統計検定 1級 2024年 統計数理 問4 期待値と累積分布関数の関係、混合分布

本稿には、2024年に実施された統計検定1級『統計数理』 問4の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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• この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕経験分布関数（累積度数分布）

得られたデータに対する度数分布表と経験分関数のグラフを書くと、それぞれ以下のようになる。 $◼$

表1 度数分布表

$x$	度数	累積相対度数
$1$	$1$	$\frac{1}{5}$
$2$	$2$	$\frac{3}{5}$
$3$	$1$	$\frac{4}{5}$
$6$	$1$	$1$

 

〔2〕標本平均と経験分布関数の関係

標本平均の値は、 $$\begin{array}{rl}\overline{X}& =1\times \frac{1}{5}+2\times \frac{2}{5}+3\times \frac{1}{5}+6\times \frac{1}{5}\\ & =1\times \frac{1}{5}+2\times (\frac{3}{5}-\frac{1}{5})+3\times (\frac{4}{5}-\frac{3}{5})+6\times (1-\frac{4}{5})\end{array}$$ この値は、経験分布関数において、以下に示す領域の面積を表している。 $◼$

 

〔3〕期待値と累積分布関数との関係

累積分布関数の定義式より、確率変数が非負の値のみを取る場合、 $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\{1-F\left(x\right)\}dx& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\{1-{\int }_0^{x}f\left(t\right)dt\}dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\{{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(t\right)dt-{\int }_0^{x}f\left(t\right)dt\}dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\left({\int }_x^{\mathrm{\infty }}f\left(t\right)dt\right)dx\end{array}$$ この計算において、$x,t$ の定義域は、 $$\begin{array}{c}0\le x(\le \mathrm{\infty })\\ x\le t(\le \mathrm{\infty })\end{array}$$ したがって、積分領域は、 $$\begin{array}{c}D=\left\{(x,t)\right|0\le x\le t,t:0\le t(\le \mathrm{\infty })\}\end{array}$$ 本問の確率密度関数は、可積分な連続関数、かつ非負な連続関数であることから、積分の順序を入れ替えて、 $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\{1-F\left(x\right)\}dx& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\left({\int }_0^{t}f\left(t\right)dx\right)dt\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(t\right)\left({\int }_0^{t}dx\right)dt\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{[x\cdot f\left(t\right)]}_0^{t}dt\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}t\cdot f\left(t\right)dt\\ & =E\left(X\right)\end{array}$$ $◼$

 

〔4〕指数分布とガンマ分布の混合分布

与式を計算すると、 $$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\lambda e^{-\lambda x}\cdot \frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }d\lambda \\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^{(\alpha +1)-1}\cdot e^{-(\beta +x)\lambda }d\lambda \end{array}$$ ガンマ関数の公式 $$\begin{array}{r}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(a\right)}{b^a}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^{a-1}\cdot e^{-b\lambda }d\lambda \end{array}$$ より、 $a=\alpha +1,b=(\beta +x)$ とし、与えられたガンマ関数の性質 $\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)=\alpha \mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)$ を用いると、 $$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\lambda e^{-\lambda x}\cdot \frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }d\lambda \\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{{(\beta +x)}^{\alpha +1}}\\ & =\frac{\alpha {\beta }^{\alpha }}{{(\beta +x)}^{\alpha +1}}\end{array}$$ $◼$

 

〔5〕混合分布の期待値

〔4〕で求めた混合分布の累積分布関数は、 $$\begin{array}{rl}F\left(x\right)& ={\int }_0^x\frac{\alpha {\beta }^{\alpha }}{{(\beta +t)}^{\alpha +1}}dt\\ & =\alpha {\beta }^{\alpha }{[-\frac{1}{\alpha }\cdot \frac{1}{{(\beta +x)}^{\alpha }}]}_0^x\\ & =\alpha {\beta }^{\alpha }(-\frac{1}{\alpha {(\beta +x)}^{\alpha }}+\frac{1}{\alpha {\beta }^{\alpha }})\\ & =1-{\left(\frac{\beta }{\beta +x}\right)}^{\alpha }\end{array}$$ 〔3〕の結果より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}1-\{1-{\left(\frac{\beta }{\beta +x}\right)}^{\alpha }\}dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\beta }{\beta +x}\right)}^{\alpha }dx\\ & ={\beta }^{\alpha }{[-\frac{1}{\alpha -1}\cdot \frac{1}{{(\beta +x)}^{\alpha -1}}]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\alpha -1}(\frac{1}{{\beta }^{\alpha -1}}-\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{{(\beta +x)}^{\alpha -1}})\end{array}$$ ここで、まず $$\begin{array}{c}\alpha -1\ne 0\\ \alpha \ne 1\end{array}$$ また、$0<\alpha <1$ のとき、 $$\begin{array}{r}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{{(\beta +x)}^{\alpha -1}}\end{array}$$ が発散してしまうため、期待値が存在する範囲は、 $$\begin{array}{r}1<\alpha \end{array}$$ このとき、期待値は、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\alpha -1}\cdot \frac{1}{{\beta }^{\alpha -1}}\\ & =\frac{\beta }{\alpha -1}\end{array}$$ $◼$

 

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