統計検定 1級 2019年 医薬生物学 問3 検査精度

本稿には、2019年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問3の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕検査の感度・陽性的中率の算出

感度とは、「疾患に罹患している人の中で、陽性と判定される確率」のことである。したがって、疾患 $D$ に罹患している群（90人）に着目すると、感度はそれぞれ、 $$\begin{array}{c}\mathrm{Sen}\left(A\right)=\frac{72}{90}=\frac{4}{5}=0.8\\ \mathrm{Sen}\left(B\right)=\frac{81}{90}=\frac{9}{10}=0.9\end{array}$$ いっぽう、陽性的中率は、「陽性と判定された人の中で、実際に疾患に罹患している人の割合」のことである。それぞれの検査法で陽性と判定された群に着目すると、陽性的中率は、それぞれ、 $$\begin{array}{c}\mathrm{PPV}\left(A\right)=\frac{72}{72+18}=\frac{4}{5}=0.8\\ \mathrm{PPV}\left(B\right)=\frac{81}{81+9}=\frac{9}{10}=0.9\end{array}$$ $◼$

〔2〕マクネマー検定の実施

ヒントにあるように、疾患 $D$ に罹思している群の中で、検査法 $A$ と検査法 $B$ で結果が異なるセルというという条件のもとで、 $(A,B)=$（陽性,陰性） のセルの観測度数は、帰無仮説のもとで、 $$\begin{array}{r}X\sim \mathrm{B}(23,0.5)\end{array}$$ 二項分布の正規近似を行うと、漸近的に、 $$\begin{array}{r}X\sim \mathrm{N}(11.5,5.75)\end{array}$$ このとき検定統計量は、 $$\begin{array}{rl}Z& =\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\\ & =\frac{X-23\times 0.5}{\sqrt{23\times 0.5\times 0.5}}\\ & =\frac{7-11.5}{\sqrt{5.75}}\\ & =-1.877\end{array}$$ これを標準正規分布の下側2.5%点と比べると、 $$\begin{array}{r}-z_{0.025}=-1.96<-1.877=Z\end{array}$$ したがって、帰無仮説は有意水準5％で棄却されないので、2つの検査法 $A$ と検査法 $B$ の真の感度に統計的な有意差があるとは言えないと結論づける。 $◼$

〔3〕多項分布の正規近似と分散・共分散行列

多項分布の期待値、分散、共分散は、 $$\begin{array}{c}E\left(X_i\right)=n{\pi }_i\\ V\left(X_i\right)=n{\pi }_i(1-{\pi }_i)\\ \mathrm{Cov}(X_i,X_j)=-n{\pi }_i{\pi }_j\end{array}$$ 問題文にあるように、多変量中心極限定理により、漸近的に $$\begin{array}{r}\sqrt{n}(\mathit{p}-\mathit{\pi })\sim \mathrm{MN}(\mathbf{0},\mathbf{\Sigma })\end{array}$$ このとき、分散・共分散行列は、 $$\begin{array}{r}\mathbf{\Sigma }=\left(\begin{array}{cccc}{\pi }_{++D}(1-{\pi }_{++D})& -{\pi }_{++D}\cdot {\pi }_{+-D}& \cdots & -{\pi }_{++D}\cdot {\pi }_{--\overline{D}}\\ -{\pi }_{+-D}\cdot {\pi }_{++D}& {\pi }_{+-D}(1-{\pi }_{+-D})& \cdots & -{\pi }_{+-D}\cdot {\pi }_{--\overline{D}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -{\pi }_{++D}\cdot {\pi }_{--\overline{D}}& {\pi }_{--\overline{D}}\cdot {\pi }_{\pm D}& \cdots & {\pi }_{--\overline{D}}(1-{\pi }_{--\overline{D}})\end{array}\right)\end{array}$$ 行列を用いると、 $$\begin{array}{r}\mathbf{\Sigma }=\mathit{D}-\mathit{\pi }{\mathit{\pi }}^{\prime }\end{array}$$ ただし、行列 $\mathit{D}$ は、$\mathit{\pi }$ の各成分を対角要素にもつ対角行列である。 $◼$

