本稿では、最大値・最小値の分布を導出しています。最大値の分布については考えやすいですが、最小値の分布については、余事象について考える際に、少し頭を整理して考える必要があるかもしれません。
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【定理】最大値・最小値の分布
【定理】
最大値・最小値の分布
Distribution of the Maximum and the Minimum
累積分布関数 $F \left(x\right)$ をもつ任意の確率分布（離散型・連続型いずれでもよい）からの無作為標本 \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{align} について、 （i）最大値 $X_{ \left(n\right)}$ の累積分布関数は、 \begin{gather} F_{ \left(n\right)} \left(x\right)= \left\{F \left(x\right)\right\}^n \end{gather} また、連続型確率変数で確率密度関数 $f \left(x\right)$ をもつ場合、$X_{ \left(n\right)}$ の確率密度関数は、 \begin{gather} f_{ \left(n\right)} \left(x\right)=nf \left(x\right) \left\{F \left(x\right)\right\}^{n-1} \end{gather} で与えられる。 （ii）最小値 $X_{ \left(1\right)}$ の累積分布関数は、 \begin{gather} F_{ \left(1\right)} \left(x\right)=1- \left\{1-F \left(x\right)\right\}^n \end{gather} また、連続型確率変数で確率密度関数 $f \left(x\right)$ をもつ場合、$X_{ \left(1\right)}$ の確率密度関数は、 \begin{gather} f_{ \left(1\right)} \left(x\right)=nf \left(x\right) \left\{1-F \left(x\right)\right\}^{n-1} \end{gather} で与えられる。
証明
（i）最大値の分布
最大値が $x$ 以下となるとき、すべての $X_i$ が $x$ 以下となるので、
\begin{align}
F_{ \left(n\right)} \left(x\right)=P \left(X_1 \le x,X_2 \le x, \cdots X_n \le x\right)
\end{align}
すべての確率変数は互いに独立であるため、この確率は、
\begin{align}
F_{ \left(n\right)} \left(x\right)&=P \left(X_1 \le x\right) \cdot P \left(X_2 \le x\right) \cdot \cdots \cdot P \left(X_n \le x\right)\\
&=F \left(x\right) \cdot F \left(x\right) \cdot \cdots \cdot F \left(x\right)\\
&= \left\{F \left(x\right)\right\}^n
\end{align}
累積分布関数と確率密度関数の関係 $f \left(x\right)=\frac{d}{dx}F \left(x\right)$ より、
\begin{align}
f_{ \left(n\right)} \left(x\right)=nf \left(x\right) \left\{F \left(x\right)\right\}^{n-1}
\end{align}
$\blacksquare$
（b）最小値の分布
最小値が $x$ 以下となるとき、少なくとも1つの $X_i$ が $x$ 以下となる。これは、「すべての $X_i$ が $x$ 以上となる事象」の余事象であるから、
\begin{align}
F_{ \left(1\right)} \left(x\right)=1-P \left(x \le X_1,x \le X_2, \cdots x \le X_n\right)
\end{align}
確率変数は互いに独立であるため、この確率は、
\begin{align}
F_{ \left(1\right)} \left(x\right)=1-P \left(x \le X_1\right) \cdot P \left(x \le X_2\right) \cdot \cdots \cdot P \left(x \le X_n\right)
\end{align}
確率の基本性質 $P \left(x \le X\right)=1-P \left(X \le x\right)$ より、
\begin{align}
F_{ \left(1\right)} \left(x\right)&=1- \left[ \left\{1-F \left(x\right)\right\} \cdot \left\{1-F \left(x\right)\right\} \cdot \cdots \left\{1-F \left(x\right)\right\}\right]\\
&=1- \left\{1-F \left(x\right)\right\}^n
\end{align}
累積分布関数と確率密度関数の関係 $f \left(x\right)=\frac{d}{dx}F \left(x\right)$ より、
\begin{align}
f_{ \left(1\right)} \left(x\right)=nf \left(x\right) \left\{1-F \left(x\right)\right\}^{n-1}
\end{align}
$\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.171-172
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