生存時間分布のパラメトリックモデル①：指数分布モデル

イベント時間の確率密度関数 $f \left(t\right)=\lambda \left(t\right) \cdot S \left(t\right)$ は、 \begin{align} f \left(t\right)=\lambda e^{-\lambda t} \end{align} 打ち切りが存在しないとき、尤度関数は、 \begin{align} L \left(\lambda\right)=\prod_{i=1}^{N}{\lambda e^{-\lambda t_i}} \end{align} 対数尤度関数 $l \left(\theta,\boldsymbol{x}\right)=\log{L \left(\theta,\boldsymbol{x}\right)}$ は、 \begin{align} l \left(\lambda\right)&=\sum_{i=1}^{N} \left(\log{\lambda}-\lambda t_i\right)\\ &=N\log{\lambda}-\lambda\sum_{i=1}^{N}t_i \end{align} パラメータ $\lambda$ に関するスコア関数 $U \left(\lambda\right)=\frac{\partial}{\partial\lambda}l \left(\lambda\right)$ は、 \begin{align} U \left(\lambda\right)=\frac{N}{\lambda}-T \end{align} 尤度方程式 $U \left(\theta\right)=0$ を解くと、パラメータ $\lambda$ の最尤推定量は、 \begin{gather} \frac{N}{\hat{\lambda}}=T\\ \hat{\lambda}=\frac{N}{T} \end{gather} 観測情報量 $i \left(\theta\right)=-\frac{\partial}{\partial\theta}U \left(\theta\right)$ は、 \begin{align} i \left(\lambda\right)&=- \left(-\frac{N}{\lambda^2}\right)\\ &=\frac{N}{\lambda^2}\\ \end{align} 期待情報量 $I \left(\theta\right)=E \left[i \left(\theta\right)\right]$ は、 \begin{align} I \left(\lambda\right)=E \left[\frac{N}{\lambda^2}\right]=\frac{N}{\lambda^2} \end{align} したがって、パラメータ $\lambda$ の最尤推定量の漸近分散 $V \left(\hat{\theta}\right)=\frac{1}{I \left(\hat{\theta}\right)}$ は \begin{align} V \left(\hat{\lambda}\right)=\frac{\lambda^2}{N} \end{align} $\blacksquare$

イベント時間の尤度は、 \begin{align} L \left(\lambda\right)=\prod_{i=1}^{N}{ \left[f \left(t_i\right)\right]^{\delta_i} \left[S \left(t_i\right)\right]^{1-\delta_i}} \end{align} イベント時間の確率密度関数、ハザード関数、生存関数の関係 $f \left(t\right)=\lambda \left(t\right) \cdot S \left(t\right)$ より、 \begin{align} L \left(\lambda\right)&=\prod_{i=1}^{N}{ \left[\lambda \left(t_i\right) \cdot S \left(t_i\right)\right]^{\delta_i} \left[S \left(t_i\right)\right]^{1-\delta_i}}\\ &=\prod_{i=1}^{N}{ \left[\lambda \left(t_i\right)\right]^{\delta_i} \cdot S \left(t_i\right)}\\ &=\prod_{i=1}^{N}{\lambda^{\delta_i} \cdot e^{-\lambda t_i}} \end{align} 対数尤度関数 $l \left(\theta,\boldsymbol{x}\right)=\log{L \left(\theta,\boldsymbol{x}\right)}$ は、 \begin{align} l \left(\lambda\right)&=\sum_{i=1}^{N} \left(\delta_i\log{\lambda}-\lambda t_i\right)\\ &=\log{\lambda}\sum_{i=1}^{N}\delta_i-\lambda\sum_{i=1}^{N}t_i\\ &=D\log{\lambda}-\lambda\sum_{i=1}^{N}t_i \end{align} イベント時間と打ち切りの時間の関係は、 \begin{align} \sum_{i=1}^{N}t_i=\sum_{i=1}^{d_{\bullet }}t_i+\sum_{i=d_{\bullet }+1}^{N}t_i^+ \end{align} よって、 \begin{align} l \left(\lambda\right)=D\log{\lambda}-\lambda \left(\sum_{i=1}^{d_{\bullet }}t_i+\sum_{i=d_{\bullet }+1}^{N}t_i^+\right) \end{align} パラメータ $\lambda$ に関するスコア関数 $U \left(\lambda\right)=\frac{\partial}{\partial\theta}l \left(\lambda\right)$ は、 \begin{align} U \left(\lambda\right)=\frac{D}{\lambda}- \left(\sum_{i=1}^{d_{\bullet }}t_i+\sum_{i=d_{\bullet }+1}^{N}t_i^+\right) \end{align} 尤度方程式 $U \left(\theta\right)=0$ を解くと、パラメータ $\lambda$ の最尤推定量は、 \begin{gather} \frac{D}{\hat{\lambda}}= \left(\sum_{i=1}^{d_{\bullet }}t_i+\sum_{i=d_{\bullet }+1}^{N}t_i^+\right)\\ \hat{\lambda}=\frac{D}{\sum_{i=1}^{d_{\bullet }}t_i+\sum_{i=d_{\bullet }+1}^{N}t_i^+} \end{gather} 観測情報量 $i \left(\theta\right)=-\frac{\partial}{\partial\theta}U \left(\theta\right)$ は、 \begin{align} i \left(\lambda\right)&=- \left(-\frac{D}{\lambda^2}\right)\\ &=\frac{D}{\lambda^2} \end{align} 期待情報量 $I \left(\theta\right)=E \left[i \left(\theta\right)\right]$ は、$E \left(D\right)=NE \left(\delta\right)$ より、 \begin{align} I \left(\lambda\right)&=E \left[\frac{D}{\lambda^2}\right]\\ &=\frac{E \left(D\right)}{\lambda^2} &=\frac{NE \left(\delta\right)}{\lambda^2} \end{align} したがって、パラメータ $\lambda$ の最尤推定量の漸近分散 $V \left(\hat{\theta}\right)=\frac{1}{I \left(\hat{\theta}\right)}$ は \begin{align} V \left(\hat{\lambda}\right)=\frac{\lambda^2}{NE \left(\delta\right)} \end{align} 最尤推定量の漸近的性質より、 \begin{align} \hat{\lambda} \sim \mathrm{N} \left[\lambda,\frac{\lambda^2}{E \left(D\right)}\right] \end{align} $\blacksquare$

