本稿では、特性関数とキュムラント母関数の定義と性質を証明しています。特性関数はどのような分布であっても存在することやキュムラント母関数を微分すると期待値や分散が得られるなどの性質です。
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特性関数
確率変数 $X$ について、$i^2=-1$ を満たす虚数単位 $i$ と任意の実数 $t$ に対し、$e^{i\theta X}$ の期待値 \begin{align} \varphi_X \left(t\right)=E \left(e^{itX}\right)=E \left[\cos{ \left(tX\right)}+i\sin{ \left(tX\right)}\right] \end{align} を特性関数 characteristic function と呼ぶ。 すなわち、$f \left(x\right)$ を確率関数、あるいは確率密度関数とすると、特性関数は、 \begin{align} \varphi_X \left(t\right)= \left\{\begin{matrix}\sum_{x=-\infty}^{\infty}{e^{itX} \cdot f \left(x\right)}&\mathrm{Discrete}\\\int_{-\infty}^{\infty}{e^{itX} \cdot f \left(x\right)dx}&\mathrm{Continuous}\\\end{matrix}\right. \end{align} で与えられる。 モーメント母関数は必ずしも存在するとは限らないが、特性関数はどのような確率変数に対しても必ず存在する。
多次元確率変数の特性関数
また、多次元確率変数 \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{align} の特性関数は、 \begin{align} \boldsymbol{t}= \left\{t_1,t_2, \cdots ,t_n\right\} \end{align} に対し、 \begin{align} \varphi_\boldsymbol{X} \left(t\right)=E \left(e^{i\boldsymbol{tX}}\right)=E \left(e^{it_1X_1+it_2X_2+ \cdots +it_nX_n}\right) \end{align} で与えられる。
証明
オイラーの公式 $e^{itx}=\cos{ \left(tx\right)}+i\sin{ \left(tx\right)}$ より、 \begin{align} \left|e^{itx}\right|&= \left|\cos{ \left(tx\right)}+i\sin{ \left(tx\right)}\right|\\ &=\sqrt{\cos^2{ \left(tx\right)}+\sin^2{ \left(tx\right)}}\\ &=\sqrt1=1 \end{align} したがって、 \begin{align} \left|\varphi_X \left(t\right)\right| \le 1 \end{align} すなわち、発散することがないので、特性関数は必ず存在する。 $\blacksquare$
キュムラント母関数
確率変数 $X$ のモーメント母関数が存在するとき、モーメント母関数の対数 \begin{align} \psi_X \left(\theta\right)=\log{M_X \left(\theta\right)} \end{align} をキュムラント母関数 cumulant-generating function と呼ぶ。 なお、特性関数の対数 \begin{align} \psi_X \left(t\right)=\log{\varphi_X \left(t\right)} \end{align} とする定義もある。
キュムラント
キュムラント母関数を展開すると、 \begin{align} \psi_X \left(\theta\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\theta^k}{k!}\kappa_k \end{align} と書ける。 この係数 $\kappa_k$ を $k$ 次キュムラントという。
【定理】キュムラント母関数の性質
【定理】
キュムラント母関数の性質
Basic Property of Characteristic Function and Cumulant-Generating Function
確率変数 $X$ の $k$ 次モーメントとキュムラント母関数との間に、 \begin{gather} \psi_X^{ \left(1\right)} \left(0\right)=E \left(X\right)\\ \psi_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)=V \left(X\right) \end{gather} という関係が成り立つ。
証明
（i）キュムラント母関数の1階微分を求めると、対数の微分公式 $\frac{d}{dx}\log{f \left(x\right)}=\frac{f^\prime \left(x\right)}{f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} \psi_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)=\frac{M_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)}{M_X \left(\theta\right)} \end{align} ここで、モーメント母関数の定義式に $\theta=0$ を代入すると、 \begin{align} M_X \left(0\right)=E \left(e^0\right)=E \left(1\right)=1 \end{align} したがって、 \begin{align} \psi_X^{ \left(1\right)} \left(0\right)=M_X^{ \left(1\right)} \left(0\right) \end{align} モーメント母関数と1次モーメントの関係 $M_X^{ \left(1\right)} \left(0\right)=E \left(X\right)$ より、 \begin{align} \psi_X^{ \left(1\right)} \left(0\right)=E \left(X\right) \end{align} $\blacksquare$
（ii）キュムラント母関数の2階微分を求めると、商の微分公式 $ \left\{\frac{f \left(x\right)}{g \left(x\right)}\right\}=\frac{f^\prime \left(x\right)g \left(x\right)-f \left(x\right)g^\prime \left(x\right)}{ \left\{g \left(x\right)\right\}^2}$ より、 \begin{align} \psi_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)&=\frac{M_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right) \cdot M_X \left(\theta\right)-M_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right) \cdot M_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)}{ \left\{M_X \left(\theta\right)\right\}^2}\\ &=\frac{M_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right) \cdot M_X \left(\theta\right)- \left\{M_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)\right\}^2}{ \left\{M_X \left(\theta\right)\right\}^2} \end{align} $\theta=0$ を代入すると、$M_X \left(0\right)=1$ より、 \begin{align} \psi_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)&=M_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)- \left\{M_X^{ \left(1\right)} \left(0\right)\right\}^2\\ &=M_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2 \end{align} モーメント母関数と2次モーメントの関係 $M_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)=E \left(X^2\right)$ より、 \begin{align} \psi_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2 \end{align} 分散の公式より、 \begin{align} \psi_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)=V \left(X\right) \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.83
- 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.20-25
- 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.20-21
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.20-21
- 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.72-73
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