べき集合の要素数

事象の集合 $\mathit{F}$ の要素となる集合は、 「0個の根源事象から構成される集合」、「1個の根源事象から構成される集合」、
…
「$n-1$ 個の根源事象から構成される集合」、「$n$ 個の根源事象から構成される集合」 である。 一般に、$i=0,1,\cdots ,n$ 個の根源事象によって定義される事象の数は、 $$\begin{array}{c}{}_n{C}_i\end{array}$$ 個であると考えられる。 したがって、事象の集合の要素数は、 $$\begin{array}{c}{}_n{C}_n+{}_n{C}_{n-1}+\cdots {}_n{C}_i\cdots +{}_n{C}_0=\sum _{i=0}^n{}_n{C}_i\end{array}$$ ここで二項定理 ${(a+b)}^n=\sum _{i=0}^n{}_n{C}_i\cdot a^{n-i}{b}^i$ において、$a=b=1$ とすると、 $$\begin{array}{c}\sum _{i=0}^n{}_n{C}_i={(1+1)}^n=2^n\end{array}$$ $◼$

事象の集合 $\mathit{F}$ の要素となる集合のパターン数は、任意の根源事象について、部分集合に取り込むか取り込まないかの2通りがあり、それが全部で $n$ 個あるので、 $$\begin{array}{c}2\times 2\times \cdots \times 2=2^n\end{array}$$ 通りある。 $◼$