ポアソン分布の累積分布関数の導出

（i）与式の右辺を $$\begin{array}{r}I={\int }_{2\lambda }^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{t}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{t}{2}}dt\end{array}$$ とおき、 $$\begin{array}{r}\frac{n}{2}-1=x\iff \frac{n}{2}=x+1\end{array}$$ として変形すると、 $$\begin{array}{rl}I& ={\int }_{2\lambda }^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{x+1}\cdot \mathrm{\Gamma }(x+1)}{t}^x{e}^{-\frac{t}{2}}dt\\ & =\frac{1}{2^{x+1}\cdot \mathrm{\Gamma }(x+1)}{\int }_{2\lambda }^{\mathrm{\infty }}{t}^x{e}^{-\frac{t}{2}}dt\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}s=\frac{t}{2}\iff t=2s\\ t:2\lambda \to \mathrm{\infty }\Rightarrow s:\lambda \to \mathrm{\infty }\\ \frac{dt}{ds}=2\Rightarrow dt=2ds\end{array}$$ となるので、 置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}I& =\frac{1}{2^{x+1}\cdot \mathrm{\Gamma }(x+1)}{\int }_{\lambda }^{\mathrm{\infty }}{\left(2s\right)}^x{e}^{-s}\cdot 2ds\\ & =\frac{1}{2^{x+1}\cdot \mathrm{\Gamma }(x+1)}{\int }_{\lambda }^{\mathrm{\infty }}{2}^{x+1}\cdot s^x\cdot e^{-s}ds\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\int }_{\lambda }^{\mathrm{\infty }}{s}^x\cdot e^{-s}ds\end{array}$$ ガンマ関数の性質 $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x!$ より、 $$\begin{array}{r}I=\frac{1}{x!}{\int }_{\lambda }^{\mathrm{\infty }}{s}^x\cdot e^{-s}ds\end{array}$$

（ii）部分積分の公式 $$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f\left(s\right)g^{\prime }\left(s\right)ds={\left[f\left(s\right)g\left(s\right)\right]}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }\left(s\right)g\left(s\right)ds\end{array}$$ において、 $$\begin{array}{c}f\left(s\right)=s^{x}g\left(s\right)=-e^{-s}\\ f^{\prime }\left(s\right)=x{s}^{x-1}{g}^{\prime }\left(s\right)=e^{-s}\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{rl}I& =\frac{1}{x!}{[-s^x{e}^{-s}]}_{\lambda }^{\mathrm{\infty }}-\frac{1}{x!}{\int }_{\lambda }^{\mathrm{\infty }}x{s}^{x-1}\cdot (-e^{-s})ds\\ & =\frac{1}{x!}(-\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}^x{e}^{-s}+{\lambda }^x{e}^{-\lambda })+\frac{1}{(x-1)!}{\int }_{\lambda }^{\mathrm{\infty }}{s}^{x-1}{e}^{-s}ds\end{array}$$ ロピタルの定理より、 $$\begin{array}{r}\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{s^x}{e^s}=\cdots =\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x!}{e^s}=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{0}{e^s}=0\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}I=\frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{x!}+\frac{1}{(x-1)!}{\int }_{\lambda }^{\mathrm{\infty }}{s}^{x-1}{e}^{-s}ds\end{array}$$ 以下、同様の操作を $x$ 回繰り返していくと、 $$\begin{array}{rl}I& =\frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{x!}+\frac{{\lambda }^{x-1}{e}^{-\lambda }}{(x-1)!}+\cdots +\frac{{\lambda }^0{e}^{-\lambda }}{0!}\\ & =\sum _{k=0}^x\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}\\ & =F\left(x\right)\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}F\left(x\right)={\int }_{2\lambda }^{\mathrm{\infty }}{f}_{2(x+1)}\left(t\right)dt\end{array}$$ $◼$