有意水準・検出力・臨床的有意差の関係

〔I〕右側仮説 $$\begin{array}{c}{H}_1:\delta ={\mu }_1(>{\mu }_0)\end{array}$$ について、 〔1〕帰無仮説での有意水準と棄却域
仮定より、帰無仮説のもとで、 $$\begin{array}{c}\hat{\delta }\sim \mathrm{N}({\mu }_0,{\sigma }_0^2)\end{array}$$ これを標準化した値は、 $$\begin{array}{r}\frac{\hat{\delta }-{\mu }_0}{{\sigma }_0}=Z_0\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ したがって、帰無仮説における検定統計量の棄却域は、 $$\begin{array}{c}{Z}_{\alpha }\le \frac{\hat{\delta }-{\mu }_0}{{\sigma }_0}\\ {\mu }_0+Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0\le \hat{\delta }\end{array}$$ 〔2〕対立仮説での棄却域と検出力
同様に、対立仮説のもとで、 $$\begin{array}{c}\hat{\delta }\sim \mathrm{N}({\mu }_1,{\sigma }_1^2)\end{array}$$ これを標準化した値は、 $$\begin{array}{r}\frac{\hat{\delta }-{\mu }_1}{{\sigma }_1}=Z_1\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ 検出力の定義（対立仮説が正しいときに、帰無仮説を棄却する事象が起こる）より、 $$\begin{array}{rl}1-\beta & =P({\mu }_0+Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0\le \hat{\delta })\\ & =P({\mu }_0-{\mu }_1+Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0\le \hat{\delta }-{\mu }_1)\\ & =P\{\frac{Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-({\mu }_1-{\mu }_0)}{{\sigma }_1}\le \frac{\hat{\delta }-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\}\\ & =P\{\frac{Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-({\mu }_1-{\mu }_0)}{{\sigma }_1}\le Z_1\}\\ & =P(Z_{1-\beta }\le Z_1)\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}{Z}_{1-\beta }=\frac{Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-({\mu }_1-{\mu }_0)}{{\sigma }_1}\\ Z_{1-\beta }\cdot {\sigma }_1=Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-({\mu }_1-{\mu }_0)\\ ({\mu }_1-{\mu }_0)=Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-Z_{1-\beta }\cdot {\sigma }_1\end{array}$$ 〔II〕左側検定仮説 $$\begin{array}{c}{H}_1:\delta ={\mu }_1(<{\mu }_0)\end{array}$$ について、 同様に、帰無仮説における検定統計量の棄却域は、 $$\begin{array}{c}\frac{\hat{\delta }-{\mu }_0}{{\sigma }_0}\le -Z_{\alpha }\\ \hat{\delta }\le {\mu }_0-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0\end{array}$$ 検出力の定義より、下側 $100\beta \mathrm{\%}$ 点について、 $$\begin{array}{rl}1-\beta & =P(\hat{\delta }\le {\mu }_0-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0)\\ & =P(\hat{\delta }-{\mu }_1\le {\mu }_0-{\mu }_1-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0)\\ & =P\{\frac{\hat{\delta }-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\le \frac{-({\mu }_1-{\mu }_0)-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0}{{\sigma }_1}\}\\ & =P\{Z_1\le \frac{-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-({\mu }_1-{\mu }_0)}{{\sigma }_1}\}\\ & =P(Z_1\le Z_{1-\beta })\end{array}$$ 下側 $100(1-\beta )\mathrm{\%}$ 点は、上側 $100\beta \mathrm{\%}$ 点なので、上側点で考えると、 $$\begin{array}{c}{Z}_{\beta }=\frac{-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-({\mu }_1-{\mu }_0)}{{\sigma }_1}\\ Z_{\beta }\cdot {\sigma }_1=-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-({\mu }_1-{\mu }_0)\\ ({\mu }_1-{\mu }_0)=-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-Z_{\beta }\cdot {\sigma }_1\end{array}$$ 標準正規分布の対称性 $Z_{\beta }=-Z_{1-\beta }$ より、 $$\begin{array}{rl}({\mu }_1-{\mu }_0)& =-Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0+Z_{1-\beta }\cdot {\sigma }_1\\ & =-(Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-Z_{1-\beta }\cdot {\sigma }_1)\\ -({\mu }_1-{\mu }_0)& =Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-Z_{1-\beta }\cdot {\sigma }_1\end{array}$$ 〔I〕〔II〕の結果をまとめると、 $$\begin{array}{r}|{\mu }_1-{\mu }_0|=Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-Z_{1-\beta }\cdot {\sigma }_1\end{array}$$ $◼$

特に、帰無仮説と対立仮説における分散 ${\sigma }_i^2$ がサンプルサイズ $N$ の関数として、 $$\begin{array}{r}{\sigma }_0^2=\frac{{\varphi }_0^2}{N}{\sigma }_1^2=\frac{{\varphi }_1^2}{N}\end{array}$$ と表すことができるとき、 $$\begin{array}{rl}\left|\mathrm{\Delta }\right|& =Z_{\alpha }\cdot {\sigma }_0-Z_{1-\beta }\cdot {\sigma }_1\\ & =Z_{\alpha }\cdot \frac{{\varphi }_0}{\sqrt{N}}-Z_{1-\beta }\cdot \frac{{\varphi }_1}{\sqrt{N}}\end{array}$$

〔1〕サンプルサイズ設計の公式 $$\begin{array}{c}\sqrt{N}=\frac{Z_{\alpha }\cdot {\varphi }_0-Z_{1-\beta }\cdot {\varphi }_1}{\left|\mathrm{\Delta }\right|}\\ N={\left(\frac{Z_{\alpha }\cdot {\varphi }_0-Z_{1-\beta }\cdot {\varphi }_1}{\mathrm{\Delta }}\right)}^2\end{array}$$

〔2〕検出力分析の公式 $$\begin{array}{c}{Z}_{1-\beta }\cdot \frac{{\varphi }_1}{\sqrt{N}}=Z_{\alpha }\cdot \frac{{\varphi }_0}{\sqrt{N}}-\left|\mathrm{\Delta }\right|\\ Z_{1-\beta }=\frac{Z_{\alpha }\cdot {\varphi }_0-\left|\mathrm{\Delta }\right|\sqrt{N}}{{\varphi }_1}\end{array}$$ $◼$