本稿には、2021年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問4の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- 著作権の関係上、問題文は、掲載することができません。申し訳ありませんが、閲覧者のみなさまでご用意いただければ幸いです。
- この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
- 計算ミスや誤字・脱字などがありましたら、コメントなどでご指摘いただければ大変助かります。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
〔1〕効果量の従う分布（変量効果モデル）
与えられた変量効果モデルは、 \begin{align} Y_k=\mu+\delta_k+\varepsilon_k \end{align} このモデルにおける確率変数は、 \begin{align} \varepsilon_k \sim \mathrm{N} \left(0,\sigma_k^2\right) \quad \delta_k \sim \mathrm{N} \left(0,\tau^2\right) \end{align} 正規分布の再生性などにより、 \begin{align} Y_k \sim \mathrm{N} \left(\mu,\sigma_k^2+\tau^2\right) \end{align} $\blacksquare$
〔2〕平均治療効果の最尤推定
〔2-1〕対数尤度関数
正規分布から得られたデータの尤度関数は、 \begin{align} L_k \left(\mu,\tau^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \left(\sigma_k^2+\tau^2\right)}}\mathrm{exp} \left[-\frac{ \left(y_k-\mu\right)^2}{2 \left(\sigma_k^2+\tau^2\right)}\right] \end{align} 全試験の尤度関数は、 \begin{align} L \left(\mu,\tau^2\right)&=\prod_{k=1}^{K}{L_k \left(\mu,\tau^2\right)}\\ &=\prod_{k=1}^{K}{\frac{1}{\sqrt{2\pi \left(\sigma_k^2+\tau^2\right)}}\mathrm{exp} \left[-\frac{ \left(y_k-\mu\right)^2}{2 \left(\sigma_k^2+\tau^2\right)}\right]} \end{align} したがって、全試験の対数尤度関数は、 \begin{align} \log{L \left(\mu,\tau^2\right)}&=\sum_{k=1}^{K} \left\{\log{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}+\log{\frac{1}{\sqrt{ \left(\sigma_k^2+\tau^2\right)}}}-\frac{ \left(y_k-\mu\right)^2}{2 \left(\sigma_k^2+\tau^2\right)}\right\}\\ &=-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K} \left\{\log{2\pi}+\log{ \left(\sigma_k^2+\tau^2\right)}+\frac{ \left(y_k-\mu\right)^2}{\sigma_k^2+\tau^2}\right\} \end{align} $\blacksquare$
〔2-2〕最尤推定量
平均治療効果 $\mu$ のスコア関数は \begin{align} S \left(\mu\right)&=-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K}{\frac{2 \left(y_k-\mu\right)}{\sigma_k^2+\tau^2} \cdot \left(-1\right)}\\ &=\sum_{k=1}^{K}\frac{y_k-\mu}{\sigma_k^2+\tau^2}\\ &=\sum_{k=1}^{K}\frac{y_k}{\sigma_k^2+\tau^2}-\mu\sum_{k=1}^{K}\frac{1}{\sigma_k^2+\tau^2} \end{align} 試験間変動の分散 $\tau^2$ の最尤推定量が与えられた下で、尤度方程式を解くと、平均治療効果 $\mu$ の最尤推定量は、 \begin{gather} \sum_{k=1}^{K}\frac{y_k}{\sigma_k^2+{\hat{\tau}}^2}-\hat{\mu}\sum_{k=1}^{K}\frac{1}{\sigma_k^2+{\hat{\tau}}^2}=0\\ \hat{\mu}=\frac{\sum_{k=1}^{K}\frac{y_k}{\sigma_k^2+{\hat{\tau}}^2}}{\sum_{k=1}^{K}\frac{1}{\sigma_k^2+{\hat{\tau}}^2}}\tag{1} \end{gather} $\blacksquare$
〔2-3〕最尤推定量値
与えられた数値を代入すると、 \begin{align} \hat{\mu}&=\frac{-\frac{0.480}{0.095+0.013}+\frac{0.032}{0.092+0.013}+\frac{0.221}{0.014+0.013}-\frac{0.085}{0.013+0.013}}{\frac{1}{0.095+0.013}+\frac{1}{0.092+0.013}+\frac{1}{0.014+0.013}+\frac{1}{0.013+0.013}}\\ &=\frac{-4.444+0.305+8.185-3.269}{9.259+9.524+37.037+38.462}\\ &=\frac{0.776}{94.282}\\ &=0.008 \end{align} $\blacksquare$
〔3〕平均治療効果の信頼区間
〔3-1〕最尤推定量の分散
式 $(1)$ の分散を取ると、 \begin{align} V \left(\hat{\mu}\right)&=V \left[\frac{\sum_{k=1}^{K}\frac{y_k}{\sigma_k^2+\tau^2}}{\sum_{k=1}^{K}\frac{1}{\sigma_k^2+\tau^2}}\right]\\ &= \left(\frac{1}{\sum_{k=1}^{K}\frac{1}{\sigma_k^2+\tau^2}}\right)^2V \left[\sum_{k=1}^{K}\frac{y_k}{\sigma_k^2+\tau^2}\right]\\ &= \left(\frac{1}{\sum_{k=1}^{K}\frac{1}{\sigma_k^2+\tau^2}}\right)^2\sum_{k=1}^{K}V \left(\frac{y_k}{\sigma_k^2+\tau^2}\right)\\ &= \left(\frac{1}{\sum_{k=1}^{K}\frac{1}{\sigma_k^2+\tau^2}}\right)^2\sum_{k=1}^{K}{ \left(\frac{1}{\sigma_k^2+\tau^2}\right)^2V \left(y_k\right)}\\ &= \left(\frac{1}{\sum_{k=1}^{K}\frac{1}{\sigma_k^2+\tau^2}}\right)^2\sum_{k=1}^{K}{ \left(\frac{1}{\sigma_k^2+\tau^2}\right)^2 \left\{V \left(\delta_k\right)+V \left(\varepsilon_k\right)\right\}}\\ &= \left(\frac{1}{\sum_{k=1}^{K}\frac{1}{\sigma_k^2+\tau^2}}\right)^2\sum_{k=1}^{K}{ \left(\frac{1}{\sigma_k^2+\tau^2}\right)^2 \left(\sigma_k^2+\tau^2\right)}\\ &= \left(\frac{1}{\sum_{k=1}^{K}\frac{1}{\sigma_k^2+\tau^2}}\right)^2\sum_{k=1}^{K}\frac{1}{\sigma_k^2+\tau^2}\\ &=\frac{1}{\sum_{k=1}^{K}\frac{1}{\sigma_k^2+\tau^2}} \end{align} $\blacksquare$
〔3-2〕信頼区間の算出
与えられた数値を代入すると、 \begin{align} V \left(\hat{\mu}\right)&=\frac{1}{\frac{1}{0.095+0.014}+\frac{1}{0.092+0.014}+\frac{1}{0.014+0.014}+\frac{1}{0.013+0.014}}\\ &=\frac{1}{9.17+9.43+35.71+37.04}\\ &=\frac{1}{91.36}\\ &=0.011 \end{align} よって標準誤差は、 \begin{align} \sqrt{V \left(\hat{\mu}\right)}&=\sqrt{0.011}\\ &=0.105 \end{align} 〔2-3〕の結果と得られた標準誤差を与えられた信頼区間の式に代入すると、 \begin{align} \mu=0.008\pm1.96 \cdot 0.105 \end{align} \begin{gather} \mu_L=0.008-0.205=-0.197\\ \mu_U=0.008+0.205=0.213 \end{gather} $\blacksquare$
0 件のコメント:
コメントを投稿