統計検定 1級 2024年 医薬生物学 問1 診断検査の性能評価、マクネマー検定

本稿には、2024年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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• この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕指標の定義とROC曲線

〔1-1〕指標の定義

感度の定義より、 \begin{align} a=\frac{12}{20}=0.6 \end{align} 特異度の定義より、 \begin{align} b=\frac{17}{20}=0.85 \end{align} 陽性的中率の定義より、 \begin{align} c=\frac{12}{12+3}=0.8 \end{align} 陰性的中率の定義より、 \begin{align} d=\frac{17}{8+17}=0.68 \end{align} $\blacksquare$

〔1-2〕ROC曲線

与えられた表1と〔1-1〕の結果より、ROC曲線を描くと以下のようになる。このとき曲線下面積は、 \begin{align} S_1&=0.15\times0.6\div2\\ &=0.045 \end{align} \begin{align} S_2&= \left(0.6-0.15\right)\times0.6+ \left(0.6-0.15\right)\times \left(0.9-0.6\right)\div2\\ &=0.27+0.0675\\ &=0.3375 \end{align} \begin{align} S_3&= \left(1-0.6\right)\times0.9+ \left(1-0.6\right)\times \left(1-0.9\right)\div2\\ &=0.36+0.02\\ &=0.38 \end{align} したがって、 \begin{align} S&=S_1+S_2+S_3\\ &=0.045+0.3375+0.38\\ &=0.7625 \end{align} $\blacksquare$

 

〔2〕対応のある2値データ

〔2-1〕対応のある2値データの期待値と分散

〔i〕期待値
確率変数 $Z_i$ の取り得る値は、 \begin{gather} X_i=1,Y_i=1 \quad \Rightarrow \quad Z_i=1-1=0\\ X_i=1,Y_i=0 \quad \Rightarrow \quad Z_i=1-0=1\\ X_i=0,Y_i=1 \quad \Rightarrow \quad Z_i=0-1=-1\\ X_i=0,Y_i=0 \quad \Rightarrow \quad Z_i=0-0=0\\ \end{gather} 期待値の定義より \begin{align} E \left(Z_i\right)&=0 \cdot \pi_{11}+1 \cdot \pi_{10}+ \left(-1\right) \cdot \pi_{01}+0 \cdot \pi_{11}\\ &=\pi_{10}-\pi_{01} \end{align} $\blacksquare$

〔ii〕分散
期待値の定義より \begin{align} E \left(Z_i^2\right)&=0^2 \cdot \pi_{11}+1^2 \cdot \pi_{10}+ \left(-1\right)^2 \cdot \pi_{01}+0^2 \cdot \pi_{11}\\ &=\pi_{10}+\pi_{01} \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より \begin{align} V \left(Z_i\right)&=\pi_{10}+\pi_{01}- \left(\pi_{10}-\pi_{01}\right)^2\\ &=\pi_{10}-\pi_{10}^2+\pi_{01}-\pi_{01}^2+2\pi_{10}\pi_{01}\\ &=\pi_{10} \left(1-\pi_{10}\right)+\pi_{01} \left(1-\pi_{01}\right)+2\pi_{10}\pi_{01}\\ \end{align} $\blacksquare$

〔2-2〕対応のある2値データに対する検定統計量

本問における観測データ $n_{jk}$ は、〔3〕の表2に整理されるような四項分布 \begin{gather} \boldsymbol{n}= \left\{n_{11},n_{10},n_{01},n_{00}\right\}\\ \boldsymbol{\pi}= \left\{\pi_{11},\pi_{10},\pi_{01},\pi_{00}\right\}\\ \boldsymbol{n} \sim \mathrm{MN} \left(N,\boldsymbol{\pi}\right) \end{gather} に従うと考えられる。

$X_i=1$ となる人数 $n_{1 \cdot }$ と $Y_i=1$ となる人数 $n_{ \cdot 1}$ はそれぞれ、 \begin{gather} n_{1 \cdot }=n_{11}+n_{10}\\ n_{ \cdot 1}=n_{11}+n_{01} \end{gather} したがって、与えられた定義より、 \begin{align} {\hat{\pi}}_X&=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}X_i\\ &=\frac{n_{1 \cdot }}{N}\\ &=\frac{n_{11}+n_{10}}{N}\\ \end{align} \begin{align} {\hat{\pi}}_Y&=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}Y_i\\ &=\frac{n_{ \cdot 1}}{N}\\ &=\frac{n_{11}+n_{01}}{N}\\ \end{align} これらより、標本比率の差は \begin{align} {\hat{\pi}}_X-{\hat{\pi}}_Y&=\frac{n_{11}+n_{10}}{N}-\frac{n_{11}+n_{01}}{N}\\ &=\frac{n_{10}-n_{01}}{N} \end{align}

