条件付き分散の定義と基本性質の証明

条件付き分散の定義式を変形すると、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right|y)& =E\left[X^2-2XE\left(X\right|y)+{\left\{E\left(X\right|y)\right\}}^2|y\right]\\ & =E\left[X^2|y\right]-2E\left(X\right|y)E\left(X\right|y)+E\left[{\left\{E\left(X\right|y)\right\}}^2|y\right]\\ & =E\left[X^2|y\right]-2{\left\{E\left(X\right|y)\right\}}^2+{\left\{E\left(X\right|y)\right\}}^2\\ & =E\left[X^2|y\right]-{\left\{E\left(X\right|y)\right\}}^2\end{array}$$ $◼$

（i）$Y=y$ を与えたときの $X$ の条件付き分散の期待値
条件付き分散の公式 $V\left(X\right|y)=E\left(X^2\right|y)-{\left\{E\left(X\right|y)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left[V\left(X\right|y)\right]& =E[E\left(X^2\right|y)-{\left\{E\left(X\right|y)\right\}}^2]\\ & =E\left[E\left(X^2\right|y)\right]-E\left[{\left\{E\left(X\right|y)\right\}}^2\right]\end{array}$$ 期待値の繰り返し公式 $E\left[m(X,Y)\right]=E\left[E\left\{m(X,y)\right|y\}\right]$ より、$m(X,Y)=X^2$ とすると、 $$\begin{array}{rl}E\left[V\left(X\right|y)\right]& =E[E\left(X^2\right|y)-{\left\{E\left(X\right|y)\right\}}^2]\\ \text{(1)}& & =E\left[X^2\right]-E\left[{\left\{E\left(X\right|y)\right\}}^2\right]\end{array}$$

（ii）$Y=y$ を与えたときの $X$ の条件付き期待値の分散
分散の公式 $V\left\{g\left(Y\right)\right\}=E\left[{\left\{g\left(Y\right)\right\}}^2\right]-{\left[E\left\{g\left(Y\right)\right\}\right]}^2$ より、$g\left(Y\right)=E\left(X\right|y)$ とすると、 $$\begin{array}{r}V\left[E\left(X\right|y)\right]=E\left[{\left\{E\left(X\right|y)\right\}}^2\right]-{\left\{E\left[E\left(X\right|y)\right]\right\}}^2\end{array}$$ 期待値の繰り返し公式 $E\left(X\right)=E\left[E\left(X\right|y)\right]$ より、 $$\begin{array}{}\text{(2)}& V\left[E\left(X\right|y)\right]=E\left[{\left\{E\left(X\right|y)\right\}}^2\right]-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2\end{array}$$ 式 $\left(1\right),\left(2\right)$ の和を求めると、 $$\begin{array}{r}E\left[V\left(X\right|y)\right]+V\left[E\left(X\right|y)\right]=E\left[X^2\right]-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2\end{array}$$ 分散の公式より、 $$\begin{array}{r}V\left(X\right)=E\left[V\left(X\right|y)\right]+V\left[E\left(X\right|y)\right]\end{array}$$ $◼$