統計検定 1級 2024年 医薬生物学 問1 診断検査の性能評価、マクネマー検定

本稿には、2024年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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• この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕指標の定義とROC曲線

〔1-1〕指標の定義

感度の定義より、 $$\begin{array}{r}a=\frac{12}{20}=0.6\end{array}$$ 特異度の定義より、 $$\begin{array}{r}b=\frac{17}{20}=0.85\end{array}$$ 陽性的中率の定義より、 $$\begin{array}{r}c=\frac{12}{12+3}=0.8\end{array}$$ 陰性的中率の定義より、 $$\begin{array}{r}d=\frac{17}{8+17}=0.68\end{array}$$ $◼$

〔1-2〕ROC曲線

与えられた表1と〔1-1〕の結果より、ROC曲線を描くと以下のようになる。このとき曲線下面積は、 $$\begin{array}{rl}{S}_1& =0.15\times 0.6÷2\\ & =0.045\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{S}_2& =(0.6-0.15)\times 0.6+(0.6-0.15)\times (0.9-0.6)÷2\\ & =0.27+0.0675\\ & =0.3375\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{S}_3& =(1-0.6)\times 0.9+(1-0.6)\times (1-0.9)÷2\\ & =0.36+0.02\\ & =0.38\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}S& =S_1+S_2+S_3\\ & =0.045+0.3375+0.38\\ & =0.7625\end{array}$$ $◼$

 

〔2〕対応のある2値データ

〔2-1〕対応のある2値データの期待値と分散

〔i〕期待値
確率変数 $Z_i$ の取り得る値は、 $$\begin{array}{c}{X}_i=1,Y_i=1\Rightarrow Z_i=1-1=0\\ X_i=1,Y_i=0\Rightarrow Z_i=1-0=1\\ X_i=0,Y_i=1\Rightarrow Z_i=0-1=-1\\ X_i=0,Y_i=0\Rightarrow Z_i=0-0=0\end{array}$$ 期待値の定義より $$\begin{array}{rl}E\left(Z_i\right)& =0\cdot {\pi }_{11}+1\cdot {\pi }_{10}+(-1)\cdot {\pi }_{01}+0\cdot {\pi }_{11}\\ & ={\pi }_{10}-{\pi }_{01}\end{array}$$ $◼$

〔ii〕分散
期待値の定義より $$\begin{array}{rl}E\left(Z_i^2\right)& =0^2\cdot {\pi }_{11}+1^2\cdot {\pi }_{10}+{(-1)}^2\cdot {\pi }_{01}+0^2\cdot {\pi }_{11}\\ & ={\pi }_{10}+{\pi }_{01}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より $$\begin{array}{rl}V\left(Z_i\right)& ={\pi }_{10}+{\pi }_{01}-{({\pi }_{10}-{\pi }_{01})}^2\\ & ={\pi }_{10}-{\pi }_{10}^2+{\pi }_{01}-{\pi }_{01}^2+2{\pi }_{10}{\pi }_{01}\\ & ={\pi }_{10}(1-{\pi }_{10})+{\pi }_{01}(1-{\pi }_{01})+2{\pi }_{10}{\pi }_{01}\end{array}$$ $◼$

〔2-2〕対応のある2値データに対する検定統計量

本問における観測データ $n_{jk}$ は、〔3〕の表2に整理されるような四項分布 $$\begin{array}{c}\mathit{n}=\{n_{11},n_{10},n_{01},n_{00}\}\\ \mathit{\pi }=\{{\pi }_{11},{\pi }_{10},{\pi }_{01},{\pi }_{00}\}\\ \mathit{n}\sim \mathrm{MN}(N,\mathit{\pi })\end{array}$$ に従うと考えられる。

$X_i=1$ となる人数 $n_{1\cdot }$ と $Y_i=1$ となる人数 $n_{\cdot 1}$ はそれぞれ、 $$\begin{array}{c}{n}_{1\cdot }=n_{11}+n_{10}\\ n_{\cdot 1}=n_{11}+n_{01}\end{array}$$ したがって、与えられた定義より、 $$\begin{array}{rl}{\hat{\pi }}_X& =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{X}_i\\ & =\frac{n_{1\cdot }}{N}\\ & =\frac{n_{11}+n_{10}}{N}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\hat{\pi }}_Y& =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{Y}_i\\ & =\frac{n_{\cdot 1}}{N}\\ & =\frac{n_{11}+n_{01}}{N}\end{array}$$ これらより、標本比率の差は $$\begin{array}{rl}{\hat{\pi }}_X-{\hat{\pi }}_Y& =\frac{n_{11}+n_{10}}{N}-\frac{n_{11}+n_{01}}{N}\\ & =\frac{n_{10}-n_{01}}{N}\end{array}$$

