統計検定 1級 2021年 医薬生物学 問5 検査精度

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【2023年2月2週】 【A000】生物統計学 【D000】統計検定 過去問

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本稿には、2021年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問5の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

  • 著作権の関係上、問題文は、掲載することができません。申し訳ありませんが、閲覧者のみなさまでご用意いただければ幸いです。
  • この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
  • 計算ミスや誤字・脱字などがありましたら、コメントなどでご指摘いただければ大変助かります。
  • スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。

〔1〕感度・特異度の算出

定義式より、各数値を代入すると、感度は \begin{align} P \left(+\middle| T\right)&=P \left(8 \lt X_T\right)\\ &=P \left(\frac{8-10}{2} \lt \frac{X_T-10}{2}\right)\\ &=P \left(-1.000 \lt Z\right)\\ &=1-0.159\\ &=0.841 \end{align} 同様に特異度は、 \begin{align} P \left(-\middle| F\right)&=P \left(X_C \lt 8\right)\\ &=P \left(\frac{X_T-5}{2} \lt \frac{8-5}{2}\right)\\ &=P \left(Z \lt 1.500\right)\\ &=0.933 \end{align} $\blacksquare$

〔2〕陽性的中率・陰性的中率の算出

〔1〕と同様に考えると、感染している人が陰性になる確率は、 \begin{align} P \left(-\middle| T\right)&=P \left(X_T \lt 8\right)\\ &=P \left(\frac{X_T-10}{2} \lt \frac{8-10}{2}\right)\\ &=P \left(Z \lt -1.000\right)\\ &=0.159 \end{align} 感染していない人が陽性になる確率は、 \begin{align} P \left(+\middle| F\right)&=P \left(8 \lt X_C\right)\\ &=P \left(\frac{8-5}{2} \lt \frac{X_T-5}{2}\right)\\ &=P \left(1.500 \lt Z\right)\\ &=0.067 \end{align} 母集団における疾病の感染率が $p=0.01$ であることから、

表1 感染状況と検査結果に関する $2\times2$ 分割表
陽性 陰性 合計
感染者 $0.01\times0.841$ $0.01\times0.159$ $0.01$
非感染者 $0.99\times0.067$ $0.99\times0.933$ $0.99$
合計 $0.075$ $0.925$ $1$
ベイズの定理により、陽性的中度は、 \begin{align} P \left(T\middle|+\right)=\frac{0.01\times0.841}{0.01\times0.841+0.99\times0.067}=0.113 \end{align} 同様に、陰性的中度は、 \begin{align} P \left(F\middle|-\right)=\frac{0.99\times0.933}{0.01\times0.159+0.99\times0.933}=0.998 \end{align} $\blacksquare$

〔3〕感度を特定の値にするためのしきい値の設計

定義式より、感度が0.95のとき、 \begin{align} P \left(+\middle| T\right)=P \left(c \lt X_T\right)=P \left(\frac{c-10}{2} \lt \frac{X_T-10}{2}\right)=P \left(\frac{c-10}{2} \lt Z\right)=0.95 \end{align} よって、 \begin{gather} \frac{c-10}{2}=-Z_{0.05}\\ c=10-1.645\times2\\ c=6.71 \end{gather} このときの特異度は、 \begin{align} P \left(-\middle| F\right)&=P \left(X_C \lt 6.71\right)\\ &=P \left(\frac{X_T-5}{2} \lt \frac{6.71-5}{2}\right)\\ &=P \left(Z \lt 0.855\right)\\ &=1-0.196\\ &=0.804 \end{align} $\blacksquare$

〔4〕感度・特異度を特定の値にするためのしきい値と標準偏差の設計

定義式より、感度が0.95のとき、 \begin{align} P \left(+\middle| T\right)=P \left(c \lt X_T\right)=P \left(\frac{c-10}{\sigma} \lt \frac{X_T-10}{\sigma}\right)=P \left(\frac{c-10}{\sigma} \lt Z\right)=0.95 \end{align} したがって、 \begin{align} \frac{c-10}{\sigma}=-1.64 \left(=Z_{0.95}\right)\tag{1} \end{align} 同様に、特異度が0.95のとき、 \begin{align} P \left(-\middle| F\right)=P \left(X_C \lt c\right)=P \left(\frac{X_T-5}{\sigma} \lt \frac{c-5}{\sigma}\right)=P \left(Z \lt \frac{c-5}{\sigma}\right)=0.95 \end{align} したがって、 \begin{align} \frac{c-5}{\sigma}=1.64 \left(=Z_{0.05}\right)\tag{2} \end{align} 式1と式2の連立方程式を解くと、 \begin{align} c=\frac{15}{2}=7.5 \quad \sigma=1.52 \end{align} $\blacksquare$

〔5〕検査精度に関する分析

問題文の状況を表で表すと以下のようになる。

表2 検査会社が主張する感染状況と検査結果に関する $2\times2$ 分割表
陽性 陰性 合計
感染者 $a$ $0$ $a$
非感染者 $c$ $d$ $c+d$
合計 $a+c$ $d$ $N$
このとき、確かに感度と陰性的中度は、 \begin{gather} P \left(+\middle| T\right)=\frac{a}{a}=1\\ P \left(F\middle|-\right)=\frac{d}{d}=1 \end{gather} となるが、 偽陽性の数(非感染者で陽性となった人数) $c$ が不明なため、偽陽性率が分からない。もし、偽陽性率 $P \left(+\middle|F\right)=\frac{c}{c+d}$ が小さければこの検査法は有効であるが、大きければ、有効とは言えない。 $\blacksquare$

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大学時代に読書の面白さに気づいて以来、読書や勉強を通じて、興味をもったことや新しいことを学ぶことが生きる原動力。そんな人間が、その時々に学んだことを備忘録兼人生の軌跡として記録しているブログです。

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