また、標本比率の差の分散は、分散の性質より、 \begin{align} V \left({\hat{\pi}}_X-{\hat{\pi}}_Y\right)&=V \left(\frac{n_{10}-n_{01}}{N}\right)\\ &=\frac{1}{N^2}V \left(n_{10}-n_{01}\right)\\ \end{align} 差の分散の一般公式と多項分布の共分散の公式より、 \begin{align} V \left({\hat{\pi}}_X-{\hat{\pi}}_Y\right)&=\frac{V \left(n_{10}\right)+V \left(n_{01}\right)-2\mathrm{Cov} \left(n_{10},n_{01}\right)}{N^2}\\ &=\frac{ \left\{N\pi_{10} \left(1-\pi_{10}\right)+N\pi_{01} \left(1-\pi_{01}\right)+2N\pi_{10}\pi_{01}\right\}}{N^2}\\ &=\frac{\pi_{10}-\pi_{10}^2+\pi_{01}-\pi_{01}^2+2\pi_{10}\pi_{01}}{N}\\ &=\frac{\pi_{10}+\pi_{01}- \left(\pi_{10}-\pi_{01}\right)^2}{N} \end{align} ここで、 \begin{align} \pi_X=\pi_{11}+\pi_{10} \quad \pi_Y=\pi_{11}+\pi_{01} \end{align} 帰無仮説を変形すると、 \begin{gather} \pi_X=\pi_Y\\ \pi_{11}+\pi_{10}=\pi_{11}+\pi_{01}\\ \pi_{10}=\pi_{01} \end{gather} したがって、帰無仮説の下での標本比率の差の分散は、 \begin{align} V \left({\hat{\pi}}_X-{\hat{\pi}}_Y\right)=\frac{\pi_{10}+\pi_{01}}{N} \end{align} 未知パラメータを推定値に置き換えた推定量は、 \begin{align} \hat{V} \left({\hat{\pi}}_X-{\hat{\pi}}_Y\right)=\frac{{\hat{\pi}}_{10}+{\hat{\pi}}_{01}}{N} \end{align} したがって、問題文で定義された検定統計量は、 \begin{align} W&=\frac{ \left({\hat{\pi}}_X-{\hat{\pi}}_Y\right)^2}{\hat{V} \left({\hat{\pi}}_X-{\hat{\pi}}_Y\right)}\\ &= \left(\frac{n_{10}-n_{01}}{N}\right)^2 \left(\frac{N}{{\hat{\pi}}_{10}+{\hat{\pi}}_{01}}\right)\\ &=\frac{ \left(n_{10}-n_{01}\right)^2}{N \left({\hat{\pi}}_{10}+{\hat{\pi}}_{01}\right)}\\ &=\frac{ \left(n_{10}-n_{01}\right)^2}{N{\hat{\pi}}_{10}+N{\hat{\pi}}_{01}}\\ \end{align} $N{\hat{\pi}}_{10}=n_{10},N{\hat{\pi}}_{01}=n_{01}$ より、 \begin{align} W=\frac{ \left(n_{10}-n_{01}\right)^2}{n_{10}+n_{01}} \end{align} $\blacksquare$

 

〔3〕マクネマー検定

〔3-1〕検定統計量の漸近分布

多項分布が漸近的に多変量正規分布に従うことから、〔2-2〕で求めた検定統計量は、標準正規分布に従う確率変数の2乗値となり、$\chi^2$ 分布の定義より、帰無仮説の下で、自由度1の $\chi^2$ 分布に従う。 $\blacksquare$

〔3-2〕マクネマー検定の実行

〔2-2〕の結果より、 \begin{align} W&=\frac{ \left(26-16\right)^2}{26+16}\\ &=\frac{100}{42}\\ &\cong2.38 \end{align} 付表3より、 \begin{align} W=2.38 \lt 3.84=\chi_{0.05}^2 \end{align} となるため、帰無仮説は棄却されない。 $\blacksquare$

 

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