統計検定 1級 2024年 統計数理 問2 連続一様分布、最大値の分布、統計的推定

本稿には、2024年に実施された統計検定1級『統計数理』 問2の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

• 統計検定の問題の使用に関する規約により禁止されているため、問題文は掲載することができません。公式サイトで公開されているものなどをご参照ください。
• この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
• 計算ミスや誤字・脱字などがありましたら、コメントなどでご指摘いただければ大変助かります。
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〔1〕累積分布関数と確率密度関数の導出

問題文で定義された確率変数 $R$ の累積分布関数 $$\begin{array}{r}F\left(r\right)=P(R\le r)\end{array}$$ は、すなわち $R$ が $r$ 以下となる確率を表すが、 これは、$0\le r\le \theta$ の条件の下での、半径 $\theta$ の円の面積に対する、半径 $r$ の円の面積が占める割合と考えることができる。

したがって、 $$\begin{array}{rl}F\left(r\right)& =\frac{\pi r^2}{\pi {\theta }^2}\\ & =\frac{r^2}{{\theta }^2}\end{array}$$ 累積分布関数と確率密度関数の関係より、 $$\begin{array}{rl}f\left(r\right)& =\frac{d}{dr}F\left(r\right)\\ & =\frac{2r}{{\theta }^2}\end{array}$$ 以上より、 $$\begin{array}{c}F\left(r\right)=\{\begin{array}{cc}0& r<0\\ \frac{r^2}{{\theta }^2}& 0\le r<\theta \\ 1& \theta \le r\end{array}\\ f\left(r\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{2r}{{\theta }^2}& 0\le r\le \theta \\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$ $◼$

 

〔2〕期待値と分散の計算

〔1〕の結果から、期待値の定義より、 $$\begin{array}{rl}E\left(R\right)& ={\int }_0^{\theta }r\cdot \frac{2r}{{\theta }^2}dr\\ & =\frac{2}{{\theta }^2}{\int }_0^{\theta }{r}^{2}dr\\ & =\frac{2}{{\theta }^2}{\left[\frac{r^3}{3}\right]}_0^{\theta }\\ & =\frac{2}{{\theta }^2}(\frac{{\theta }^3}{3}-0)\\ & =\frac{2}{3}\theta \end{array}$$ 同様に、 $$\begin{array}{rl}E\left(R^2\right)& ={\int }_0^{\theta }{r}^2\cdot \frac{2r}{{\theta }^2}dr\\ & =\frac{2}{{\theta }^2}{\int }_0^{\theta }{r}^{3}dr\\ & =\frac{2}{{\theta }^2}{\left[\frac{r^4}{4}\right]}_0^{\theta }\\ & =\frac{2}{{\theta }^2}(\frac{{\theta }^4}{4}-0)\\ & =\frac{1}{2}{\theta }^2\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(R\right)=E\left(R^2\right)-{\left\{E\left(R\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(R\right)& =\frac{1}{2}{\theta }^2-\frac{4}{9}{\theta }^2\\ & =\frac{1}{18}{\theta }^2\end{array}$$ $◼$

 

〔3〕最大値の分布

最大値が $r$ 以下となるとき、すべての $R_i$ が $r$ 以下となるので、 $$\begin{array}{r}G\left(r\right)=P(R_1\le r,R_2\le r,\cdots ,R_n\le r)\end{array}$$ すべての確率変数は互いに独立であるため、この確率は、〔1〕の結果を用いると、 $$\begin{array}{rl}G\left(r\right)& =P(R_1\le r)\cdot P(R_2\le r)\cdots P(R_n\le r)\\ & =F\left(r\right)\cdot F\left(r\right)\cdots F\left(r\right)\\ & ={\left\{F\left(r\right)\right\}}^n\\ & =\frac{r^{2n}}{{\theta }^{2n}}\end{array}$$ 累積分布関数と確率密度関数の関係より、 $$\begin{array}{rl}g\left(r\right)& =\frac{d}{dr}G\left(r\right)\\ & =\frac{2n}{{\theta }^{2n}}{r}^{2n-1}\end{array}$$ $◼$

 

