統計検定 1級 2021年 医薬生物学 問2 生物学的同等性試験

本稿には、2021年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問2の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕検定法の導出

〔1-1〕母平均の信頼区間（母分散が未知のとき）
母分散が未知のとき、$\mu$ の両側 $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 信頼区間は、以下で与えられる。 $$\begin{array}{r}\overline{X}-\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.5\alpha }(n-1)\le \mu \le \overline{X}+\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.5\alpha }(n-1)\end{array}$$ 〔1-2〕検定の導出
（仮説1）
ネイマン・ピアソンの基本定理と単調尤度比の原理により、ある統計量を $T\left(\mathit{X}\right)$ とすると、次の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{x})$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}T\left(\mathit{X}\right)<a& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ a\le T\left(\mathit{X}\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ 正規分布の標本平均は、帰無仮説のもとで、 $\overline{X}\sim N(-\mathrm{\Delta },\frac{{\sigma }^2}{n})$ 標本平均 $\overline{X}$ を標本不偏分散で標準化した値を $$\begin{array}{r}t=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}+\mathrm{\Delta })}{s}\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{r}t\sim \mathrm{t}(n-1)\end{array}$$ 自由度 $n$ の $\mathrm{t}$ 分布の上側 $100\alpha \mathrm{\%}$ 点を $t_{\alpha }\left(n\right)$ とするとき、上側 $100\alpha \mathrm{\%}$ 点の定義より、 $$\begin{array}{r}P\{t_{\alpha }(n-1)\le t\}=\alpha \end{array}$$ したがって、検定統計量と棄却域は、以下のようになる。 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{n}(\overline{X}+\mathrm{\Delta })}{s}<t_{\alpha }(n-1)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ t_{\alpha }(n-1)\le \frac{\sqrt{n}(\overline{X}+\mathrm{\Delta })}{s}& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （仮説2）
仮説1と同様に、次の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{x})$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}b<T\left(\mathit{X}\right)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ T\left(\mathit{X}\right)\le b& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ 正規分布の標本平均は、帰無仮説のもとで、 $$\begin{array}{r}\overline{X}\sim N(\mathrm{\Delta },\frac{{\sigma }^2}{n})\end{array}$$ 標本平均 $\overline{X}$ を標本不偏分散で標準化した値を $$\begin{array}{r}t=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mathrm{\Delta })}{s}\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{r}t\sim \mathrm{t}(n-1)\end{array}$$ 仮説1と同様に、 $$\begin{array}{r}P\{t\le -t_{\alpha }(n-1)\}=\alpha \end{array}$$ したがって、検定統計量と棄却域は、以下のようになる。 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}-t_{\alpha }(n-1)<\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mathrm{\Delta })}{s}& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ \frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mathrm{\Delta })}{s}\le -t_{\alpha }(n-1)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ 〔1-3〕検定のサイズ
帰無仮説 $H_{01}$ を棄却するという事象を $R_{01}$、帰無仮説 $H_{02}$ を棄却するという事象を $R_{02}$ とすると、帰無仮説 $H_0$ を棄却する確率は、$R_{01}$ と $R_{02}$ の積集合（共通部分） $P(R_{01}\cap R_{02})$ である。これは、以下のベン図に示すように、 $R_{01}$ と $R_{02}$ が互いに排反な事象であるときに $0$
$R_{01}$ と $R_{02}$ が一致する場合に $\alpha$ となる。 したがって、第1種の過誤確率（帰無仮説のもとで帰無仮説を棄却する事象が起こる確率）は最大で $\alpha$ となる。

〔2〕導出した検定の実施

［2-1］$Y$ の中央値を $m$ とすると、中央値の定義より、 $$\begin{array}{c}P(Y\le m)=0.5\\ P(\log Y\le \log m)=0.5\\ P(X\le \log m)=0.5\end{array}$$ 正規分布の中央値は $\mu$ なので、 $$\begin{array}{c}\log m=\mu \\ m=e^{\mu }\end{array}$$ AUCの中央値の比の対数を $\log R$ とすると、 $$\begin{array}{rl}\log R& =\log \left(\frac{e^{{\mu }_T}}{e^{{\mu }_S}}\right)\\ & =\log e^{{\mu }_T}-\log e^{{\mu }_S}\\ & ={\mu }_T-{\mu }_S\end{array}$$ ［2-2］仮説1の検定統計量の値を計算すると、 $$\begin{array}{r}t=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}+\mathrm{\Delta })}{s}=\frac{\sqrt{20}(-0.1+0.223)}{0.26}=2.116\end{array}$$ $t_{0.05}\left(19\right)=1.729<t$ より、帰無仮説 $H_{01}$ を棄却する。
仮説2の検定統計量の値を計算すると、 $$\begin{array}{r}t=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mathrm{\Delta })}{s}=\frac{\sqrt{20}(-0.1-0.223)}{0.26}=-5.556\end{array}$$ $t<-t_{0.05}\left(19\right)=-1.729$ より、帰無仮説 $H_{02}$ を棄却する。
したがって、両方の帰無仮説が棄却されたので、帰無仮説 $H_{01}$ を棄却し、 $$\begin{array}{r}{H}_A:-0.233<\mu <0.233\end{array}$$ すなわち、生物学的同等性が成り立つと判断する。 $◼$

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