat{y}\right)}{\sqrt{V \left(y\right)} \cdot \sqrt{V \left(\hat{y}\right)}}\\ &=\frac{0.48}{\sqrt1 \cdot \sqrt{0.48}}\\ &=\sqrt{0.48} \end{align} 決定係数の定義より、 \begin{align} R_2^2&=\rho_{\hat{y}y}^2\\ &={\sqrt{0.48}}^2\\ &=0.48 \end{align} $\blacksquare$

 

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