横断研究・コホート研究【有病率・発生割合】（マッチングなし・層化なし）

本稿では、横断研究・コホート研究の研究デザインのうち、①有病率（横断研究）や発生割合（コホート研究）を曝露効果の指標とする、②マッチングなし、③層化なしのデザイン・パターンについて、その分割表の形式、統計モデル、曝露効果の指標の定義をまとめています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

分割表の形式

曝露群と非曝露群の観察対象人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}{n}_1{n}_0\\ N=n_1+n_0\end{array}$$ 発症者と非発症者の人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}{m}_1{m}_0\\ N=m_1+m_0\end{array}$$ 曝露群と非曝露群の発症人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}ab\end{array}$$ 曝露群と非曝露群の非発症人数をそれぞれ、 $$\begin{array}{c}cd\end{array}$$ とする。

統計モデル①：積二項モデル

曝露群と非曝露群の発症人数 $a,b$ が互いに独立に、試行回数がそれぞれ $$\begin{array}{r}{n}_1{n}_0\end{array}$$ 母比率（発症確率）がそれぞれ $$\begin{array}{r}{\pi }_1=P\left(D\right|E){\pi }_0=P\left(D\right|\overline{E})\end{array}$$ である 二項分布 $$\begin{array}{r}a\sim \mathrm{B}(n_1,{\pi }_1)b\sim \mathrm{B}(n_0,{\pi }_0)\end{array}$$ に従うとする。

積二項尤度

$$\begin{array}{r}{H}_0:{\pi }_1={\pi }_0(=\pi )\mathrm{vs}.H_1:{\pi }_1\ne {\pi }_0\end{array}$$ として、 $$\begin{array}{c}{L}_1({\pi }_1,{\pi }_0)={}_{n_1}{C}_a{\pi }_1^a{(1-{\pi }_1)}^{n_1-a}\cdot {}_{n_0}{C}_b{\pi }_0^b{(1-{\pi }_0)}^{n_0-b}\\ L_0\left(\pi \right)={}_{n_1}{C}_a\cdot {}_{n_0}{C}_b\cdot {\pi }^{a+b}{(1-\pi )}^{n_1+n_0-a-b}\end{array}$$

統計モデル②：超幾何分布モデル

周辺度数 $$\begin{array}{c}{n}_1{n}_0{m}_1{m}_0\end{array}$$ が固定されているという条件の下で、 曝露群の発症人数 $a$ が超幾何分布 $$\begin{array}{r}a\sim \mathrm{HG}(N,n_1,m_1)\end{array}$$ に従うとする。

超幾何尤度

$$\begin{array}{c}{H}_0:\phi =1\mathrm{vs}.H_1:\phi \ne 1\\ \phi =\mathrm{OR}\end{array}$$ として、 $$\begin{array}{rl}{L}_1\left(\phi \right)& =\frac{{}_{n_1}{C}_a\cdot {}_{n_0}{C}_{m_1-a}\cdot {\phi }^a}{\sum _{i=a_l}^{a_u}{}_{n_1}{C}_i\cdot {}_{n_0}{C}_{m_1-i}\cdot {\phi }^i}\\ L_0\left(\phi \right)& =\frac{{}_{n_1}{C}_a\cdot {}_{N-n_1}{C}_{m_1-a}}{{}_N{C}_{m_1}}\\ & =\frac{n_1!n_0!m_1!m_0!}{N!a!b!c!d!}\end{array}$$

統計モデル③：四項分布モデル

各セルの観測値 $$\begin{array}{r}\mathit{n}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\\ d\end{array}\right)\end{array}$$ が四項分布

$$\begin{array}{c}\mathit{n}\sim \mathrm{MN}(N,\mathit{\pi })\\ \mathit{\pi }=\left(\begin{array}{c}{\pi }_{11}\\ {\pi }_{12}\\ {\pi }_{21}\\ {\pi }_{22}\end{array}\right)\end{array}$$ に従うとする。

四項尤度

$$\begin{array}{r}L\left(\mathit{\pi }\right)=\frac{N!}{e!f!g!h!}{\pi }_{11}^e{\pi }_{12}^f{\pi }_{21}^g{\pi }_{22}^h\end{array}$$

曝露効果の指標

発生割合

$$\begin{array}{c}{\pi }_1{\pi }_0\\ {\hat{\pi }}_1=p_1=\frac{a}{n_1}{\hat{\pi }}_0=p_0=\frac{b}{n_0}\end{array}$$

