統計検定 1級 2024年 医薬生物学 問2 治療効果の推定量の比較

本稿には、2024年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問2の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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• この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕治療効果の推定量の分散①

問題文の条件より、 $$\begin{array}{c}E\left(X_{Ti}\right)={\mu }_T^X,E\left(Y_{Ti}\right)={\mu }_T^Y,E\left(X_{Ci}\right)={\mu }_C^X,E\left(Y_{Ci}\right)={\mu }_C^Y\\ V\left(X_{Ti}\right)=V\left(Y_{Ti}\right)=V\left(X_{Ci}\right)=V\left(Y_{Ci}\right)={\sigma }^2\\ \mathrm{Cov}(X_{Ti},Y_{Ti})=\mathrm{Cov}(X_{Ci},Y_{Ci})={\sigma }^2\rho \end{array}$$ 被験者間のデータは互いに独立なので、 $$\begin{array}{c}\mathrm{Cov}(X_{Ti},X_{Ci})=\mathrm{Cov}(X_{Ti},Y_{Ci})=\mathrm{Cov}(Y_{Ti},X_{Ci})=\mathrm{Cov}(Y_{Ti},Y_{Ci})=0\end{array}$$ 標本平均の期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{c}V\left({\overline{X}}_T\right)=V\left({\overline{Y}}_T\right)=V\left({\overline{X}}_C\right)=V\left({\overline{Y}}_C\right)=\frac{{\sigma }^2}{n}\end{array}$$

標本平均どうしの共分散について、共分散の性質より、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}(\overline{X},\overline{Y})& =\mathrm{Cov}(\frac{1}{n}\sum _{i=0}^n{X}_i,\frac{1}{n}\sum _{i=0}^n{Y}_i)\\ & =\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}\cdot \mathrm{Cov}(\sum _{i=0}^n{X}_i,\sum _{i=0}^n{Y}_i)\\ & =\frac{1}{n^2}\mathrm{Cov}(\sum _{i=0}^n{X}_i,\sum _{i=0}^n{Y}_i)\end{array}$$ ここで、共分散には分配法則のようなものが成り立つことから、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}(\overline{X},\overline{Y})& =\frac{1}{n^2}\mathrm{Cov}\{(X_1+X_2+\cdots X_n),(Y_1+Y_2+\cdots Y_n)\}\\ & =\frac{1}{n^2}\{\sum _{i=0}^n\mathrm{Cov}(X_i,Y_i)+\sum _{i=1}^n\sum _{j\ne i}\mathrm{Cov}(X_i,Y_j)\}\\ & =\frac{1}{n^2}\{n\cdot \mathrm{Cov}(X_i,Y_i)+0\}\\ & =\frac{{\sigma }^2\rho }{n}\end{array}$$ これと同様に考え方から、 $$\begin{array}{c}\mathrm{Cov}({\overline{X}}_T,{\overline{Y}}_T)=\mathrm{Cov}({\overline{X}}_C,{\overline{Y}}_C)=\frac{{\sigma }^2\rho }{n}\\ \mathrm{Cov}({\overline{X}}_T,{\overline{X}}_C)=\mathrm{Cov}({\overline{X}}_T,{\overline{Y}}_C)=\mathrm{Cov}({\overline{Y}}_T,{\overline{X}}_C)=\mathrm{Cov}({\overline{Y}}_T,{\overline{Y}}_C)=0\end{array}$$

治療効果の推定量 ${\hat{\delta }}_d$ の分散は、和の分散の一般公式より、 $$\begin{array}{rl}V\left({\hat{\delta }}_d\right)& =V({\overline{Y}}_T-{\overline{Y}}_C)\\ & =V\left({\overline{Y}}_T\right)+V\left({\overline{Y}}_C\right)-2\mathrm{Cov}({\overline{Y}}_T,{\overline{Y}}_C)\\ & =\frac{{\sigma }^2}{n}+\frac{{\sigma }^2}{n}-0\\ & =\frac{2{\sigma }^2}{n}\end{array}$$ $◼$

 

