特性関数とキュムラント母関数の定義と性質の証明

本稿では、特性関数とキュムラント母関数の定義と性質を証明しています。特性関数はどのような分布であっても存在することやキュムラント母関数を微分すると期待値や分散が得られるなどの性質です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

特性関数

確率変数 $X$ について、$i^2=-1$ を満たす虚数単位 $i$ と任意の実数 $t$ に対し、$e^{i\theta X}$ の期待値 $$\begin{array}{r}{\phi }_X\left(t\right)=E\left(e^{itX}\right)=E[\cos \left(tX\right)+i\sin \left(tX\right)]\end{array}$$ を特性関数 characteristic function と呼ぶ。 すなわち、$f\left(x\right)$ を確率関数、あるいは確率密度関数とすると、特性関数は、 $$\begin{array}{r}{\phi }_X\left(t\right)=\{\begin{array}{cc}\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{itX}\cdot f\left(x\right)& \mathrm{Discrete}\\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{itX}\cdot f\left(x\right)dx& \mathrm{Continuous}\end{array}\end{array}$$ で与えられる。 モーメント母関数は必ずしも存在するとは限らないが、特性関数はどのような確率変数に対しても必ず存在する。

多次元確率変数の特性関数

また、多次元確率変数 $$\begin{array}{r}\mathit{X}=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\end{array}$$ の特性関数は、 $$\begin{array}{r}\mathit{t}=\{t_1,t_2,\cdots ,t_n\}\end{array}$$ に対し、 $$\begin{array}{r}{\phi }_{\mathit{X}}\left(t\right)=E\left(e^{i\mathit{t}\mathit{X}}\right)=E\left(e^{i{t}_1{X}_1+i{t}_2{X}_2+\cdots +i{t}_n{X}_n}\right)\end{array}$$ で与えられる。

証明

キュムラント母関数

確率変数 $X$ のモーメント母関数が存在するとき、モーメント母関数の対数 $$\begin{array}{r}{\psi }_X\left(\theta \right)=\log M_X\left(\theta \right)\end{array}$$ をキュムラント母関数 cumulant-generating function と呼ぶ。 なお、特性関数の対数 $$\begin{array}{r}{\psi }_X\left(t\right)=\log {\phi }_X\left(t\right)\end{array}$$ とする定義もある。

キュムラント

キュムラント母関数を展開すると、 $$\begin{array}{r}{\psi }_X\left(\theta \right)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\theta }^k}{k!}{\kappa }_k\end{array}$$ と書ける。 この係数 ${\kappa }_k$ を $k$ 次キュムラントという。

【定理】キュムラント母関数の性質

証明

参考文献

• 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.83
• 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.20-25
• 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.20-21
• 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.20-21
• 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.72-73

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