ポアソン分布の累積分布関数の導出

（i）与式の右辺を \begin{align} I=\int_{2\lambda}^{\infty}{\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}t^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{t}{2}}dt} \end{align} とおき、 \begin{align} \frac{n}{2}-1=x\Leftrightarrow\frac{n}{2}=x+1 \end{align} として変形すると、 \begin{align} I&=\int_{2\lambda}^{\infty}{\frac{1}{2^{x+1} \cdot \Gamma \left(x+1\right)}t^xe^{-\frac{t}{2}}dt}\\ &=\frac{1}{2^{x+1} \cdot \Gamma \left(x+1\right)}\int_{2\lambda}^{\infty}{t^xe^{-\frac{t}{2}}dt} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} s=\frac{t}{2}\Leftrightarrow t=2s\\ t:2\lambda\rightarrow\infty \quad \Rightarrow \quad s:\lambda\rightarrow\infty\\ \frac{dt}{ds}=2\Rightarrow dt=2ds \end{gather} となるので、 置換積分法により、 \begin{align} I&=\frac{1}{2^{x+1} \cdot \Gamma \left(x+1\right)}\int_{\lambda}^{\infty}{ \left(2s\right)^xe^{-s} \cdot 2ds}\\ &=\frac{1}{2^{x+1} \cdot \Gamma \left(x+1\right)}\int_{\lambda}^{\infty}{2^{x+1} \cdot s^x \cdot e^{-s}ds}\\ &=\frac{1}{\Gamma \left(x+1\right)}\int_{\lambda}^{\infty}{s^x \cdot e^{-s}ds} \end{align} ガンマ関数の性質 $\Gamma \left(x+1\right)=x!$ より、 \begin{align} I=\frac{1}{x!}\int_{\lambda}^{\infty}{s^x \cdot e^{-s}ds} \end{align}

（ii）部分積分の公式 \begin{align} \int_{a}^{b}{f \left(s\right)g^\prime \left(s\right)ds}= \left[f \left(s\right)g \left(s\right)\right]_a^b-\int_{a}^{b}{f^\prime \left(s\right)g \left(s\right)ds} \end{align} において、 \begin{gather} f \left(s\right)=s^x \quad g \left(s\right)=-e^{-s}\\ f^\prime \left(s\right)=xs^{x-1} \quad g^\prime \left(s\right)=e^{-s} \end{gather} とすると、 \begin{align} I&=\frac{1}{x!} \left[-s^xe^{-s}\right]_\lambda^\infty-\frac{1}{x!}\int_{\lambda}^{\infty}{xs^{x-1} \cdot \left(-e^{-s}\right)ds}\\ &=\frac{1}{x!} \left(-\lim_{s\rightarrow\infty}{s^xe^{-s}}+\lambda^xe^{-\lambda}\right)+\frac{1}{ \left(x-1\right)!}\int_{\lambda}^{\infty}{s^{x-1}e^{-s}ds} \end{align} ロピタルの定理より、 \begin{align} \lim_{s\rightarrow\infty}{\frac{s^x}{e^s}}= \cdots =\lim_{s\rightarrow\infty}{\frac{x!}{e^s}}=\lim_{s\rightarrow\infty}{\frac{0}{e^s}}=0 \end{align} したがって、 \begin{align} I=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}+\frac{1}{ \left(x-1\right)!}\int_{\lambda}^{\infty}{s^{x-1}e^{-s}ds} \end{align} 以下、同様の操作を $x$ 回繰り返していくと、 \begin{align} I&=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}+\frac{\lambda^{x-1}e^{-\lambda}}{ \left(x-1\right)!}+ \cdots +\frac{\lambda^0e^{-\lambda}}{0!}\\ &=\sum_{k=0}^{x}\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\\ &=F \left(x\right) \end{align} したがって、 \begin{align} F \left(x\right)=\int_{2\lambda}^{\infty}{f_{2 \left(x+1\right)} \left(t\right)dt} \end{align} $\blacksquare$