多項分布の周辺分布と共分散の導出

（i）$X_i$ の周辺分布
周辺確率関数の定義式 $f\left(x_i\right)=\sum f\left(\mathit{x}\right)$ より、例えば、$X_1$ について、 $$\begin{array}{rl}f\left(x_i\right)& =\sum _{x_2+x_3\cdots +x_k=n-x_1}\frac{n!}{x_1!\cdots x_k!}{p}_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k}\\ & =\frac{n!}{x_1!(n-x_1)!}{p}_1^{x_1}\cdot \sum _{x_2+x_3\cdots +x_k=n-x_1}\frac{(n-x_1)!}{x_2!\cdots x_k!}{p}_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}\end{array}$$ 多項定理 $$\begin{array}{c}{(p_1+p_2+\cdots +p_k)}^n=\sum _{x_1+x_2+\cdots +x_k=n}\frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_k!}{p}_1^{n_1}{p}_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}\end{array}$$ より、 $$\begin{array}{r}f\left(x_i\right)=\frac{n!}{x_1!(n-x_1)!}{p}_1^{x_1}\cdot {(p_2+\cdots +p_k)}^{n-x_1}\end{array}$$ 確率関数の仮定 $$\begin{array}{c}\sum _{i=1}^k{p}_i=1\iff p_2+\cdots +p_k=1-p_1\end{array}$$ より、 $$\begin{array}{rl}f\left(x_i\right)& =\frac{n!}{x_1!(n-x_1)!}{p}_1^{x_1}{(1-p_1)}^{n-x_1}\\ & ={}_n{C}_{x_1}{p}_1^{x_1}{(1-p_1)}^{n-x_1}\end{array}$$ これは、二項分布 $$\begin{array}{r}{X}_1\sim \mathrm{B}(n,p_1)\end{array}$$ の確率関数の定義式である。 $◼$

（ii）$X_i+X_j(i\ne j)$ の分布
（i）と同様に考えると、例えば、$X_1+X_2$ について、 $$\begin{array}{rl}f\left(x_i\right)& =\frac{n!}{(x_1+x_2)!(n-x_1-x_2)!}{(p_1+p_2)}^{x_1}{(1-p_1-p_2)}^{n-x_1-x_2}\\ & ={}_n{C}_{x_1+x_2}{p}_1^{x_1}{(1-p_1-p_2)}^{n-x_1}\end{array}$$ これは、二項分布 $$\begin{array}{r}{X}_1+X_2\sim \mathrm{B}(n,p_1+p_2)\end{array}$$ の確率関数の定義式である。 $◼$

（i）$X_i$ の周辺分布
多項分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& M_X\left(\mathit{\theta }\right)={(p_1{e}^{{\theta }_1}+p_2{e}^{{\theta }_2}+\cdots +p_k{e}^{{\theta }_k})}^n\end{array}$$ モーメント母関数の定義式 $M_X\left(\mathit{\theta }\right)=E\left(e^{{\theta }_1{X}_1+{\theta }_2{X}_2+\cdots +{\theta }_n{X}_n}\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(e^{{\theta }_1{X}_1+{\theta }_2{X}_2+\cdots +{\theta }_n{X}_n}\right)={(p_1{e}^{{\theta }_1}+p_2{e}^{{\theta }_2}+\cdots +p_k{e}^{{\theta }_k})}^n\end{array}$$ $X_1$ のモーメント母関数の定義式 $M_{X_1}\left(\theta \right)=E\left(e^{{\theta }_1{X}_1}\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_{X_1}\left(\theta \right)& =E\left(e^{{\theta }_1{X}_1}\right)\\ & =E\left(e^{{\theta }_1{X}_1+0+\cdots +0}\right)\end{array}$$ 式 $(1)$ に ${\theta }_i=0,i=2,3,\cdots ,n$ を代入すると、 $$\begin{array}{rl}{M}_{X_1}\left(\theta \right)& ={(p_1{e}^{{\theta }_1}+p_2{e}^0+\cdots +p_k{e}^0)}^n\\ & ={(p_1{e}^{{\theta }_1}+p_2+\cdots +p_k)}^n\\ & ={\{p_1{e}^{{\theta }_1}+(1-p_1)\}}^n\end{array}$$ これは、二項分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{B}(n,p_1)\end{array}$$ のモーメント母関数である。 $◼$

