統計検定 1級 2019年 医薬生物学 問4 Studentのt検定とWilcoxonの順位和検定

本稿には、2019年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問4の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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• この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕Studentのt検定

Studentのt検定には、

1. 各群のデータが正規分布から得られたものである
2. 各群の母分散は、未知ではあるが等しい
3. 各群のデータが互いに独立に得られたものである

という仮定が必要となる。 帰無仮説 $H_0:{\mu }_A={\mu }_B$ のもとでの検定統計量は、 $$\begin{array}{c}t=\frac{{\overline{x}}_A-{\overline{x}}_B}{\sqrt{s^2(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B})}}\\ s^2=\frac{(n_A-1)s_A^2+(n_B-1)s_B^2}{n_A+n_B-2}\end{array}$$ データから得られた値を代入すると、 $$\begin{array}{rl}{s}^2& =\frac{2\cdot {2.13}^2+2\cdot {2.93}^2}{3+3-2}\\ & =\frac{{2.13}^2+{2.93}^2}{2}\\ & \cong 6.56\\ t& =\frac{4.82-2.15}{\sqrt{6.56(\frac{1}{3}+\frac{1}{3})}}\\ & \cong 1.277\end{array}$$ これを自由度 $(3-1)+(3-1)=4$ の $\mathrm{t}$分布の上側2.5%の値と比べると、 $$\begin{array}{r}t=1.28<2.776=t_{0.025}\left(4\right)\end{array}$$ したがって、有意水準5%で帰無仮説は棄却されず、「2つの群における母平均は等しくないとはいえない」と結論づける。 $◼$

 

〔2〕Wilcoxonの順位和検定の帰無仮説

Wilcoxonの順位和検定を適用する際の帰無仮説は、「2つの群の分布が等しい」となる。すなわち、薬剤 $A$ の測定値の分布関数を $F_1\left(x\right)$、薬剤 $B$ の測定値の分布関数を $F_2\left(x\right)$ とするとき、 $$\begin{array}{r}{H}_0:F_1\left(x\right)=F_2\left(x\right)\end{array}$$ $◼$

 

〔3〕Wilcoxonの順位和検定の検定統計量

Wilcoxonの順位和検定における検定統計量は、次のように求める。すなわち、$n_A+n_B=n$ 個のデータをすべて統合して、値が小さい順に並べ替え、値が小さい順に順位を割り振っていく。検定を実施する際は、いずれかの群の順位の和を検定統計量とする。
測定値を順位に変換した表は以下のようになるので、

表1 測定値の順位表

群	測定値の順位			順位和
薬剤A	$3$	$4$	$6$	$13$
薬剤B	$1$	$2$	$5$	$8$

薬剤 $A$ の順位和は、 $$\begin{array}{r}{W}_A=3+4+6=13\end{array}$$ 薬剤 $B$ の順位和は、 $$\begin{array}{r}{W}_B=1+2+5=8\end{array}$$ $◼$

 

〔4〕順位の組み合わせとその確率

検定統計量の取り得る値は、 $$\begin{array}{r}6\le W\le 15\end{array}$$ 順位のすべての組み合わせは、6つの順位の中から3つを選ぶ場合の数なので、 $$\begin{array}{r}{}_6{C}_3=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=20\end{array}$$ これが同様の確からしさで出現する。それぞれの値を取るときの順位の組み合わせは次のようになる。

表2 順位の和の取り得る値とその確率

順位和	順位の 組み合わせ	確率
$6$	$\{1,2,3\}$	$\frac{1}{20}$
$7$	$\{1,2,4\}$	$\frac{1}{20}$
$8$	$\{1,2,5\},\{1,3,4\}$	$\frac{2}{20}$
$9$	$\{1,2,6\},\{1,3,5\},\{2,3,4\}$	$\frac{3}{20}$
$10$	$\{1,3,6\},\{1,4,5\},\{2,3,5\}$	$\frac{3}{20}$
$11$	$\{1,4,6\},\{2,3,6\},\{2,4,5\}$	$\frac{3}{20}$
$12$	$\{1,5,6\},\{2,4,6\},\{3,4,5\}$	$\frac{3}{20}$
$13$	$\{2,5,6\},\{3,4,6\}$	$\frac{2}{20}$
$14$	$\{3,5,6\}$	$\frac{1}{20}$
$15$	$\{4,5,6\}$	$\frac{1}{20}$

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〔5〕Wilcoxonの順位和検定に対する注意点

例えば、薬剤 $B$ の順位和 $W=8$ を用いるとすると、有意確率は、これ以上に極端な値を取る確率なので、$P(W\le 8)$ を求めればよい。これを求めると、 $$\begin{array}{rl}P(W\le 8)& =P(W=6)+P(W=7)+P(W=8)\\ & =\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{2}{20}\\ & =\frac{1}{5}\end{array}$$ 両側検定の場合はこれを2倍して、 $$\begin{array}{r}p=\frac{2}{5}=0.4\end{array}$$ このデータに対して、有意水準5%（もしくはそれ以下）でWilcoxonの願位和検定を行う場合は $\mathrm{p}$ 値は最低でも $$\begin{array}{r}p=P(W=6)\times 2=0.1\end{array}$$ となり、検定が有意となることはない。 サンプルサイズが極端に小さい場合には、このような問題が生じる。 $◼$