ここで、 \begin{gather} g \left(\lambda\right)=\log{S \left(t\right)}=-\lambda t\\ g(\hat{\lambda})=\log{\hat{S} \left(t\right)}=-\hat{\lambda}t \end{gather} と変数変換する。 デルタ法を用いて、$g(\hat{\lambda})$ を期待値 $E(\hat{\lambda})=\lambda$ まわりでテイラー展開すると、$g(\hat{\lambda})$ の1階微分は、 \begin{align} g^\prime(\hat{\lambda})=-t \end{align} よって、デルタ法における期待値と分散の公式より、 \begin{align} E \left\{g(\hat{\lambda})\right\}&\cong E \left[g \left(\lambda\right)\right]\\ &=-\lambda t\\ \end{align} \begin{align} V \left[g(\hat{\lambda})\right]&\cong \left\{g^\prime \left(\lambda\right)\right\}^2V(\hat{\lambda})\\ &= \left(-t\right)^2 \cdot \frac{\lambda^2}{E \left(D\right)}\\ &=\frac{ \left(\lambda t\right)^2}{E \left(D\right)} \end{align} したがって、スラツキーの定理より、 \begin{align} \log{\hat{S} \left(t\right)}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[-\lambda t,\frac{ \left(\lambda t\right)^2}{E \left(D\right)}\right] \end{align}

［別解］この変数変換の場合は、単純な線形変換なので、線形変換の性質より、 \begin{align} E \left(-\hat{\lambda}t\right)&=-t \cdot E \left(\hat{\lambda}\right)\\ &=-\lambda t \end{align} \begin{align} V \left(-\hat{\lambda}t\right)&= \left(-t\right)^2 \cdot V \left(\hat{\lambda}\right)\\ &=\frac{ \left(\lambda t\right)^2}{E \left(D\right)} \end{align} したがって、 \begin{align} \log{\hat{S} \left(t\right)}\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[-\lambda t,\frac{ \left(\lambda t\right)^2}{E \left(D\right)}\right] \end{align} $\blacksquare$

ここで、 \begin{gather} g \left(\lambda\right)=S \left(t\right)=e^{-\lambda t}\\ g(\hat{\lambda})=\hat{S} \left(t\right)=e^{-\hat{\lambda}t} \end{gather} と変数変換する。 デルタ法を用いて、$g(\hat{\lambda})$ を期待値 $E(\hat{\lambda})=\lambda$ まわりでテイラー展開すると、$g(\hat{\lambda})$ の1階微分は、 \begin{align} g^\prime(\hat{\lambda})=-te^{-\lambda t} \end{align} よって、デルタ法における期待値と分散の公式より、 \begin{align} E \left\{g(\hat{\lambda})\right\}&\cong E \left[g \left(\lambda\right)\right]\\ &=e^{-\lambda t}\\ \end{align} \begin{align} V \left[g(\hat{\lambda})\right]&\cong \left\{g^\prime \left(\lambda\right)\right\}^2V(\hat{\lambda})\\ &= \left(-te^{-\lambda t}\right)^2 \cdot \frac{\lambda^2}{E \left(D\right)}\\ &=\frac{e^{-2\lambda t} \cdot \left(\lambda t\right)^2}{E \left(D\right)} \end{align} したがって、スラツキーの定理より、 \begin{align} \hat{S} \left(t\right)\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left[e^{-\lambda t},\frac{e^{-2\lambda t} \cdot \left(\lambda t\right)^2}{E \left(D\right)}\right] \end{align} $\blacksquare$

生存関数の定義式を変形すると、 \begin{align} S_i \left(t\right)=e^{-\lambda_it}\Leftrightarrow\lambda_i=\frac{\log{S_i \left(t\right)}}{t} \end{align} これをハザードの比例定数の式 $\theta=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ に代入すると、 \begin{gather} \theta \cdot \frac{\log{S_2 \left(t\right)}}{t}=\frac{\log{S_1 \left(t\right)}}{t}\\ \theta \cdot \log{S_2 \left(t\right)}=\log{S_1 \left(t\right)} \end{gather} 両辺の指数を取ると、 \begin{align} S_1 \left(t\right)= \left[S_2 \left(t\right)\right]^\theta \end{align} $\blacksquare$

$t_{1\alpha},t_{2\alpha}$ をハザードの比例定数の式 $\theta=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ に代入すると、 \begin{gather} \theta \cdot \frac{\log{S_2 \left(t_{2\alpha}\right)}}{t_{2\alpha}}=\frac{\log{S_1 \left(t_{1\alpha}\right)}}{t_{1\alpha}}\\ \theta \cdot \frac{\log{\alpha}}{t_{2\alpha}}=\frac{\log{\alpha}}{t_{1\alpha}}\\ \frac{t_{1\alpha}}{t_{2\alpha}}=\frac{1}{\theta} \end{gather} $\blacksquare$