統計検定 1級 2019年 医薬生物学 問4 Studentのt検定とWilcoxonの順位和検定

本稿には、2019年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問4の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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• この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕Studentのt検定

Studentのt検定には、

1. 各群のデータが正規分布から得られたものである
2. 各群の母分散は、未知ではあるが等しい
3. 各群のデータが互いに独立に得られたものである

という仮定が必要となる。 帰無仮説 $H_0:\mu_A=\mu_B$ のもとでの検定統計量は、 \begin{gather} t=\frac{{\bar{x}}_A-{\bar{x}}_B}{\sqrt{s^2 \left(\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}\right)}}\\ s^2=\frac{ \left(n_A-1\right)s_A^2+ \left(n_B-1\right)s_B^2}{n_A+n_B-2} \end{gather} データから得られた値を代入すると、 \begin{align} s^2&=\frac{2 \cdot {2.13}^2+2 \cdot {2.93}^2}{3+3-2}\\ &=\frac{{2.13}^2+{2.93}^2}{2}\\ &\cong6.56\\ t&=\frac{4.82-2.15}{\sqrt{6.56 \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)}}\\ &\cong1.277 \end{align} これを自由度 $ \left(3-1\right)+ \left(3-1\right)=4$ の $\mathrm{t}$分布の上側2.5%の値と比べると、 \begin{align} t=1.28 \lt 2.776=t_{0.025} \left(4\right) \end{align} したがって、有意水準5%で帰無仮説は棄却されず、「2つの群における母平均は等しくないとはいえない」と結論づける。 $\blacksquare$

 

〔2〕Wilcoxonの順位和検定の帰無仮説

Wilcoxonの順位和検定を適用する際の帰無仮説は、「2つの群の分布が等しい」となる。すなわち、薬剤 $A$ の測定値の分布関数を $F_1 \left(x\right)$、薬剤 $B$ の測定値の分布関数を $F_2 \left(x\right)$ とするとき、 \begin{align} H_0:F_1 \left(x\right)=F_2 \left(x\right) \end{align} $\blacksquare$

 

〔3〕Wilcoxonの順位和検定の検定統計量

Wilcoxonの順位和検定における検定統計量は、次のように求める。すなわち、$n_A+n_B=n$ 個のデータをすべて統合して、値が小さい順に並べ替え、値が小さい順に順位を割り振っていく。検定を実施する際は、いずれかの群の順位の和を検定統計量とする。
測定値を順位に変換した表は以下のようになるので、

表1 測定値の順位表

群	測定値の順位			順位和
薬剤A	$3$	$4$	$6$	$13$
薬剤B	$1$	$2$	$5$	$8$

薬剤 $A$ の順位和は、 \begin{align} W_A=3+4+6=13 \end{align} 薬剤 $B$ の順位和は、 \begin{align} W_B=1+2+5=8 \end{align} $\blacksquare$

 

〔4〕順位の組み合わせとその確率

検定統計量の取り得る値は、 \begin{align} 6 \le W \le 15 \end{align} 順位のすべての組み合わせは、6つの順位の中から3つを選ぶ場合の数なので、 \begin{align} {}_{6}C_3=\frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1}=20 \end{align} これが同様の確からしさで出現する。それぞれの値を取るときの順位の組み合わせは次のようになる。

表2 順位の和の取り得る値とその確率

順位和	順位の 組み合わせ	確率
$6$	$ \left\{1,2,3\right\}$	$\frac{1}{20}$
$7$	$ \left\{1,2,4\right\}$	$\frac{1}{20}$
$8$	$ \left\{1,2,5\right\}, \left\{1,3,4\right\}$	$\frac{2}{20}$
$9$	$ \left\{1,2,6\right\}, \left\{1,3,5\right\}, \left\{2,3,4\right\}$	$\frac{3}{20}$
$10$	$ \left\{1,3,6\right\}, \left\{1,4,5\right\}, \left\{2,3,5\right\}$	$\frac{3}{20}$
$11$	$ \left\{1,4,6\right\}, \left\{2,3,6\right\}, \left\{2,4,5\right\}$	$\frac{3}{20}$
$12$	$ \left\{1,5,6\right\}, \left\{2,4,6\right\}, \left\{3,4,5\right\}$	$\frac{3}{20}$
$13$	$ \left\{2,5,6\right\}, \left\{3,4,6\right\}$	$\frac{2}{20}$
$14$	$ \left\{3,5,6\right\}$	$\frac{1}{20}$
$15$	$ \left\{4,5,6\right\}$	$\frac{1}{20}$

$\blacksquare$  

〔5〕Wilcoxonの順位和検定に対する注意点

例えば、薬剤 $B$ の順位和 $W=8$ を用いるとすると、有意確率は、これ以上に極端な値を取る確率なので、$P \left(W \le 8\right)$ を求めればよい。これを求めると、 \begin{align} P \left(W \le 8\right)&=P \left(W=6\right)+P \left(W=7\right)+P \left(W=8\right)\\ &=\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{2}{20}\\ &=\frac{1}{5} \end{align} 両側検定の場合はこれを2倍して、 \begin{align} p=\frac{2}{5}=0.4 \end{align} このデータに対して、有意水準5%（もしくはそれ以下）でWilcoxonの願位和検定を行う場合は $\mathrm{p}$ 値は最低でも \begin{align} p=P \left(W=6\right)\times2=0.1 \end{align} となり、検定が有意となることはない。 サンプルサイズが極端に小さい場合には、このような問題が生じる。 $\blacksquare$