負の二項分布の再生性の証明

確率変数のたたみこみの公式 $k \left(z\right)=\sum_{x=0}^{z}{g \left(x\right) \cdot h \left(s-x\right)}$ より、 \begin{align} k \left(z\right)&=\sum_{x=0}^{z}{{}_{x+n_1-1}C_xp^{n_1} \left(1-p\right)^x} \cdot {}_{z-x+n_2-1}C_{z-x}p^{n_2} \left(1-p\right)^{z-x}\\ &=\sum_{x=0}^{z}{{}_{x+n_1-1}C_x \cdot {}_{z-x+n_2-1}C_{z-x} \cdot p^{n_1+n_2} \left(1-p\right)^z}\\ &=p^{n_1+n_2} \left(1-p\right)^z\sum_{x=0}^{z}{{}_{x+n_1-1}C_x \cdot {}_{z-x+n_2-1}C_{z-x}} \end{align} ヴァンデルモンドの恒等式より、 \begin{align} \sum_{x=0}^{z}{{}_{x+n_1-1}C_x \cdot {}_{z-x+n_2-1}C_{z-x}}={}_{z+n_1+n_2-1}C_z \end{align} したがって、 \begin{align} k \left(z\right)={}_{z+n_1+n_2-1}C_zp^{n_1+n_2} \left(1-p\right)^z \end{align} これは、負の二項分布の確率関数 \begin{align} f \left(x\right)={}_{n+x-1}C_xp^n \left(1-p\right)^x \end{align} において、 \begin{align} n\rightarrow n_1+n_2 \quad x\rightarrow z \end{align} と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、負の二項分布 \begin{align} Z \sim \mathrm{NB} \left(n_1+n_2,p\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$

負の二項分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{gather} M_X \left(\theta\right)= \left\{\frac{p}{1-e^\theta \left(1-p\right)}\right\}^{n_1}\\ M_Y \left(\theta\right)= \left\{\frac{p}{1-e^\theta \left(1-p\right)}\right\}^{n_2} \end{gather} モーメント母関数の性質 $M_Z \left(\theta\right)=M_X \left(\theta\right) \cdot M_Y \left(\theta\right)$ より、 \begin{align} M_Z \left(\theta\right)&= \left\{\frac{p}{1-e^\theta \left(1-p\right)}\right\}^{n_1} \cdot \left\{\frac{p}{1-e^\theta \left(1-p\right)}\right\}^{n_2}\\ &= \left\{\frac{p}{1-e^\theta \left(1-p\right)}\right\}^{n_1+n_2} \end{align} これは、負の二項分布のモーメント母関数 \begin{align} M_X \left(\theta\right)= \left\{\frac{p}{1-e^\theta \left(1-p\right)}\right\}^n \end{align} において、 \begin{align} n\rightarrow n_1+n_2 \quad X\rightarrow Z \end{align} と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、負の二項分布 \begin{align} Z \sim \mathrm{NB} \left(n_1+n_2,p\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$