本稿では、サンプルサイズ設計における漸近的な有意水準・検出力・臨床的有意差の関係についての証明を行っています。この関係式により、サンプルサイズ設計の公式や検出力分析の公式が導けるため、非常に重要な関係式とされています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- 曝露（発症）状況を表す右下の添え字は、「0」である場合（$n_0,\pi_0$ など）や「2」である場合（$n_2,\pi_2$ など）がありますが、どちらも「非曝露群（コントロール群）」を表しています。
- 漸近的な性質を用いる際は、①中心極限定理が成り立つ、②漸近分散を推定する際に、母数をその一致推定量で置き換えることができるということが成り立つと仮定しています。
【定理】有意水準・検出力・臨床的有意差の関係
【定理】
有意水準・検出力・臨床的有意差の関係
Relationship among Significance Level, Statistical Power and Clinically Significant Difference
関心のある曝露効果の指標とその一致推定量をそれぞれ
\begin{gather}
\delta \quad \hat{\delta}
\end{gather}
とし、
帰無仮説を
\begin{gather}
H_0:\delta=\mu_0
\end{gather}
片側対立仮説を
①右側仮説
\begin{gather}
H_1:\delta=\mu_1 \left( \gt \mu_0\right)
\end{gather}
②左側仮説
\begin{gather}
H_1:\delta=\mu_1 \left( \lt \mu_0\right)
\end{gather}
とする。
帰無仮説と対立仮説の下での一致推定量の分布を \begin{gather} \hat{\delta} \left|H_0\right. \sim \mathrm{N} \left(\mu_0,\sigma_0^2\right)\\ \hat{\delta} \left|H_1\right. \sim \mathrm{N} \left(\mu_1,\sigma_1^2\right) \end{gather} 有意水準と検出力をそれぞれ、 \begin{align} \alpha \quad 1-\beta \end{align} とすると、 \begin{align} \left|\mu_1-\mu_0\right|=Z_\alpha \cdot \sigma_0-Z_{1-\beta} \cdot \sigma_1 \end{align} が成り立つ。
証明
〔I〕右側仮説
\begin{gather}
H_1:\delta=\mu_1 \left( \gt \mu_0\right)
\end{gather}
について、
〔1〕帰無仮説での有意水準と棄却域
仮定より、帰無仮説のもとで、
\begin{gather}
\hat{\delta} \sim \mathrm{N} \left(\mu_0,\sigma_0^2\right)
\end{gather}
これを標準化した値は、
\begin{align}
\frac{\hat{\delta}-\mu_0}{\sigma_0}=Z_0 \sim \mathrm{N} \left(0,1\right)
\end{align}
したがって、帰無仮説における検定統計量の棄却域は、
\begin{gather}
Z_\alpha \le \frac{\hat{\delta}-\mu_0}{\sigma_0}\\
\mu_0+Z_\alpha \cdot \sigma_0 \le \hat{\delta}
\end{gather}
〔2〕対立仮説での棄却域と検出力
同様に、対立仮説のもとで、
\begin{gather}
\hat{\delta} \sim \mathrm{N} \left(\mu_1,\sigma_1^2\right)
\end{gather}
これを標準化した値は、
\begin{align}
\frac{\hat{\delta}-\mu_1}{\sigma_1}=Z_1 \sim \mathrm{N} \left(0,1\right)
\end{align}
検出力の定義（対立仮説が正しいときに、帰無仮説を棄却する事象が起こる）より、
\begin{align}
1-\beta&=P \left(\mu_0+Z_\alpha \cdot \sigma_0 \le \hat{\delta}\right)\\
&=P \left(\mu_0-\mu_1+Z_\alpha \cdot \sigma_0 \le \hat{\delta}-\mu_1\right)\\
&=P \left\{\frac{Z_\alpha \cdot \sigma_0- \left(\mu_1-\mu_0\right)}{\sigma_1} \le \frac{\hat{\delta}-\mu_1}{\sigma_1}\right\}\\
&=P \left\{\frac{Z_\alpha \cdot \sigma_0- \left(\mu_1-\mu_0\right)}{\sigma_1} \le Z_1\right\}\\
&=P \left(Z_{1-\beta} \le Z_1\right)
\end{align}
したがって、
\begin{gather}
Z_{1-\beta}=\frac{Z_\alpha \cdot \sigma_0- \left(\mu_1-\mu_0\right)}{\sigma_1}\\
Z_{1-\beta} \cdot \sigma_1=Z_\alpha \cdot \sigma_0- \left(\mu_1-\mu_0\right)\\
\left(\mu_1-\mu_0\right)=Z_\alpha \cdot \sigma_0-Z_{1-\beta} \cdot \sigma_1
\end{gather}
〔II〕左側検定仮説
\begin{gather}
H_1:\delta=\mu_1 \left( \lt \mu_0\right)
\end{gather}
について、
同様に、帰無仮説における検定統計量の棄却域は、
\begin{gather}
\frac{\hat{\delta}-\mu_0}{\sigma_0} \le -Z_\alpha\\
\hat{\delta} \le \mu_0-Z_\alpha \cdot \sigma_0
\end{gather}
検出力の定義より、下側 $100\beta\%$ 点について、
\begin{align}
1-\beta&=P \left(\hat{\delta} \le \mu_0-Z_\alpha \cdot \sigma_0\right)\\