〔4〕連続一様分布のパラメータの最尤推定

本問において、確率変数 $R_i$ は $$\begin{array}{r}\mathrm{U}\sim (0,\theta )\end{array}$$ 尤度関数 $L\left(\theta \right)$ を求めると、 $$\begin{array}{rl}L\left(\theta \right)& =\prod _{i=1}^n\frac{1}{\theta }\\ & =\frac{1}{{\theta }^n}\end{array}$$ 対数尤度関数 $l\left(\theta \right)=\log L\left(\theta \right)$ を求めると、 $$\begin{array}{r}l\left(\theta \right)=-n\log \theta \end{array}$$ ここで、この対数尤度関数は、$0<\theta$ において単調減少な関数であり、論理的に、 $$\begin{array}{r}{R}_{\left(n\right)}\le \theta \end{array}$$ という制約があるため、 実際には、 $$\begin{array}{r}l\left(\theta \right)=\{\begin{array}{cc}0& \theta <R_{\left(n\right)}\\ -n\log \theta & R_{\left(n\right)}\le \theta \end{array}\end{array}$$ したがって、対数尤度関数は、 $$\begin{array}{r}{\hat{\theta }}_{ML}=R_{\left(n\right)}\end{array}$$ において最大となるから、 最尤推定量の定義より、$\theta$ の最尤推定量は $$\begin{array}{r}{\hat{\theta }}_{ML}=R_{\left(n\right)}\end{array}$$ である。 $◼$

 

〔5〕不偏推定量

標本の最大値 $R_{\left(n\right)}$ の期待値を求めると、〔3〕の結果より、 $$\begin{array}{rl}E\left[R_{\left(n\right)}\right]& ={\int }_0^{\theta }r\cdot \frac{2n}{{\theta }^{2n}}{r}^{2n-1}dr\\ & =\frac{2n}{{\theta }^{2n}}{\int }_0^{\theta }{r}^{2n}dr\\ & =\frac{2n}{{\theta }^{2n}}{\left[\frac{r^{2n+1}}{2n+1}\right]}_0^{\theta }\\ & =\frac{2n}{{\theta }^{2n}}(\frac{{\theta }^{2n+1}}{2n+1}-0)\\ & =\frac{2n}{2n+1}\theta \end{array}$$ 同様に、 $$\begin{array}{rl}E\left[{\left\{R_{\left(n\right)}\right\}}^2\right]& ={\int }_0^{\theta }{r}^2\cdot \frac{2n}{{\theta }^{2n}}{r}^{2n-1}dr\\ & =\frac{2n}{{\theta }^{2n}}{\int }_0^{\theta }{r}^{2n+1}dr\\ & =\frac{2n}{{\theta }^{2n}}{\left[\frac{r^{2n+2}}{2n+2}\right]}_0^{\theta }\\ & =\frac{2n}{{\theta }^{2n}}(\frac{{\theta }^{2n+2}}{2n+2}-0)\\ & =\frac{n}{n+1}{\theta }^2\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left[R_{\left(n\right)}\right]& =\frac{n}{n+1}{\theta }^2-\frac{4n^2}{{(2n+1)}^2}{\theta }^2\\ & =\frac{n{(2n+1)}^2-4n^2(n+1)}{{(n+1)(2n+1)}^2}\cdot {\theta }^2\\ & =\frac{4n^3+4n^2+n-4n^3-4n^2}{{(n+1)(2n+1)}^2}\cdot {\theta }^2\\ & =\frac{n}{{(n+1)(2n+1)}^2}{\theta }^2\end{array}$$ 問題文で与えられた推定量の期待値を取ると、期待値の性質より、 $$\begin{array}{rl}E\left({\hat{\theta }}_U\right)& =E(a{\hat{\theta }}_{ML}+b)\\ & =aE\left[R_{\left(n\right)}\right]+b\\ & =\frac{2n}{2n+1}a\theta +b\end{array}$$ 不偏推定量の定義より、${\hat{\theta }}_U$ が不偏推定量であるとき、 $$\begin{array}{c}\theta =\frac{2n}{2n+1}a\theta +b\\ (1-\frac{2n}{2n+1}a)\theta +b=0\end{array}$$ これが恒等式となるためには、 $$\begin{array}{r}a=\frac{2n+1}{2n}b=0\end{array}$$ このとき、与えられた推定量の分散を取ると、分散の性質より、 $$\begin{array}{rl}V\left({\hat{\theta }}_U\right)& =V(a{\hat{\theta }}_{ML}+b)\\ & =a^{2}V\left[R_{\left(n\right)}\right]\\ & =\frac{{(2n+1)}^2}{4n^2}\cdot \frac{n}{(n+1){(2n+1)}^2}\cdot \theta \\ & =\frac{1}{4n(n+1)}\theta \end{array}$$ $◼$

 

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