最大値・最小値の分布の導出

（i）最大値の分布
最大値が $x$ 以下となるとき、すべての $X_i$ が $x$ 以下となるので、 $$\begin{array}{r}{F}_{\left(n\right)}\left(x\right)=P(X_1\le x,X_2\le x,\cdots X_n\le x)\end{array}$$ すべての確率変数は互いに独立であるため、この確率は、 $$\begin{array}{rl}{F}_{\left(n\right)}\left(x\right)& =P(X_1\le x)\cdot P(X_2\le x)\cdot \cdots \cdot P(X_n\le x)\\ & =F\left(x\right)\cdot F\left(x\right)\cdot \cdots \cdot F\left(x\right)\\ & ={\left\{F\left(x\right)\right\}}^n\end{array}$$ 累積分布関数と確率密度関数の関係 $f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}{f}_{\left(n\right)}\left(x\right)=nf\left(x\right){\left\{F\left(x\right)\right\}}^{n-1}\end{array}$$ $◼$

（b）最小値の分布
最小値が $x$ 以下となるとき、少なくとも1つの $X_i$ が $x$ 以下となる。これは、「すべての $X_i$ が $x$ 以上となる事象」の余事象であるから、 $$\begin{array}{r}{F}_{\left(1\right)}\left(x\right)=1-P(x\le X_1,x\le X_2,\cdots x\le X_n)\end{array}$$ 確率変数は互いに独立であるため、この確率は、 $$\begin{array}{r}{F}_{\left(1\right)}\left(x\right)=1-P(x\le X_1)\cdot P(x\le X_2)\cdot \cdots \cdot P(x\le X_n)\end{array}$$ 確率の基本性質 $P(x\le X)=1-P(X\le x)$ より、 $$\begin{array}{rl}{F}_{\left(1\right)}\left(x\right)& =1-[\{1-F\left(x\right)\}\cdot \{1-F\left(x\right)\}\cdot \cdots \{1-F\left(x\right)\}]\\ & =1-{\{1-F\left(x\right)\}}^n\end{array}$$ 累積分布関数と確率密度関数の関係 $f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}{f}_{\left(1\right)}\left(x\right)=nf\left(x\right){\{1-F\left(x\right)\}}^{n-1}\end{array}$$ $◼$