負の二項分布の再生性の証明

確率変数のたたみこみの公式 $k\left(z\right)=\sum _{x=0}^{z}g\left(x\right)\cdot h(s-x)$ より、 $$\begin{array}{rl}k\left(z\right)& =\sum _{x=0}^z{}_{x+n_1-1}{C}_x{p}^{n_1}{(1-p)}^x\cdot {}_{z-x+n_2-1}{C}_{z-x}{p}^{n_2}{(1-p)}^{z-x}\\ & =\sum _{x=0}^z{}_{x+n_1-1}{C}_x\cdot {}_{z-x+n_2-1}{C}_{z-x}\cdot p^{n_1+n_2}{(1-p)}^z\\ & =p^{n_1+n_2}{(1-p)}^z\sum _{x=0}^z{}_{x+n_1-1}{C}_x\cdot {}_{z-x+n_2-1}{C}_{z-x}\end{array}$$ ヴァンデルモンドの恒等式より、 $$\begin{array}{r}\sum _{x=0}^z{}_{x+n_1-1}{C}_x\cdot {}_{z-x+n_2-1}{C}_{z-x}={}_{z+n_1+n_2-1}{C}_z\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}k\left(z\right)={}_{z+n_1+n_2-1}{C}_z{p}^{n_1+n_2}{(1-p)}^z\end{array}$$ これは、負の二項分布の確率関数 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)={}_{n+x-1}{C}_x{p}^n{(1-p)}^x\end{array}$$ において、 $$\begin{array}{r}n\to n_1+n_{2}x\to z\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、負の二項分布 $$\begin{array}{r}Z\sim \mathrm{NB}(n_1+n_2,p)\end{array}$$ に従う。 $◼$

負の二項分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{c}{M}_X\left(\theta \right)={\left\{\frac{p}{1-e^{\theta }(1-p)}\right\}}^{n_1}\\ M_Y\left(\theta \right)={\left\{\frac{p}{1-e^{\theta }(1-p)}\right\}}^{n_2}\end{array}$$ モーメント母関数の性質 $M_Z\left(\theta \right)=M_X\left(\theta \right)\cdot M_Y\left(\theta \right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_Z\left(\theta \right)& ={\left\{\frac{p}{1-e^{\theta }(1-p)}\right\}}^{n_1}\cdot {\left\{\frac{p}{1-e^{\theta }(1-p)}\right\}}^{n_2}\\ & ={\left\{\frac{p}{1-e^{\theta }(1-p)}\right\}}^{n_1+n_2}\end{array}$$ これは、負の二項分布のモーメント母関数 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)={\left\{\frac{p}{1-e^{\theta }(1-p)}\right\}}^n\end{array}$$ において、 $$\begin{array}{r}n\to n_1+n_{2}X\to Z\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、負の二項分布 $$\begin{array}{r}Z\sim \mathrm{NB}(n_1+n_2,p)\end{array}$$ に従う。 $◼$