二項定理・多項定理

本稿では、二項定理・多項定理を紹介しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

【定理】二項定理

【定理】多項定理

多項係数

この式における $$\begin{array}{c}\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}=\left(\begin{array}{c}n\\ n_1{n}_2\cdots n_k\end{array}\right)\end{array}$$ を多項係数 multinomial coefficient という。 多項係数には次のような性質がある。

$$\begin{array}{c}\frac{n!}{r_1!r_2!\cdots r_k!}=\left(\begin{array}{c}n\\ r_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n-r_1\\ r_2\end{array}\right)\cdots \left(\begin{array}{c}n-r_1-r_2-\cdots -r_{k-2}\\ r_{k-1}\end{array}\right)\end{array}$$

【定理】一般二項定理

一般化二項係数

この式における $$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}a\\ k\end{array}\right)=\frac{a(a-1)\cdots (a-k+1)}{k!}\end{array}$$ を一般化二項係数 generalized binomial coefficient という。 $a$ が正の整数のときは、通常の二項係数に一致する。一般化二項係数には次のような性質がある。

$$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}a\\ r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a-1\\ r\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}a-1\\ r-1\end{array}\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\sum _{r=0}^n\left(\begin{array}{c}a\\ r\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b\\ n-r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a+b\\ n\end{array}\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}-a\\ r\end{array}\right)={(-1)}^r\left(\begin{array}{c}a+r-1\\ r\end{array}\right)\end{array}$$ 特に、$a$ が正の整数のとき、この係数は、負の二項係数 negative binomial coefficient と呼ばれる。

【定理】ヴァンデルモンドの恒等式

参考文献

• 松坂 和夫 著. 数学読本 4. 新装版, 岩波書店, 2019, p.723-726
• 松坂 和夫 著. 数学読本 4. 新装版, 岩波書店, 2019, p.729-730
• 二項定理の意味と係数を求める例題・２通りの証明. 高校数学の美しい物語. 2022-10-06. https://manabitimes.jp/math/1091.
• 多項定理の例題と2通りの証明. 高校数学の美しい物語. 2022-01-09. https://manabitimes.jp/math/1281.
• 一般化二項定理とルートなどの近似. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1018.

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