ワイブル分布の定義と概要

（i）すべての $x$ に関して、$f \left(x\right) \geq 0$
\begin{gather} 0 \lt a,0 \lt b\Rightarrow0 \lt \frac{b}{a^b}\\ 0 \lt x\Rightarrow0 \lt x^{b-1}\\ 0 \lt e^a\Rightarrow0 \lt e^{- \left(\frac{x}{a}\right)^b} \end{gather} したがって、 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{b}{a^b}x^{b-1}e^{- \left(\frac{x}{a}\right)^b} \gt 0 \end{align} （ii）すべての確率の和が1 \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}f \left(x\right)dx&=\int_{-\infty}^{0}{0 \cdot d x}+\int_{0}^{\infty}f \left(x\right)dx\\ &=\int_{0}^{\infty}{\frac{bx^{b-1}}{a^b}e^{- \left(\frac{x}{a}\right)^b}dx}\\ &=\frac{b}{a^b}\int_{0}^{\infty}{x^{b-1}e^{- \left(\frac{x}{a}\right)^b}dx} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} t= \left(\frac{x}{a}\right)^b\Leftrightarrow x=at^\frac{1}{b}\\ \frac{dx}{dt}=\frac{a}{b}t^{\frac{1}{b}-1}\Rightarrow dx=\frac{a}{b}t^{\frac{1}{b}-1}dt\\ x:0\rightarrow\infty \quad \Rightarrow \quad t:0\rightarrow\infty \end{gather} となるので、 置換積分法により、 \begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}f \left(x\right)dx&=\frac{b}{a^b}\int_{0}^{\infty}{ \left(at^\frac{1}{b}\right)^{b-1}e^{-t} \cdot \frac{a}{b}t^{\frac{1}{b}-1}dt}\\ &=\frac{b}{a^b} \cdot \frac{a}{b} \cdot a^{b-1}\int_{0}^{\infty}{t^{ \left(\frac{b-1}{b}+\frac{1-b}{b}\right)}e^{-t}dt}\\ &=\int_{0}^{\infty}{e^{-t}dt}\\ &= \left[-e^{-t}\right]_0^\infty\\ &=- \left(\lim_{t\rightarrow\infty}{e^{-t}}-e^0\right)\\ &=- \left(0-1\right)\\ &=1 \end{align} よって、確率密度関数の定義を満たしているため、確率密度関数である。 $\blacksquare$

累積分布関数の定義式 $F \left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}f \left(t\right)dt$ より、
（i）$x \lt 0$ のとき \begin{align} F \left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}f \left(t\right)dt=\int_{-\infty}^{x}{0 \cdot d t}=0 \end{align} （ii）$0 \le x$ のとき \begin{align} F \left(x\right)&=\int_{0}^{x}{\frac{bt^{b-1}}{a^b}e^{- \left(\frac{t}{a}\right)^b}dt}\\ &=\frac{b}{a^b}\int_{0}^{x}{t^{b-1}e^{- \left(\frac{t}{a}\right)^b}dx} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} s= \left(\frac{t}{a}\right)^b\Leftrightarrow t=as^\frac{1}{b}\\ \frac{dt}{ds}=\frac{a}{b}s^{\frac{1}{b}-1}\Rightarrow dt=\frac{a}{b}s^{\frac{1}{b}-1}ds\\ t:0\rightarrow x \quad \Rightarrow \quad s:0\rightarrow \left(\frac{x}{a}\right)^b \end{gather} となるので、 置換積分法により、 \begin{align} F \left(x\right)&=\frac{b}{a^b}\int_{0}^{ \left(\frac{x}{a}\right)^b}{ \left(as^\frac{1}{b}\right)^{b-1}e^{-s} \cdot \frac{a}{b}s^{\frac{1}{b}-1}ds}\\ &=\frac{b}{a^b} \cdot a^{b-1} \cdot \frac{a}{b}\int_{0}^{ \left(\frac{x}{a}\right)^b}{s^{ \left(\frac{b-1}{b}+\frac{1-b}{b}\right)}e^{-t}ds}\\ &=\int_{0}^{ \left(\frac{x}{a}\right)^b}{e^{-t}dt}\\ &= \left[-e^{-t}\right]_0^{ \left(\frac{x}{a}\right)^b}\\ &=- \left(e^{- \left(\frac{x}{a}\right)^b}-e^0\right)\\ &=1-e^{- \left(\frac{x}{a}\right)^b} \end{align} したがって、 \begin{align} F \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}0&x \lt 0\\1-e^{- \left(\frac{x}{a}\right)^b}&0 \le x\\\end{matrix}\right. \end{align} $\blacksquare$