生存時間分布のパラメトリックモデル①：指数分布モデル

イベント時間の確率密度関数 $f\left(t\right)=\lambda \left(t\right)\cdot S\left(t\right)$ は、 $$\begin{array}{r}f\left(t\right)=\lambda e^{-\lambda t}\end{array}$$ 打ち切りが存在しないとき、尤度関数は、 $$\begin{array}{r}L\left(\lambda \right)=\prod _{i=1}^N\lambda e^{-\lambda t_i}\end{array}$$ 対数尤度関数 $l(\theta ,\mathit{x})=\log L(\theta ,\mathit{x})$ は、 $$\begin{array}{rl}l\left(\lambda \right)& =\sum _{i=1}^N(\log \lambda -\lambda t_i)\\ & =N\log \lambda -\lambda \sum _{i=1}^N{t}_i\end{array}$$ パラメータ $\lambda$ に関するスコア関数 $U\left(\lambda \right)=\frac{\partial }{\partial \lambda }l\left(\lambda \right)$ は、 $$\begin{array}{r}U\left(\lambda \right)=\frac{N}{\lambda }-T\end{array}$$ 尤度方程式 $U\left(\theta \right)=0$ を解くと、パラメータ $\lambda$ の最尤推定量は、 $$\begin{array}{c}\frac{N}{\hat{\lambda }}=T\\ \hat{\lambda }=\frac{N}{T}\end{array}$$ 観測情報量 $i\left(\theta \right)=-\frac{\partial }{\partial \theta }U\left(\theta \right)$ は、 $$\begin{array}{rl}i\left(\lambda \right)& =-(-\frac{N}{{\lambda }^2})\\ & =\frac{N}{{\lambda }^2}\end{array}$$ 期待情報量 $I\left(\theta \right)=E\left[i\left(\theta \right)\right]$ は、 $$\begin{array}{r}I\left(\lambda \right)=E\left[\frac{N}{{\lambda }^2}\right]=\frac{N}{{\lambda }^2}\end{array}$$ したがって、パラメータ $\lambda$ の最尤推定量の漸近分散 $V\left(\hat{\theta }\right)=\frac{1}{I\left(\hat{\theta }\right)}$ は $$\begin{array}{r}V\left(\hat{\lambda }\right)=\frac{{\lambda }^2}{N}\end{array}$$ $◼$

イベント時間の尤度は、 $$\begin{array}{r}L\left(\lambda \right)=\prod _{i=1}^N{\left[f\left(t_i\right)\right]}^{{\delta }_i}{\left[S\left(t_i\right)\right]}^{1-{\delta }_i}\end{array}$$ イベント時間の確率密度関数、ハザード関数、生存関数の関係 $f\left(t\right)=\lambda \left(t\right)\cdot S\left(t\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}L\left(\lambda \right)& =\prod _{i=1}^N{[\lambda \left(t_i\right)\cdot S\left(t_i\right)]}^{{\delta }_i}{\left[S\left(t_i\right)\right]}^{1-{\delta }_i}\\ & =\prod _{i=1}^N{\left[\lambda \left(t_i\right)\right]}^{{\delta }_i}\cdot S\left(t_i\right)\\ & =\prod _{i=1}^N{\lambda }^{{\delta }_i}\cdot e^{-\lambda t_i}\end{array}$$ 対数尤度関数 $l(\theta ,\mathit{x})=\log L(\theta ,\mathit{x})$ は、 $$\begin{array}{rl}l\left(\lambda \right)& =\sum _{i=1}^N({\delta }_i\log \lambda -\lambda t_i)\\ & =\log \lambda \sum _{i=1}^N{\delta }_i-\lambda \sum _{i=1}^N{t}_i\\ & =D\log \lambda -\lambda \sum _{i=1}^N{t}_i\end{array}$$ イベント時間と打ち切りの時間の関係は、 $$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^N{t}_i=\sum _{i=1}^{d_{\bullet }}{t}_i+\sum _{i=d_{\bullet }+1}^N{t}_i^{+}\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{r}l\left(\lambda \right)=D\log \lambda -\lambda (\sum _{i=1}^{d_{\bullet }}{t}_i+\sum _{i=d_{\bullet }+1}^N{t}_i^{+})\end{array}$$ パラメータ $\lambda$ に関するスコア関数 $U\left(\lambda \right)=\frac{\partial }{\partial \theta }l\left(\lambda \right)$ は、 $$\begin{array}{r}U\left(\lambda \right)=\frac{D}{\lambda }-(\sum _{i=1}^{d_{\bullet }}{t}_i+\sum _{i=d_{\bullet }+1}^N{t}_i^{+})\end{array}$$ 尤度方程式 $U\left(\theta \right)=0$ を解くと、パラメータ $\lambda$ の最尤推定量は、 $$\begin{array}{c}\frac{D}{\hat{\lambda }}=(\sum _{i=1}^{d_{\bullet }}{t}_i+\sum _{i=d_{\bullet }+1}^N{t}_i^{+})\\ \hat{\lambda }=\frac{D}{\sum _{i=1}^{d_{\bullet }}{t}_i+\sum _{i=d_{\bullet }+1}^N{t}_i^{+}}\end{array}$$ 観測情報量 $i\left(\theta \right)=-\frac{\partial }{\partial \theta }U\left(\theta \right)$ は、 $$\begin{array}{rl}i\left(\lambda \right)& =-(-\frac{D}{{\lambda }^2})\\ & =\frac{D}{{\lambda }^2}\end{array}$$ 期待情報量 $I\left(\theta \right)=E\left[i\left(\theta \right)\right]$ は、$E\left(D\right)=NE\left(\delta \right)$ より、 $$\begin{array}{rl}I\left(\lambda \right)& =E\left[\frac{D}{{\lambda }^2}\right]\\ & =\frac{E\left(D\right)}{{\lambda }^2}& =\frac{NE\left(\delta \right)}{{\lambda }^2}\end{array}$$ したがって、パラメータ $\lambda$ の最尤推定量の漸近分散 $V\left(\hat{\theta }\right)=\frac{1}{I\left(\hat{\theta }\right)}$ は $$\begin{array}{r}V\left(\hat{\lambda }\right)=\frac{{\lambda }^2}{NE\left(\delta \right)}\end{array}$$ 最尤推定量の漸近的性質より、 $$\begin{array}{r}\hat{\lambda }\sim \mathrm{N}[\lambda ,\frac{{\lambda }^2}{E\left(D\right)}]\end{array}$$ $◼$

