本稿では、層別解析に対するマンテル・ヘンツェル検定の検定統計量の導出を行っています。この方法は、交絡因子の調整を行う際の最も基本的・標準的な方法として非常に重要です。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
【定理】層別解析に対するマンテル・ヘンツェル検定
【定理】
層別解析に対するマンテル・ヘンツェル検定
Mantel-Haenszel Test for Stratified Analysis
マッチングなし・層化ありのコホート研究（超幾何分布モデル）において、すべての層に共通オッズ比が存在すると仮定し、
帰無仮説を
全層共通のオッズ比が1である
\begin{align}
H_0:\varphi_k=1\Leftrightarrow\pi_{1k}=\pi_{0k}
\end{align}
対立仮説を
1ではない全層共通のオッズ比が存在する
\begin{align}
H_1:\varphi_k=\varphi \left( \neq 1\right)\Leftrightarrow\pi_{1k} \neq \pi_{0k}
\end{align}
として、
各層のサンプルサイズが十分に大きく（$N_k\rightarrow\infty$）、すべての周辺度数が固定されているという条件のもとで、層調整済みマンテル・ヘンツェル検定統計量は
\begin{align}
\chi_{\mathrm{MH}}^2=\frac{ \left[\sum_{k=1}^{K} \left\{a_k-\frac{n_{1k}m_{1k}}{N_k}\right\}\right]^2}{\sum_{k=1}^{K} \left[\frac{m_{1k}m_{0k}n_{1k}n_{0k}}{N_k^2 \left(N_k-1\right)}\right]}
\end{align}
で与えられる。
導出法：超幾何分布の正規近似を使用する方法
帰無仮説のもとで、第 $k$ 番目の層における超幾何分布の期待値と分散は、 \begin{align} E \left(a_k\right)=\frac{n_{1k}m_{1k}}{N_k} \quad V \left(a_k\right)=\frac{m_{1k}m_{0k}n_{1k}n_{0k}}{N_k^2 \left(N_k-1\right)} \end{align} 超幾何分布の正規近似（超幾何分布の二項近似→二項分布の正規近似）により、 \begin{align} a_k \sim \mathrm{N} \left[E \left(a_k\right),V \left(a_k\right)\right] \end{align} 線形変換の性質より、 \begin{align} a_k-E \left(a_k\right) \sim \mathrm{N} \left[0,V \left(a_k\right)\right] \end{align} 各層は互いに独立なので、正規分布の再生性より、 \begin{align} \sum_{k=1}^{K} \left\{a_k-E \left(a_k\right)\right\} \sim \mathrm{N} \left[0,\sum_{k=1}^{K}V \left(a_k\right)\right] \end{align} これを標準化した値は、 \begin{align} \frac{\sum_{k=1}^{K} \left\{a_k-E \left(a_k\right)\right\}}{\sum_{k=1}^{K}V \left(a_k\right)}=Z \sim \mathrm{N} \left(0,1\right) \end{align} したがって、$\chi^2$分布の定義より、 \begin{align} \chi_{\mathrm{MH}}^2&=\frac{ \left[\sum_{k=1}^{K} \left\{a_k-E \left(a_k\right)\right\}\right]^2}{\sum_{k=1}^{K}V \left(a_k\right)}\\ &=\frac{ \left[\sum_{k=1}^{K} \left\{a_k-\frac{n_{1k}m_{1k}}{N_k}\right\}\right]^2}{\sum_{k=1}^{K} \left[\frac{m_{1k}m_{0k}n_{1k}n_{0k}}{N_k^2 \left(N_k-1\right)}\right]} \end{align} これは、 \begin{align} \chi_{\mathrm{MH}}^2 \sim \chi^2 \left(1\right) \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.132-133
- Mantel, N. & Haenszel, W.. Statistical Aspects of the Analysis of Data From Retrospective Studies of Disease. Journal of the National Cancer Institute. 1959, 22(4), p.719-748, doi: 10.1093/jnci/22.4.719
- Mantel, N.. Chi-square tests with one degree of freedom: Extensions of the Mantel-Haenszel procedure. Journal of the American Statistical Association. 1963, 58, p.690-700, doi: 10.2307/2282717
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