本稿では、二項定理・多項定理を紹介しています。
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【定理】二項定理
【定理】
二項定理
Binomial Theorem
任意の数 $a,b$ に対し、$n,k$ を自然数として、 \begin{gather} \left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^{n}{{}_{n}C_k \cdot a^{n-k}b^k} \end{gather} が成り立つ。
【定理】多項定理
【定理】
多項定理
Multinomial Theorem
任意の数 \begin{gather} x_1,x_2, \cdots ,x_k \end{gather} に対し、 $n,k$ を自然数として、 \begin{gather} \left(x_1+x_2+ \cdots +x_k\right)^n=\sum_{n_1+n_2+ \cdots +n_k=n}{\frac{n!}{n_1!n_2! \cdots n_k!}x_1^{n_1}x_2^{n_2} \cdots x_k^{n_k}} \end{gather} が成り立つ。
多項係数
この式における \begin{gather} \frac{n!}{n_1!n_2! \cdots n_k!}= \left(\begin{matrix}n\\n_1n_2 \cdots n_k\\\end{matrix}\right) \end{gather} を多項係数 multinomial coefficient という。 多項係数には次のような性質がある。
\begin{gather} \frac{n!}{r_1!r_2! \cdots r_k!}= \left(\begin{matrix}n\\r_1\\\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}n-r_1\\r_2\\\end{matrix}\right) \cdots \left(\begin{matrix}n-r_1-r_2- \cdots -r_{k-2}\\r_{k-1}\\\end{matrix}\right) \end{gather}
【定理】一般二項定理
【定理】
一般二項定理
Newton{\prime}s Generalized Binomial Theorem
任意の実数 $a,x$ に対し、$k$ を自然数として、 \begin{gather} \left(1+x\right)^a=\sum_{k=0}^{\infty}{ \left(\begin{matrix}a\\k\\\end{matrix}\right) \cdot x^k} \quad \left|x\right| \lt 1\\ \left(\begin{matrix}a\\k\\\end{matrix}\right)=\frac{a \left(a-1\right) \cdots \left(a-k+1\right)}{k!} \quad \left(\begin{matrix}a\\0\\\end{matrix}\right)=1 \end{gather} が成り立つ。
一般化二項係数
この式における \begin{gather} \left(\begin{matrix}a\\k\\\end{matrix}\right)=\frac{a \left(a-1\right) \cdots \left(a-k+1\right)}{k!} \end{gather} を一般化二項係数 generalized binomial coefficient という。 $a$ が正の整数のときは、通常の二項係数に一致する。一般化二項係数には次のような性質がある。
\begin{gather} \left(\begin{matrix}a\\r\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}a-1\\r\\\end{matrix}\right)+ \left(\begin{matrix}a-1\\r-1\\\end{matrix}\right) \end{gather}
\begin{gather} \sum_{r=0}^{n} \left(\begin{matrix}a\\r\\\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}b\\n-r\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}a+b\\n\\\end{matrix}\right) \end{gather}
\begin{gather} \left(\begin{matrix}-a\\r\\\end{matrix}\right)= \left(-1\right)^r \left(\begin{matrix}a+r-1\\r\\\end{matrix}\right) \end{gather} 特に、$a$ が正の整数のとき、この係数は、負の二項係数 negative binomial coefficient と呼ばれる。
【定理】ヴァンデルモンドの恒等式
【定理】
ヴァンデルモンドの恒等式
Vandermonde{\prime}s Convolution
二項係数に対し、$N,n,k$ を自然数として、 \begin{gather} \sum_{x=0}^{n}{{}_{k}C_x \cdot {}_{N-k}C_{n-x}}={}_{N}C_n \end{gather} が成り立つ。
参考文献
- 松坂 和夫 著. 数学読本 4. 新装版, 岩波書店, 2019, p.723-726
- 松坂 和夫 著. 数学読本 4. 新装版, 岩波書店, 2019, p.729-730
- 二項定理の意味と係数を求める例題・２通りの証明. 高校数学の美しい物語. 2022-10-06. https://manabitimes.jp/math/1091.
- 多項定理の例題と2通りの証明. 高校数学の美しい物語. 2022-01-09. https://manabitimes.jp/math/1281.
- 一般化二項定理とルートなどの近似. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1018.
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