〔4〕多変量のデルタ法

〔3〕の結果より、先ほどの統計量は、漸近的に8変量正規分布 $$\begin{array}{r}\sqrt{n}(\mathit{p}-\mathit{\pi })\sim {\mathrm{N}}_8(\mathbf{0},\mathit{D}-\mathit{\pi }{\mathit{\pi }}^{\prime })\end{array}$$ ここで、問題文のような変数変換を行い、 $$\begin{array}{c}f\left(\mathit{\pi }\right)=\frac{{\pi }_{+\bullet D}}{{\pi }_{\bullet +D}+{\pi }_{+\bullet \overline{D}}}-\frac{{\pi }_{\bullet +D}}{{\pi }_{\bullet +D}+{\pi }_{\bullet +\overline{D}}}\\ f\left(\mathit{p}\right)=\frac{x_{+\bullet D}}{x_{\bullet +D}+x_{+\bullet \overline{D}}}-\frac{x_{\bullet +D}}{x_{\bullet +D}+x_{\bullet +\overline{D}}}\end{array}$$ 多変量のデルタ法を用いて $f\left(\mathit{p}\right)$ を期待値 $E\left(\mathit{p}\right)=\mathit{\pi }$ まわりで近似すると、 偏導関数行列は、 $$\begin{array}{r}\mathit{H}\left(\mathit{\pi }\right)=\left\{\frac{\partial f\left(\mathit{\pi }\right)}{\partial \mathit{\pi }}\right\}\end{array}$$ 期待値と分散はそれぞれ、 $$\begin{array}{r}E\left[\sqrt{n}\{f\left(\mathit{p}\right)-f\left(\mathit{\pi }\right)\}\right]\cong \sqrt{n}\{E\left[f\left(\mathit{p}\right)\right]-E\left[f\left(\mathit{\pi }\right)\right]\}=0\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}V\left[\sqrt{n}\{f\left(\mathit{p}\right)-f\left(\mathit{\pi }\right)\}\right]& =V\left[\sqrt{n}f\left(\mathit{p}\right)\right]+0\\ & ={\left\{\frac{\partial f\left(\mathit{\pi }\right)}{\partial \mathit{\pi }}\right\}}^{\prime }(\mathit{D}-\mathit{\pi }{\mathit{\pi }}^{\prime })\left\{\frac{\partial f\left(\mathit{\pi }\right)}{\partial \mathit{\pi }}\right\}\end{array}$$ したがって、スラツキ―の定理により、漸近的に1変量正規分布 $$\begin{array}{r}\sqrt{n}\{f\left(\mathit{p}\right)-f\left(\mathit{\pi }\right)\}\sim \mathrm{N}[0,{\left\{\frac{\partial f\left(\mathit{\pi }\right)}{\partial \mathit{\pi }}\right\}}^{\prime }(\mathit{D}-\mathit{\pi }{\mathit{\pi }}^{\prime })\left\{\frac{\partial f\left(\mathit{\pi }\right)}{\partial \mathit{\pi }}\right\}]\end{array}$$ $◼$

〔5〕ワルド型検定の実施

〔4〕の結果より、漸近分散を以下のようにおくと、 $$\begin{array}{c}{\sigma }^2={\left\{\frac{\partial f\left(\mathit{\pi }\right)}{\partial \mathit{\pi }}\right\}}^{\prime }(\mathit{D}-\mathit{\pi }{\mathit{\pi }}^{\prime })\left\{\frac{\partial f\left(\mathit{\pi }\right)}{\partial \mathit{\pi }}\right\}\\ \sqrt{n}\{f\left(\mathit{p}\right)-f\left(\mathit{\pi }\right)\}\sim \mathrm{N}(0,{\sigma }^2)\end{array}$$ これを標準化した値は、 $$\begin{array}{r}Z=\frac{\sqrt{n}\{f\left(\mathit{p}\right)-f\left(\mathit{\pi }\right)\}}{\sigma }\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ 帰無仮説 $f\left(\mathit{\pi }\right)=0$ における分布は、 $$\begin{array}{r}{Z}_0=\frac{\sqrt{n}f\left(\mathit{p}\right)}{\sigma }\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ 未知の $\mathit{\pi }$ を $\mathit{p}$ に置き換え、$\sigma$ を $\hat{\sigma }=\sqrt{0.42}$ で推定し、〔1〕の結果を用いると、検定統計量は、 $$\begin{array}{rl}{Z}_0& =\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{0.42}}(0.8-0.9)\\ & \cong -2.18\end{array}$$ 〔2〕と同様に、これを標準正規分布の下側2.5%点と比べると、 $$\begin{array}{r}{Z}_0=-2.18<-1.96=-z_{0.025}\end{array}$$ したがって、帰無仮説は有意水準5％で棄却され、2つの検査法 $A$ と検査法 $B$ の真の陽性的中率には有意差があると結論づける。 $◼$

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