ワイブル分布の定義と概要

（i）すべての $x$ に関して、$f\left(x\right)\ge 0$
$$\begin{array}{c}0<a,0<b\Rightarrow 0<\frac{b}{a^b}\\ 0<x\Rightarrow 0<x^{b-1}\\ 0<e^a\Rightarrow 0<e^{-{\left(\frac{x}{a}\right)}^b}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{b}{a^b}{x}^{b-1}{e}^{-{\left(\frac{x}{a}\right)}^b}>0\end{array}$$ （ii）すべての確率の和が1 $$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}0\cdot dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{b{x}^{b-1}}{a^b}{e}^{-{\left(\frac{x}{a}\right)}^b}dx\\ & =\frac{b}{a^b}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{b-1}{e}^{-{\left(\frac{x}{a}\right)}^b}dx\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}t={\left(\frac{x}{a}\right)}^b\iff x=a{t}^{\frac{1}{b}}\\ \frac{dx}{dt}=\frac{a}{b}{t}^{\frac{1}{b}-1}\Rightarrow dx=\frac{a}{b}{t}^{\frac{1}{b}-1}dt\\ x:0\to \mathrm{\infty }\Rightarrow t:0\to \mathrm{\infty }\end{array}$$ となるので、 置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx& =\frac{b}{a^b}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(a{t}^{\frac{1}{b}}\right)}^{b-1}{e}^{-t}\cdot \frac{a}{b}{t}^{\frac{1}{b}-1}dt\\ & =\frac{b}{a^b}\cdot \frac{a}{b}\cdot a^{b-1}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{(\frac{b-1}{b}+\frac{1-b}{b})}{e}^{-t}dt\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t}dt\\ & ={[-e^{-t}]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =-(\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-t}-e^0)\\ & =-(0-1)\\ & =1\end{array}$$ よって、確率密度関数の定義を満たしているため、確率密度関数である。 $◼$

累積分布関数の定義式 $F\left(x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f\left(t\right)dt$ より、
（i）$x<0$ のとき $$\begin{array}{r}F\left(x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f\left(t\right)dt={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}0\cdot dt=0\end{array}$$ （ii）$0\le x$ のとき $$\begin{array}{rl}F\left(x\right)& ={\int }_0^x\frac{b{t}^{b-1}}{a^b}{e}^{-{\left(\frac{t}{a}\right)}^b}dt\\ & =\frac{b}{a^b}{\int }_0^x{t}^{b-1}{e}^{-{\left(\frac{t}{a}\right)}^b}dx\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}s={\left(\frac{t}{a}\right)}^b\iff t=a{s}^{\frac{1}{b}}\\ \frac{dt}{ds}=\frac{a}{b}{s}^{\frac{1}{b}-1}\Rightarrow dt=\frac{a}{b}{s}^{\frac{1}{b}-1}ds\\ t:0\to x\Rightarrow s:0\to {\left(\frac{x}{a}\right)}^b\end{array}$$ となるので、 置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}F\left(x\right)& =\frac{b}{a^b}{\int }_0^{{\left(\frac{x}{a}\right)}^b}{\left(a{s}^{\frac{1}{b}}\right)}^{b-1}{e}^{-s}\cdot \frac{a}{b}{s}^{\frac{1}{b}-1}ds\\ & =\frac{b}{a^b}\cdot a^{b-1}\cdot \frac{a}{b}{\int }_0^{{\left(\frac{x}{a}\right)}^b}{s}^{(\frac{b-1}{b}+\frac{1-b}{b})}{e}^{-t}ds\\ & ={\int }_0^{{\left(\frac{x}{a}\right)}^b}{e}^{-t}dt\\ & ={[-e^{-t}]}_0^{{\left(\frac{x}{a}\right)}^b}\\ & =-(e^{-{\left(\frac{x}{a}\right)}^b}-e^0)\\ & =1-e^{-{\left(\frac{x}{a}\right)}^b}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}F\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ 1-e^{-{\left(\frac{x}{a}\right)}^b}& 0\le x\end{array}\end{array}$$ $◼$