〔2〕治療効果の推定量の分散②

治療効果の推定量 ${\hat{\delta }}_c$ の分散は、和の分散の一般公式より、$0$ になるものの記載を省略すると、 $$\begin{array}{rl}V\left({\hat{\delta }}_c\right)& =V({\overline{Y}}_T-{\overline{X}}_T-{\overline{Y}}_C+{\overline{X}}_C)\\ & =V\left({\overline{Y}}_T\right)+V\left({\overline{X}}_T\right)+V\left({\overline{Y}}_C\right)+V\left({\overline{X}}_C\right)-2\mathrm{Cov}({\overline{Y}}_T,{\overline{X}}_T)-2\mathrm{Cov}({\overline{Y}}_C,{\overline{X}}_C)\\ & =\frac{{\sigma }^2}{n}\times 4-\frac{2{\sigma }^2\rho }{n}\times 2\\ & =\frac{4{\sigma }^2(1-\rho )}{n}\end{array}$$ $◼$

 

〔3〕回帰モデル

〔3-1〕最小二乗法によるパラメータの推定

まず、標本平均の定義式の変形より、 $$\begin{array}{c}\sum _{i=0}^n{X}_{Ti}=n{\overline{X}}_T,\sum _{i=0}^n{Y}_{Ti}=n{\overline{Y}}_T\\ \sum _{i=0}^n{X}_{Ci}=n{\overline{X}}_T,\sum _{i=0}^n{Y}_{Ci}=n{\overline{Y}}_T\end{array}$$

試験治療群における誤差項は、 $$\begin{array}{rl}{\epsilon }_{Ti}& =Y_{Ti}-(\alpha +{\delta }_a+\rho X_{Ti})\\ \sum _i^n{\epsilon }_{Ti}^2& =\sum _i^n{\{Y_{Ti}-(\alpha +{\delta }_a+\rho X_{Ti})\}}^2\end{array}$$ 対照治療群における誤差項は、 $$\begin{array}{rl}{\epsilon }_{Ci}& =Y_{Ci}-(\alpha +\rho X_{Ci})\\ \sum _i^n{\epsilon }_{Ci}^2& =\sum _i^n{\{Y_{Ci}-(\alpha +\rho X_{Ci})\}}^2\end{array}$$ したがって、二乗誤差の総和は、 $$\begin{array}{r}E=\sum _i^n{\{Y_{Ti}-(\alpha +{\delta }_a+\rho X_{Ti})\}}^2+\sum _i^n{\{Y_{Ci}-(\alpha +\rho X_{Ci})\}}^2\end{array}$$ 最小二乗法による推定を行うため、$E$ をパラメータ $\alpha$ で偏微分したものを $0$ として計算すると、 $$\begin{array}{rl}\frac{\partial E}{\partial \alpha }& =\sum _i^{n}2\{Y_{Ti}-(\alpha +{\delta }_a+\rho X_{Ti})\}(-1)+\sum _i^{n}2\{Y_{Ci}-(\alpha +\rho X_{Ci})\}(-1)\\ 0& =-2[\sum _i^n\{Y_{Ti}-(\alpha +{\delta }_a+\rho X_{Ti})\}+\sum _i^n\{Y_{Ci}-(\alpha +\rho X_{Ci})\}]\\ & =\sum _i^n(Y_{Ti}-\rho X_{Ti})-n(\alpha +{\delta }_a)+\sum _i^n(Y_{Ci}-\rho X_{Ci})-n\alpha \\ & =\sum _i^n{Y}_{Ti}-\rho \sum _i^n{X}_{Ti}+\sum _i^n{Y}_{Ci}-\rho \sum _i^n{X}_{Ci}-2n\alpha -n{\delta }_a\\ & =n({\overline{Y}}_T-\rho {\overline{X}}_T+{\overline{Y}}_C-\rho {\overline{X}}_C-2\alpha -{\delta }_a)\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& 2\alpha +{\delta }_a={\overline{Y}}_T-\rho {\overline{X}}_T+{\overline{Y}}_C-\rho {\overline{X}}_C\end{array}$$ パラメータ ${\delta }_a$ についても同様に、 $$\begin{array}{rl}\frac{\partial E}{\partial {\delta }_a}& =\sum _i^{n}2\{Y_{Ti}-(\alpha +{\delta }_a+\rho X_{Ti})\}\\ 0& =2[\sum _i^n(Y_{Ti}-\rho X_{Ti})-n(\alpha +{\delta }_a)]\\ & =2n\{{\overline{Y}}_T-\rho {\overline{X}}_T-(\alpha +{\delta }_a)\}\\ & ={\overline{Y}}_T-\rho {\overline{X}}_T-(\alpha +{\delta }_a)\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{}\text{(2)}& \alpha +{\delta }_a={\overline{Y}}_T-\rho {\overline{X}}_T\end{array}$$ $2\times \left(2\right)-\left(1\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{\hat{\delta }}_a& =2{\overline{Y}}_T-2\rho {\overline{X}}_T-({\overline{Y}}_T-\rho {\overline{X}}_T+{\overline{Y}}_C-\rho {\overline{X}}_C)\\ & ={\overline{Y}}_T-{\overline{Y}}_C-\rho {\overline{X}}_T+\rho {\overline{X}}_C\end{array}$$ したがって、係数比較すると、 $$\begin{array}{r}{c}_1=1,c_2=-1,c_3=-\rho ,c_4=\rho \end{array}$$ $◼$

