統計検定 1級 2021年 医薬生物学 問4 メタ・アナリシス

本稿には、2021年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問4の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕効果量の従う分布（変量効果モデル）

与えられた変量効果モデルは、 $$\begin{array}{r}{Y}_k=\mu +{\delta }_k+{\epsilon }_k\end{array}$$ このモデルにおける確率変数は、 $$\begin{array}{r}{\epsilon }_k\sim \mathrm{N}(0,{\sigma }_k^2){\delta }_k\sim \mathrm{N}(0,{\tau }^2)\end{array}$$ 正規分布の再生性などにより、 $$\begin{array}{r}{Y}_k\sim \mathrm{N}(\mu ,{\sigma }_k^2+{\tau }^2)\end{array}$$ $◼$

〔2〕平均治療効果の最尤推定

〔2-1〕対数尤度関数

正規分布から得られたデータの尤度関数は、 $$\begin{array}{r}{L}_k(\mu ,{\tau }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi ({\sigma }_k^2+{\tau }^2)}}\exp [-\frac{{(y_k-\mu )}^2}{2({\sigma }_k^2+{\tau }^2)}]\end{array}$$ 全試験の尤度関数は、 $$\begin{array}{rl}L(\mu ,{\tau }^2)& =\prod _{k=1}^K{L}_k(\mu ,{\tau }^2)\\ & =\prod _{k=1}^K\frac{1}{\sqrt{2\pi ({\sigma }_k^2+{\tau }^2)}}\exp [-\frac{{(y_k-\mu )}^2}{2({\sigma }_k^2+{\tau }^2)}]\end{array}$$ したがって、全試験の対数尤度関数は、 $$\begin{array}{rl}\log L(\mu ,{\tau }^2)& =\sum _{k=1}^K\{\log \frac{1}{\sqrt{2\pi }}+\log \frac{1}{\sqrt{({\sigma }_k^2+{\tau }^2)}}-\frac{{(y_k-\mu )}^2}{2({\sigma }_k^2+{\tau }^2)}\}\\ & =-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^K\{\log 2\pi +\log ({\sigma }_k^2+{\tau }^2)+\frac{{(y_k-\mu )}^2}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}\}\end{array}$$ $◼$

〔2-2〕最尤推定量

平均治療効果 $\mu$ のスコア関数は $$\begin{array}{rl}S\left(\mu \right)& =-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^K\frac{2(y_k-\mu )}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}\cdot (-1)\\ & =\sum _{k=1}^K\frac{y_k-\mu }{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}\\ & =\sum _{k=1}^K\frac{y_k}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}-\mu \sum _{k=1}^K\frac{1}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}\end{array}$$ 試験間変動の分散 ${\tau }^2$ の最尤推定量が与えられた下で、尤度方程式を解くと、平均治療効果 $\mu$ の最尤推定量は、 $$\begin{array}{c}\sum _{k=1}^K\frac{y_k}{{\sigma }_k^2+{\hat{\tau }}^2}-\hat{\mu }\sum _{k=1}^K\frac{1}{{\sigma }_k^2+{\hat{\tau }}^2}=0\\ \text{(1)}& \hat{\mu }=\frac{\sum _{k=1}^K\frac{y_k}{{\sigma }_k^2+{\hat{\tau }}^2}}{\sum _{k=1}^K\frac{1}{{\sigma }_k^2+{\hat{\tau }}^2}}\end{array}$$ $◼$

〔2-3〕最尤推定量値

与えられた数値を代入すると、 $$\begin{array}{rl}\hat{\mu }& =\frac{-\frac{0.480}{0.095+0.013}+\frac{0.032}{0.092+0.013}+\frac{0.221}{0.014+0.013}-\frac{0.085}{0.013+0.013}}{\frac{1}{0.095+0.013}+\frac{1}{0.092+0.013}+\frac{1}{0.014+0.013}+\frac{1}{0.013+0.013}}\\ & =\frac{-4.444+0.305+8.185-3.269}{9.259+9.524+37.037+38.462}\\ & =\frac{0.776}{94.282}\\ & =0.008\end{array}$$ $◼$

〔3〕平均治療効果の信頼区間

〔3-1〕最尤推定量の分散

式 $(1)$ の分散を取ると、 $$\begin{array}{rl}V\left(\hat{\mu }\right)& =V\left[\frac{\sum _{k=1}^K\frac{y_k}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}}{\sum _{k=1}^K\frac{1}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}}\right]\\ & ={\left(\frac{1}{\sum _{k=1}^K\frac{1}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}}\right)}^{2}V\left[\sum _{k=1}^K\frac{y_k}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}\right]\\ & ={\left(\frac{1}{\sum _{k=1}^K\frac{1}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}}\right)}^2\sum _{k=1}^{K}V\left(\frac{y_k}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}\right)\\ & ={\left(\frac{1}{\sum _{k=1}^K\frac{1}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}}\right)}^2\sum _{k=1}^K{\left(\frac{1}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}\right)}^{2}V\left(y_k\right)\\ & ={\left(\frac{1}{\sum _{k=1}^K\frac{1}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}}\right)}^2\sum _{k=1}^K{\left(\frac{1}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}\right)}^2\{V\left({\delta }_k\right)+V\left({\epsilon }_k\right)\}\\ & ={\left(\frac{1}{\sum _{k=1}^K\frac{1}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}}\right)}^2\sum _{k=1}^K{\left(\frac{1}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}\right)}^2({\sigma }_k^2+{\tau }^2)\\ & ={\left(\frac{1}{\sum _{k=1}^K\frac{1}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}}\right)}^2\sum _{k=1}^K\frac{1}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}\\ & =\frac{1}{\sum _{k=1}^K\frac{1}{{\sigma }_k^2+{\tau }^2}}\end{array}$$ $◼$

〔3-2〕信頼区間の算出

与えられた数値を代入すると、 $$\begin{array}{rl}V\left(\hat{\mu }\right)& =\frac{1}{\frac{1}{0.095+0.014}+\frac{1}{0.092+0.014}+\frac{1}{0.014+0.014}+\frac{1}{0.013+0.014}}\\ & =\frac{1}{9.17+9.43+35.71+37.04}\\ & =\frac{1}{91.36}\\ & =0.011\end{array}$$ よって標準誤差は、 $$\begin{array}{rl}\sqrt{V\left(\hat{\mu }\right)}& =\sqrt{0.011}\\ & =0.105\end{array}$$ 〔2-3〕の結果と得られた標準誤差を与えられた信頼区間の式に代入すると、 $$\begin{array}{r}\mu =0.008\pm 1.96\cdot 0.105\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{\mu }_L=0.008-0.205=-0.197\\ {\mu }_U=0.008+0.205=0.213\end{array}$$ $◼$