t分布とF分布の関係（t分布の2乗値がF分布に従うことの証明）

$Z$ と $W$ を互いに独立に標準正規分布と ${\chi }^2$分布 $$\begin{array}{r}Z\sim \mathrm{N}(0,1)W\sim {\chi }^2\left(n\right)\end{array}$$ に従う確率変数とすると、 $\mathrm{t}$分布の定義式より、 $$\begin{array}{r}T=\frac{\sqrt{n}Z}{\sqrt{W}}\end{array}$$ この確率変数を平方変換 $Y=T^2$ すると、 $$\begin{array}{r}Y=\frac{Z^2}{\frac{W}{n}}\end{array}$$ ${\chi }^2$分布の定義から、$Z^2$ は自由度1の ${\chi }^2$分布 $$\begin{array}{r}{\chi }^2\left(1\right)\end{array}$$ に従う。 したがって、 $$\begin{array}{r}Y=\frac{\frac{{\chi }^2\left(1\right)}{1}}{\frac{{\chi }^2\left(n\right)}{n}}\end{array}$$ これは、$\mathrm{F}$分布の定義式 $$\begin{array}{r}F=\frac{\frac{{\chi }^2\left(m\right)}{m}}{\frac{{\chi }^2\left(n\right)}{n}}\end{array}$$ に $m=1$ を代入したものである。 したがって、$Y=T^2$ は、$\mathrm{F}$分布 $$\begin{array}{r}F(1,n)\end{array}$$ に従う。 $◼$

$\mathrm{t}$分布の確率密度関数は、 $$\begin{array}{c}f\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{n}\cdot B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})}{(1+\frac{t^2}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}\end{array}$$ 平方変換の公式 $g\left(y\right)=\frac{1}{2\sqrt{y}}\{f\left(\sqrt{y}\right)+f(-\sqrt{y})\}$ より、 $$\begin{array}{rl}g\left(y\right)& =\frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot 2\cdot \frac{1}{\sqrt{n}\cdot B(\frac{n}{2},\frac{1}{2})}{(1+\frac{y}{n})}^{-\frac{n+1}{2}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{y}}\cdot \frac{1}{B(\frac{1}{2},\frac{n}{2})\cdot {(1+\frac{y}{n})}^{\frac{n+1}{2}}}\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}\\ & =\frac{y^{-\frac{1}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n}{2})\cdot {(1+\frac{y}{n})}^{\frac{n+1}{2}}}\cdot {\left(\frac{1}{n}\right)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$$ これは、$\mathrm{F}$分布の確率密度関数 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{x^{\frac{m-2}{2}}}{B(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\cdot {(1+\frac{m}{n}x)}^{\frac{m+n}{2}}}{\left(\frac{m}{n}\right)}^{\frac{m}{2}}\end{array}$$ に $m=1$ を代入したものである。 したがって、$Y=T^2$ は、$\mathrm{F}$分布 $$\begin{array}{r}F(1,n)\end{array}$$ に従う。 $◼$