ここで、 $$\begin{array}{c}g\left(\lambda \right)=\log S\left(t\right)=-\lambda t\\ g(\hat{\lambda })=\log \hat{S}\left(t\right)=-\hat{\lambda }t\end{array}$$ と変数変換する。 デルタ法を用いて、$g(\hat{\lambda })$ を期待値 $E(\hat{\lambda })=\lambda$ まわりでテイラー展開すると、$g(\hat{\lambda })$ の1階微分は、 $$\begin{array}{r}{g}^{\prime }(\hat{\lambda })=-t\end{array}$$ よって、デルタ法における期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{rl}E\{g(\hat{\lambda })\}& \cong E\left[g\left(\lambda \right)\right]\\ & =-\lambda t\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}V[g(\hat{\lambda })]& \cong {\left\{g^{\prime }\left(\lambda \right)\right\}}^{2}V(\hat{\lambda })\\ & ={(-t)}^2\cdot \frac{{\lambda }^2}{E\left(D\right)}\\ & =\frac{{\left(\lambda t\right)}^2}{E\left(D\right)}\end{array}$$ したがって、スラツキーの定理より、 $$\begin{array}{r}\log \hat{S}\left(t\right)\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[-\lambda t,\frac{{\left(\lambda t\right)}^2}{E\left(D\right)}]\end{array}$$

［別解］この変数変換の場合は、単純な線形変換なので、線形変換の性質より、 $$\begin{array}{rl}E(-\hat{\lambda }t)& =-t\cdot E\left(\hat{\lambda }\right)\\ & =-\lambda t\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}V(-\hat{\lambda }t)& ={(-t)}^2\cdot V\left(\hat{\lambda }\right)\\ & =\frac{{\left(\lambda t\right)}^2}{E\left(D\right)}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}\log \hat{S}\left(t\right)\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[-\lambda t,\frac{{\left(\lambda t\right)}^2}{E\left(D\right)}]\end{array}$$ $◼$

ここで、 $$\begin{array}{c}g\left(\lambda \right)=S\left(t\right)=e^{-\lambda t}\\ g(\hat{\lambda })=\hat{S}\left(t\right)=e^{-\hat{\lambda }t}\end{array}$$ と変数変換する。 デルタ法を用いて、$g(\hat{\lambda })$ を期待値 $E(\hat{\lambda })=\lambda$ まわりでテイラー展開すると、$g(\hat{\lambda })$ の1階微分は、 $$\begin{array}{r}{g}^{\prime }(\hat{\lambda })=-t{e}^{-\lambda t}\end{array}$$ よって、デルタ法における期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{rl}E\{g(\hat{\lambda })\}& \cong E\left[g\left(\lambda \right)\right]\\ & =e^{-\lambda t}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}V[g(\hat{\lambda })]& \cong {\left\{g^{\prime }\left(\lambda \right)\right\}}^{2}V(\hat{\lambda })\\ & ={(-t{e}^{-\lambda t})}^2\cdot \frac{{\lambda }^2}{E\left(D\right)}\\ & =\frac{e^{-2\lambda t}\cdot {\left(\lambda t\right)}^2}{E\left(D\right)}\end{array}$$ したがって、スラツキーの定理より、 $$\begin{array}{r}\hat{S}\left(t\right)\stackrel{d}{\to }\mathrm{N}[e^{-\lambda t},\frac{e^{-2\lambda t}\cdot {\left(\lambda t\right)}^2}{E\left(D\right)}]\end{array}$$ $◼$

生存関数の定義式を変形すると、 $$\begin{array}{r}{S}_i\left(t\right)=e^{-{\lambda }_{i}t}\iff {\lambda }_i=\frac{\log S_i\left(t\right)}{t}\end{array}$$ これをハザードの比例定数の式 $\theta =\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}$ に代入すると、 $$\begin{array}{c}\theta \cdot \frac{\log S_2\left(t\right)}{t}=\frac{\log S_1\left(t\right)}{t}\\ \theta \cdot \log S_2\left(t\right)=\log S_1\left(t\right)\end{array}$$ 両辺の指数を取ると、 $$\begin{array}{r}{S}_1\left(t\right)={\left[S_2\left(t\right)\right]}^{\theta }\end{array}$$ $◼$

$t_{1\alpha },t_{2\alpha }$ をハザードの比例定数の式 $\theta =\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}$ に代入すると、 $$\begin{array}{c}\theta \cdot \frac{\log S_2\left(t_{2\alpha }\right)}{t_{2\alpha }}=\frac{\log S_1\left(t_{1\alpha }\right)}{t_{1\alpha }}\\ \theta \cdot \frac{\log \alpha }{t_{2\alpha }}=\frac{\log \alpha }{t_{1\alpha }}\\ \frac{t_{1\alpha }}{t_{2\alpha }}=\frac{1}{\theta }\end{array}$$ $◼$