（ii）$X_i+X_j(i\ne j)$ の分布
（i）と同様に考えると、例えば、$X_1+X_2$ のモーメント母関数は、 $$\begin{array}{rl}{M}_{X_1+X_2}\left(\theta \right)& =E\left[e^{(x_1+x_2)\theta }\right]\\ & =E\left[e^{(x_1+x_2)\theta +0+\cdots +0}\right]\\ & ={\{p_1{e}^{\theta }+p_2{e}^{\theta }+p_3{e}^0+\cdots +p_k{e}^0\}}^n\\ & ={\{(p_1+p_2)e^{\theta }+p_3+\cdots +p_k\}}^n\\ & ={\{(p_1+p_2)e^{\theta }+1-(p_1+p_2)\}}^n\end{array}$$ これは、二項分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{B}(n,p_1+p_2)\end{array}$$ のモーメント母関数である。 $◼$

（i）$X_i$ の周辺分布
ある1つの事象 $A_i$ に着目すると、全事象は、$A_i$ が起こるか起こらないか（$A_i$の余事象 $A_i^c$）に大別することができる。

これは、 $$\begin{array}{c}P\left(A_i\right)=p_{i}P\left(A_i^c\right)=1-p_i\end{array}$$ というベルヌーイ試行であるとみなすことができるので、 $X_i$ の周辺分布は、二項分布 $$\begin{array}{c}{X}_i\sim \mathrm{B}(n,p_i)\end{array}$$ である。

（ii）$X_i+X_j(i\ne j)$ の分布
同様に考えると、ある2つの事象 $A_i,A_j$ に着目し、全事象を $$\begin{array}{c}{A}_i\mathrm{or}{A}_j\end{array}$$ が起こるか起こらないか（$A_{i,j}$の余事象 $A_{i,j}^c$）に大別する。

2つは排反な事象なので、 $$\begin{array}{c}P(A_i\cup A_j)=p_i+p_j\\ P\left[{(A_i\cup A_j)}^C\right]=1-(p_i+p_j)\end{array}$$ というベルヌーイ試行となる。 よって、$X_i+X_j(i\ne j)$ の分布は、二項分布 $$\begin{array}{c}{X}_i+X_j\sim \mathrm{B}(n,p_i+p_j)\end{array}$$ となる。 $◼$

二項分布の期待値と分散の公式より、確率変数 $X_i$ の期待値と分散は、 $$\begin{array}{r}E\left(X_i\right)=n{p}_{i}V\left(X_i\right)=n{p}_i(1-p_i)\end{array}$$ 確率変数 $X_j$ の期待値と分散は、 $$\begin{array}{r}E\left(X_j\right)=n{p}_{j}V\left(X_j\right)=n{p}_j(1-p_j)\end{array}$$ 確率変数 $X_i+X_j$ の期待値と分散は、 $$\begin{array}{r}E(X_i+X_j)=n(p_i+p_j)V(X_i+X_j)=n(p_i+p_j)(1-p_i-p_j)\end{array}$$ 確率変数の和の分散の公式 $V(X+Y)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$ より、 $$\begin{array}{c}n(p_i+p_j)(1-p_i-p_j)=n{p}_i(1-p_i)+n{p}_j(1-p_j)+2\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\\ n{p}_i+n{p}_j-n{p}_i^2-n{p}_j{p}_j-n{p}_j^2-n{p}_j{p}_j=n{p}_i-n{p}_i^2+n{p}_j-n{p}_j^2+2\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\\ 2\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=-n{p}_j{p}_j-n{p}_j{p}_j\\ 2\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=-2n{p}_j{p}_j\\ \mathrm{Cov}(X_i,X_j)=-n{p}_i{p}_j\end{array}$$ $◼$