発生オッズ

$$\begin{array}{c}{\mathrm{OD}}_1=\frac{{\pi }_1}{1-{\pi }_1}{\mathrm{OD}}_0=\frac{{\pi }_0}{1-{\pi }_0}\\ {\widehat{\mathrm{OD}}}_1=\frac{{\hat{\pi }}_1}{1-{\hat{\pi }}_1}=\frac{a}{c}{\widehat{\mathrm{OD}}}_0=\frac{{\hat{\pi }}_0}{1-{\hat{\pi }}_0}=\frac{b}{d}\end{array}$$

発生リスク差

$$\begin{array}{c}\delta =\mathrm{RD}={\pi }_1-{\pi }_0\\ \hat{\delta }=\widehat{\mathrm{RD}}={\hat{\pi }}_1-{\hat{\pi }}_0=\frac{a}{n_1}-\frac{b}{n_0}\end{array}$$

発生リスク比

$$\begin{array}{c}\delta =\mathrm{RR}=\frac{{\pi }_1}{{\pi }_0}\\ \hat{\delta }=\widehat{\mathrm{RR}}=\frac{{\hat{\pi }}_1}{{\hat{\pi }}_0}=\frac{a{n}_0}{b{n}_1}\end{array}$$

発生オッズ比

$$\begin{array}{c}\delta =\mathrm{OR}=\frac{{\mathrm{OD}}_1}{{\mathrm{OD}}_0}=\frac{{\pi }_1}{1-{\pi }_1}\cdot \frac{1-{\pi }_0}{{\pi }_0}\\ \hat{\delta }=\widehat{\mathrm{OR}}=\frac{{\widehat{\mathrm{OD}}}_1}{{\widehat{\mathrm{OD}}}_0}=\frac{{\hat{\pi }}_1}{1-{\hat{\pi }}_1}\cdot \frac{1-{\hat{\pi }}_0}{{\hat{\pi }}_0}=\frac{ad}{bc}\end{array}$$

検定仮説

帰無仮説

$$\begin{array}{c}{H}_0:{\pi }_1={\pi }_0\end{array}$$

対立仮説

①両側仮説 $$\begin{array}{c}{H}_1:{\pi }_1\ne {\pi }_0\end{array}$$ ②右側仮説 $$\begin{array}{r}{H}_1:{\pi }_1>{\pi }_0\end{array}$$ ③左側仮説 $$\begin{array}{r}{H}_1:{\pi }_1<{\pi }_0\end{array}$$

人口寄与危険割合

母集団全体における曝露の割合と非曝露の割合を $$\begin{array}{c}{\alpha }_1{\alpha }_0=1-{\alpha }_1\\ {\hat{\alpha }}_1=\frac{n_1}{N}\end{array}$$ 全体の発症確率を $$\begin{array}{c}{\pi }_{\bullet }={\alpha }_1{\pi }_1+{\alpha }_0{\pi }_0\\ {\hat{\pi }}_{\bullet }=\frac{m_1}{N}\end{array}$$ とすると、

母集団寄与危険割合は、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{PAR}& =\frac{{\pi }_{\bullet }-{\pi }_0}{{\pi }_{\bullet }}\\ & =\frac{{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}{1+{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}\\ & =\frac{{\alpha }_1(\mathrm{RR}-1)}{{\alpha }_1\mathrm{RR}+{\alpha }_0}\\ & =\frac{n_1{\pi }_1-n_1{\pi }_0}{{\pi }_{\bullet }N}\end{array}$$ 一致推定量は、 $$\begin{array}{rl}\widehat{\mathrm{PAR}}& =\frac{{\hat{\alpha }}_1(\widehat{\mathrm{RR}}-1)}{1+{\hat{\alpha }}_1(\widehat{\mathrm{RR}}-1)}\\ & =\frac{a-n_1{\hat{\pi }}_0}{m_1}\end{array}$$

参考文献

• ケネス・ロスマン 著, 矢野 栄二, 橋本 英樹, 大脇 和浩 監訳. ロスマンの疫学. 篠原出版新社, 2013, p.233
• 丹後 俊郎, 松井 茂之 編集. 医学統計学ハンドブック. 朝倉書店, 2018, p.503
• ジョン・ラチン 著, 宮岡 悦良 監訳, 遠藤 輝, 黒沢 健, 下川 朝有, 寒水 孝司 訳. 医薬データのための統計解析. 共立出版, 2020, p.20