また、標本比率の差の分散は、分散の性質より、 $$\begin{array}{rl}V({\hat{\pi }}_X-{\hat{\pi }}_Y)& =V\left(\frac{n_{10}-n_{01}}{N}\right)\\ & =\frac{1}{N^2}V(n_{10}-n_{01})\end{array}$$ 差の分散の一般公式と多項分布の共分散の公式より、 $$\begin{array}{rl}V({\hat{\pi }}_X-{\hat{\pi }}_Y)& =\frac{V\left(n_{10}\right)+V\left(n_{01}\right)-2\mathrm{Cov}(n_{10},n_{01})}{N^2}\\ & =\frac{\{N{\pi }_{10}(1-{\pi }_{10})+N{\pi }_{01}(1-{\pi }_{01})+2N{\pi }_{10}{\pi }_{01}\}}{N^2}\\ & =\frac{{\pi }_{10}-{\pi }_{10}^2+{\pi }_{01}-{\pi }_{01}^2+2{\pi }_{10}{\pi }_{01}}{N}\\ & =\frac{{\pi }_{10}+{\pi }_{01}-{({\pi }_{10}-{\pi }_{01})}^2}{N}\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{r}{\pi }_X={\pi }_{11}+{\pi }_{10}{\pi }_Y={\pi }_{11}+{\pi }_{01}\end{array}$$ 帰無仮説を変形すると、 $$\begin{array}{c}{\pi }_X={\pi }_Y\\ {\pi }_{11}+{\pi }_{10}={\pi }_{11}+{\pi }_{01}\\ {\pi }_{10}={\pi }_{01}\end{array}$$ したがって、帰無仮説の下での標本比率の差の分散は、 $$\begin{array}{r}V({\hat{\pi }}_X-{\hat{\pi }}_Y)=\frac{{\pi }_{10}+{\pi }_{01}}{N}\end{array}$$ 未知パラメータを推定値に置き換えた推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{V}({\hat{\pi }}_X-{\hat{\pi }}_Y)=\frac{{\hat{\pi }}_{10}+{\hat{\pi }}_{01}}{N}\end{array}$$ したがって、問題文で定義された検定統計量は、 $$\begin{array}{rl}W& =\frac{{({\hat{\pi }}_X-{\hat{\pi }}_Y)}^2}{\hat{V}({\hat{\pi }}_X-{\hat{\pi }}_Y)}\\ & ={\left(\frac{n_{10}-n_{01}}{N}\right)}^2\left(\frac{N}{{\hat{\pi }}_{10}+{\hat{\pi }}_{01}}\right)\\ & =\frac{{(n_{10}-n_{01})}^2}{N({\hat{\pi }}_{10}+{\hat{\pi }}_{01})}\\ & =\frac{{(n_{10}-n_{01})}^2}{N{\hat{\pi }}_{10}+N{\hat{\pi }}_{01}}\end{array}$$ $N{\hat{\pi }}_{10}=n_{10},N{\hat{\pi }}_{01}=n_{01}$ より、 $$\begin{array}{r}W=\frac{{(n_{10}-n_{01})}^2}{n_{10}+n_{01}}\end{array}$$ $◼$

 

〔3〕マクネマー検定

〔3-1〕検定統計量の漸近分布

多項分布が漸近的に多変量正規分布に従うことから、〔2-2〕で求めた検定統計量は、標準正規分布に従う確率変数の2乗値となり、${\chi }^2$ 分布の定義より、帰無仮説の下で、自由度1の ${\chi }^2$ 分布に従う。 $◼$

〔3-2〕マクネマー検定の実行

〔2-2〕の結果より、 $$\begin{array}{rl}W& =\frac{{(26-16)}^2}{26+16}\\ & =\frac{100}{42}\\ & \cong 2.38\end{array}$$ 付表3より、 $$\begin{array}{r}W=2.38<3.84={\chi }_{0.05}^2\end{array}$$ となるため、帰無仮説は棄却されない。 $◼$

 

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