 

〔3-2〕治療効果の推定量の分散③

〔3-1〕の結果と和の分散の一般公式より、$0$ になる項の記載を省略すると、 $$\begin{array}{rl}V\left({\hat{\delta }}_a\right)& =V({\overline{Y}}_T-{\overline{Y}}_C-\rho {\overline{X}}_T+\rho {\overline{X}}_C)\\ & =V\left({\overline{Y}}_T\right)+V\left({\overline{Y}}_C\right)+{\rho }^{2}V\left({\overline{X}}_T\right)+{\rho }^{2}V\left({\overline{X}}_C\right)+2\mathrm{Cov}({\overline{Y}}_T,-\rho {\overline{X}}_T)+2\mathrm{Cov}(-{\overline{Y}}_C,\rho {\overline{X}}_C)\\ & =\frac{{\sigma }^2}{n}\times 2+\frac{{\sigma }^2{\rho }^2}{n}\times 2-2\cdot \rho \cdot \frac{{\sigma }^2\rho }{n}\times 2\\ & =\frac{2{\sigma }^2-2{\sigma }^2{\rho }^2}{n}\\ & =\frac{2{\sigma }^2(1-{\rho }^2)}{n}\end{array}$$ $◼$

 

〔4〕治療効果の推定量の期待値

標本平均の期待値の公式より、 $$\begin{array}{r}E\left({\overline{Y}}_T\right)={\mu }_T^{Y}E\left({\overline{X}}_T\right)={\mu }_T^{X}E\left({\overline{Y}}_C\right)={\mu }_C^{Y}E\left({\overline{X}}_C\right)={\mu }_C^X\end{array}$$ それぞれの推定量の期待値を求めると、 $$\begin{array}{rl}E\left({\hat{\delta }}_d\right)& =E({\overline{Y}}_T-{\overline{Y}}_C)\\ & =E\left({\overline{Y}}_T\right)-E\left({\overline{Y}}_C\right)\\ & ={\mu }_T^Y-{\mu }_C^Y\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}E\left({\hat{\delta }}_c\right)& =E({\overline{Y}}_T-{\overline{X}}_T-{\overline{Y}}_C+{\overline{X}}_C)\\ & =E\left({\overline{Y}}_T\right)-E\left({\overline{X}}_T\right)-\{E\left({\overline{Y}}_C\right)-E\left({\overline{X}}_C\right)\}\\ & =({\mu }_T^Y-{\mu }_C^Y)-({\mu }_T^X-{\mu }_C^X)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}E\left({\hat{\delta }}_a\right)& =E({\overline{Y}}_T-{\overline{Y}}_C-\rho {\overline{X}}_T+\rho {\overline{X}}_C)\\ & =E\left({\overline{Y}}_T\right)-E\left({\overline{Y}}_C\right)-\rho E\left({\overline{X}}_T\right)+\rho E\left({\overline{X}}_C\right)\\ & =({\mu }_T^Y-{\mu }_C^Y)-\rho ({\mu }_T^X-{\mu }_C^X)\end{array}$$ したがって、$E\left({\hat{\delta }}_d\right)=E\left({\hat{\delta }}_c\right)=E\left({\hat{\delta }}_a\right)$ となるための条件は、 $$\begin{array}{r}{\mu }_T^X-{\mu }_C^X=0\end{array}$$ $◼$

 

〔5〕推定量の相対効率

これまでの結果から、 $$\begin{array}{rl}\frac{V\left({\hat{\delta }}_c\right)}{V\left({\hat{\delta }}_d\right)}& =\frac{4{\sigma }^2(1-\rho )}{n}\cdot \frac{n}{2{\sigma }^2}\\ & =2(1-\rho )\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{V\left({\hat{\delta }}_a\right)}{V\left({\hat{\delta }}_d\right)}& =\frac{2{\sigma }^2(1-{\rho }^2)}{n}\cdot \frac{n}{2{\sigma }^2}\\ & =1-{\rho }^2\end{array}$$

これをグラフにすると、以下のようになる。 $◼$

 

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