&=P \left(\hat{\delta}-\mu_1 \le \mu_0-\mu_1-Z_\alpha \cdot \sigma_0\right)\\
&=P \left\{\frac{\hat{\delta}-\mu_1}{\sigma_1} \le \frac{- \left(\mu_1-\mu_0\right)-Z_\alpha \cdot \sigma_0}{\sigma_1}\right\}\\
&=P \left\{Z_1 \le \frac{-Z_\alpha \cdot \sigma_0- \left(\mu_1-\mu_0\right)}{\sigma_1}\right\}\\
&=P \left(Z_1 \le Z_{1-\beta}\right)
\end{align}
下側 $100 \left(1-\beta\right)\%$ 点は、上側 $100\beta\%$ 点なので、上側点で考えると、
\begin{gather}
Z_\beta=\frac{-Z_\alpha \cdot \sigma_0- \left(\mu_1-\mu_0\right)}{\sigma_1}\\
Z_\beta \cdot \sigma_1=-Z_\alpha \cdot \sigma_0- \left(\mu_1-\mu_0\right)\\
\left(\mu_1-\mu_0\right)=-Z_\alpha \cdot \sigma_0-Z_\beta \cdot \sigma_1
\end{gather}
標準正規分布の対称性 $Z_\beta=-Z_{1-\beta}$ より、
\begin{align}
\left(\mu_1-\mu_0\right)&=-Z_\alpha \cdot \sigma_0+Z_{1-\beta} \cdot \sigma_1\\
&=- \left(Z_\alpha \cdot \sigma_0-Z_{1-\beta} \cdot \sigma_1\right)\\
- \left(\mu_1-\mu_0\right)&=Z_\alpha \cdot \sigma_0-Z_{1-\beta} \cdot \sigma_1
\end{align}
〔I〕〔II〕の結果をまとめると、
\begin{align}
\left|\mu_1-\mu_0\right|=Z_\alpha \cdot \sigma_0-Z_{1-\beta} \cdot \sigma_1
\end{align}
$\blacksquare$
【公式】優越性試験における諸公式
【定理】
優越性試験における諸公式
Formulas for Superiority Trials
優越性試験では、帰無仮説と対立仮説をそれぞれ \begin{gather} H_0:\delta=0 \quad H_1:\delta=\Delta\\ \Leftrightarrow\mu_0=0 \quad \mu_1=\Delta \end{gather} として、サンプルサイズを設計する。 臨床的に意味のある差を \begin{gather} \Delta \left( \gt 0\right) \end{gather} とすると、 有意水準・検出力・臨床的有意差の関係として、 \begin{align} \left|\Delta\right|=Z_\alpha \cdot \sigma_0-Z_{1-\beta} \cdot \sigma_1 \end{align} が成り立つ。
特に、帰無仮説と対立仮説における分散 $\sigma_i^2$ がサンプルサイズ $N$ の関数として、 \begin{align} \sigma_0^2=\frac{\phi_0^2}{N} \quad \sigma_1^2=\frac{\phi_1^2}{N} \end{align} と表すことができるとき、 〔1〕サンプルサイズ設計の公式 \begin{align} N= \left(\frac{Z_\alpha \cdot \phi_0-Z_{1-\beta} \cdot \phi_1}{\Delta}\right)^2 \end{align} 〔2〕検出力分析の公式 \begin{align} Z_{1-\beta}=\frac{Z_\alpha \cdot \phi_0- \left|\Delta\right|\sqrt N}{\phi_1} \end{align} が導ける。 なお、両側検定の場合は、$Z_\alpha\rightarrow Z_{0.5\alpha}$ と置き換える。
証明
特に、帰無仮説と対立仮説における分散 $\sigma_i^2$ がサンプルサイズ $N$ の関数として、 \begin{align} \sigma_0^2=\frac{\phi_0^2}{N} \quad \sigma_1^2=\frac{\phi_1^2}{N} \end{align} と表すことができるとき、 \begin{align} \left|\Delta\right|&=Z_\alpha \cdot \sigma_0-Z_{1-\beta} \cdot \sigma_1\\ &=Z_\alpha \cdot \frac{\phi_0}{\sqrt N}-Z_{1-\beta} \cdot \frac{\phi_1}{\sqrt N} \end{align}
〔1〕サンプルサイズ設計の公式 \begin{gather} \sqrt N=\frac{Z_\alpha \cdot \phi_0-Z_{1-\beta} \cdot \phi_1}{ \left|\Delta\right|}\\ N= \left(\frac{Z_\alpha \cdot \phi_0-Z_{1-\beta} \cdot \phi_1}{\Delta}\right)^2 \end{gather}
〔2〕検出力分析の公式 \begin{gather} Z_{1-\beta} \cdot \frac{\phi_1}{\sqrt N}=Z_\alpha \cdot \frac{\phi_0}{\sqrt N}- \left|\Delta\right|\\ Z_{1-\beta}=\frac{Z_\alpha \cdot \phi_0- \left|\Delta\right|\sqrt N}{\phi_1} \end{gather} $\blacksquare$
参考文献
- ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.91-96
- 丹後 俊郎, 小西 貞則 編集. 医学統計学の事典 新装版. 朝倉書店, 2018, p.349
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