統計検定 1級 2021年 医薬生物学 問5 検査精度

本稿には、2021年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問5の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

• 著作権の関係上、問題文は、掲載することができません。申し訳ありませんが、閲覧者のみなさまでご用意いただければ幸いです。
• この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
• 計算ミスや誤字・脱字などがありましたら、コメントなどでご指摘いただければ大変助かります。
• スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。

 

〔1〕感度・特異度の算出

定義式より、各数値を代入すると、感度は $$\begin{array}{rl}P(+|T)& =P(8<X_T)\\ & =P(\frac{8-10}{2}<\frac{X_T-10}{2})\\ & =P(-1.000<Z)\\ & =1-0.159\\ & =0.841\end{array}$$ 同様に特異度は、 $$\begin{array}{rl}P(-|F)& =P(X_C<8)\\ & =P(\frac{X_T-5}{2}<\frac{8-5}{2})\\ & =P(Z<1.500)\\ & =0.933\end{array}$$ $◼$

 

〔2〕陽性的中率・陰性的中率の算出

〔1〕と同様に考えると、感染している人が陰性になる確率は、 $$\begin{array}{rl}P(-|T)& =P(X_T<8)\\ & =P(\frac{X_T-10}{2}<\frac{8-10}{2})\\ & =P(Z<-1.000)\\ & =0.159\end{array}$$ 感染していない人が陽性になる確率は、 $$\begin{array}{rl}P(+|F)& =P(8<X_C)\\ & =P(\frac{8-5}{2}<\frac{X_T-5}{2})\\ & =P(1.500<Z)\\ & =0.067\end{array}$$ 母集団における疾病の感染率が $p=0.01$ であることから、

表1 感染状況と検査結果に関する $2\times 2$ 分割表

	陽性	陰性	合計
感染者	$0.01\times 0.841$	$0.01\times 0.159$	$0.01$
非感染者	$0.99\times 0.067$	$0.99\times 0.933$	$0.99$
合計	$0.075$	$0.925$	$1$

ベイズの定理により、陽性的中度は、 $$\begin{array}{r}P\left(T\right|+)=\frac{0.01\times 0.841}{0.01\times 0.841+0.99\times 0.067}=0.113\end{array}$$ 同様に、陰性的中度は、 $$\begin{array}{r}P\left(F\right|-)=\frac{0.99\times 0.933}{0.01\times 0.159+0.99\times 0.933}=0.998\end{array}$$ $◼$

 

〔3〕感度を特定の値にするためのしきい値の設計

定義式より、感度が0.95のとき、 $$\begin{array}{r}P(+|T)=P(c<X_T)=P(\frac{c-10}{2}<\frac{X_T-10}{2})=P(\frac{c-10}{2}<Z)=0.95\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{c}\frac{c-10}{2}=-Z_{0.05}\\ c=10-1.645\times 2\\ c=6.71\end{array}$$ このときの特異度は、 $$\begin{array}{rl}P(-|F)& =P(X_C<6.71)\\ & =P(\frac{X_T-5}{2}<\frac{6.71-5}{2})\\ & =P(Z<0.855)\\ & =1-0.196\\ & =0.804\end{array}$$ $◼$

 

〔4〕感度・特異度を特定の値にするためのしきい値と標準偏差の設計

定義式より、感度が0.95のとき、 $$\begin{array}{r}P(+|T)=P(c<X_T)=P(\frac{c-10}{\sigma }<\frac{X_T-10}{\sigma })=P(\frac{c-10}{\sigma }<Z)=0.95\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{c-10}{\sigma }=-1.64(=Z_{0.95})\end{array}$$ 同様に、特異度が0.95のとき、 $$\begin{array}{r}P(-|F)=P(X_C<c)=P(\frac{X_T-5}{\sigma }<\frac{c-5}{\sigma })=P(Z<\frac{c-5}{\sigma })=0.95\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{c-5}{\sigma }=1.64(=Z_{0.05})\end{array}$$ 式1と式2の連立方程式を解くと、 $$\begin{array}{r}c=\frac{15}{2}=7.5\sigma =1.52\end{array}$$ $◼$

 

〔5〕検査精度に関する分析

問題文の状況を表で表すと以下のようになる。

表2 検査会社が主張する感染状況と検査結果に関する $2\times 2$ 分割表

	陽性	陰性	合計
感染者	$a$	$0$	$a$
非感染者	$c$	$d$	$c+d$
合計	$a+c$	$d$	$N$

このとき、確かに感度と陰性的中度は、 $$\begin{array}{c}P(+|T)=\frac{a}{a}=1\\ P\left(F\right|-)=\frac{d}{d}=1\end{array}$$ となるが、 偽陽性の数（非感染者で陽性となった人数） $c$ が不明なため、偽陽性率が分からない。もし、偽陽性率 $P(+|F)=\frac{c}{c+d}$ が小さければこの検査法は有効であるが、大きければ、有効とは言えない。 $◼$

 

関連記事

• 診断検査の正確性