t分布とF分布の関係（t分布の2乗値がF分布に従うことの証明）

$Z$ と $W$ を互いに独立に標準正規分布と $\chi^2$分布 \begin{align} Z \sim \mathrm{N} \left(0,1\right) \quad W \sim \chi^2 \left(n\right) \end{align} に従う確率変数とすると、 $\mathrm{t}$分布の定義式より、 \begin{align} T=\frac{\sqrt n Z}{\sqrt W} \end{align} この確率変数を平方変換 $Y=T^2$ すると、 \begin{align} Y=\frac{Z^2}{\frac{W}{n}} \end{align} $\chi^2$分布の定義から、$Z^2$ は自由度1の $\chi^2$分布 \begin{align} \chi^2 \left(1\right) \end{align} に従う。 したがって、 \begin{align} Y=\frac{\frac{\chi^2 \left(1\right)}{1}}{\frac{\chi^2 \left(n\right)}{n}} \end{align} これは、$\mathrm{F}$分布の定義式 \begin{align} F=\frac{\frac{\chi^2 \left(m\right)}{m}}{\frac{\chi^2 \left(n\right)}{n}} \end{align} に $m=1$ を代入したものである。 したがって、$Y=T^2$ は、$\mathrm{F}$分布 \begin{align} F \left(1,n\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$

$\mathrm{t}$分布の確率密度関数は、 \begin{gather} f \left(t\right)=\frac{1}{\sqrt n \cdot B \left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right)} \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}} \end{gather} 平方変換の公式 $g \left(y\right)=\frac{1}{2\sqrt y} \left\{f \left(\sqrt y\right)+f \left(-\sqrt y\right)\right\}$ より、 \begin{align} g \left(y\right)&=\frac{1}{2\sqrt y} \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sqrt n \cdot B \left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right)} \left(1+\frac{y}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}\\ &=\frac{1}{\sqrt y} \cdot \frac{1}{B \left(\frac{1}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{y}{n}\right)^\frac{n+1}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt n}\\ &=\frac{y^{-\frac{1}{2}}}{B \left(\frac{1}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{y}{n}\right)^\frac{n+1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^\frac{1}{2} \end{align} これは、$\mathrm{F}$分布の確率密度関数 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{x^\frac{m-2}{2}}{B \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \cdot \left(1+\frac{m}{n}x\right)^\frac{m+n}{2}} \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2} \end{align} に $m=1$ を代入したものである。 したがって、$Y=T^2$ は、$\mathrm{F}$分布 \begin{align} F \left(1,n\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$