期待値の基本性質の証明

（i-a）離散型の場合 $$\begin{array}{rl}E\left(c\right)& =\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}c\cdot f\left(x\right)\\ & =c\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)\end{array}$$ 確率関数の性質 $\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)=1$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(c\right)=c\end{array}$$

（ii-b）連続型の場合 $$\begin{array}{rl}E\left(c\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}c\cdot f\left(x\right)dx\\ & =c{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx\end{array}$$ 確率密度関数の性質 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx=1$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(c\right)=c\end{array}$$ $◼$

（ii-a）離散型の場合 $$\begin{array}{rl}E(aX+b)& =\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(ax+b)\cdot f\left(x\right)\\ & =\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\{ax\cdot f\left(x\right)+bf\left(x\right)\}\\ & =a\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)+b\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)\end{array}$$ 期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ と確率関数の性質 $\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)=1$ より、 $$\begin{array}{r}E(aX+b)=aE\left(X\right)+b\end{array}$$

（ii-b）連続型の場合 $$\begin{array}{rl}E(aX+b)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(ax+b)\cdot f\left(x\right)dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\{ax\cdot f\left(x\right)+b\cdot f\left(x\right)\}dx\\ & =a{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx+b{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx\end{array}$$ 期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ と確率密度関数の性質 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)=1$ より、 $$\begin{array}{r}E(aX+b)=aE\left(X\right)+b\end{array}$$ $◼$

（iii-a）離散型の場合 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)& =\sum _a^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)\\ & \ge \sum _a^{\mathrm{\infty }}a\cdot f\left(x\right)=aP(a\le X)=a\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)& =\sum _{-\mathrm{\infty }}^{b}x\cdot f\left(x\right)\\ & \le \sum _{-\mathrm{\infty }}^{b}b\cdot f\left(x\right)=bP(X\le b)=b\end{array}$$

（iii-b）連続型の場合 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx& ={\int }_a^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx\\ & \ge {\int }_a^{\mathrm{\infty }}a\cdot f\left(x\right)dx=aP(a\le X)=a\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}x\cdot f\left(x\right)dx\\ & \le {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}b\cdot f\left(x\right)dx=bP(X\le b)=b\end{array}$$ $◼$

（iv-a）離散型の場合 $$\begin{array}{rl}E(a_1{X}_1+\cdots +a_n{X}_n+b)& =\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n+b)\cdot f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\\ & =\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_1{x}_1\cdot f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)+\cdots +\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}_n\cdot f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)+\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}b\cdot f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\end{array}$$ 多次元確率変数の期待値の定義式より、 $$\begin{array}{r}E\left(a_i{X}_i\right)=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{x}_i\cdot f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\end{array}$$ 同時確率関数の性質より、 $$\begin{array}{r}\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=1\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}E(a_1{X}_1+\cdots +a_n{X}_n+b)=a_{1}E\left(X_1\right)+\cdots +a_{n}E\left(X_n\right)+b\end{array}$$

（iv-b）連続型の場合 $$\begin{array}{rl}E(a_1{X}_1+\cdots +a_n{X}_n+b)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n+b)\cdot f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)d\mathit{x}\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_1{x}_1\cdot f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)d\mathit{x}+\cdots +{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}_n\cdot f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)d\mathit{x}+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}b\cdot f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)d\mathit{x}\end{array}$$ 多次元確率変数の期待値の定義式より、 $$\begin{array}{r}E\left(a_i{X}_i\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{x}_i\cdot f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)d\mathit{x}\end{array}$$ 同時確率密度関数の性質より、 $$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)d\mathit{x}=1\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}E(a_1{X}_1+\cdots +a_n{X}_n+b)=a_{1}E\left(X_1\right)+\cdots +a_{n}E\left(X_n\right)+b\end{array}$$ $◼$

（v-a）離散型の場合 $$\begin{array}{r}E(X_1{X}_2\cdots X_n)=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x_1{x}_2\cdots x_n)\cdot f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\end{array}$$ 確率変数の独立性の定義 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=f\left(x_1\right)\cdot f\left(x_2\right)\cdots f\left(x_n\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E(X_1{X}_2\cdots X_n)& =\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x_1{x}_2\cdots x_n)\cdot f\left(x_1\right)\cdot f\left(x_2\right)\cdots f\left(x_n\right)\\ & =\left\{\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1\cdot f\left(x_1\right)\right\}\left\{\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_2\cdot f\left(x_2\right)\right\}\cdots \left\{\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_n\cdot f\left(x_n\right)\right\}\end{array}$$ 期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E(X_1{X}_2\cdots X_n)=E\left(X_1\right)E\left(X_2\right)\cdots E\left(X_n\right)\end{array}$$

（v-b）連続型の場合 $$\begin{array}{r}E(X_1{X}_2\cdots X_n)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x_1{x}_2\cdots x_n)\cdot f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)d\mathit{x}\end{array}$$ 確率変数の独立性の定義 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=f\left(x_1\right)\cdot f\left(x_2\right)\cdots f\left(x_n\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E(X_1{X}_2\cdots X_n)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(x_1{x}_2\cdots x_n)\cdot f\left(x_1\right)\cdot f\left(x_2\right)\cdots f\left(x_n\right)d\mathit{x}\\ & =\left\{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_1\cdot f\left(x_1\right)d{x}_1\right\}\left\{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_2\cdot f\left(x_2\right)d{x}_2\right\}\cdots \left\{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_n\cdot f\left(x_n\right)d{x}_n\right\}\end{array}$$ 期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E(X_1{X}_2\cdots X_n)=E\left(X_1\right)E\left(X_2\right)\cdots E\left(X_n\right)\end{array}$$ $◼$

（vi-a）離散型の場合
期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ を、$\Sigma$ 記号を用いずに表すと、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =0\cdot f\left(0\right)+1\cdot f\left(1\right)+2\cdot f\left(2\right)+3\cdot f\left(3\right)+4\cdot f\left(4\right)+5\cdot f\left(5\right)+\cdots \\ & =\{f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(3\right)+\cdots \}+\{f\left(2\right)+f\left(3\right)+f\left(4\right)+\cdots \}+\{f\left(3\right)+f\left(4\right)+f\left(5\right)+\cdots \}\end{array}$$ 累積確率の定義式 $P(x\le X)=\sum _{t=x}^{\mathrm{\infty }}f\left(t\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =P(1\le X)+P(2\le X)+P(3\le X)+\cdots \\ & =\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}P(x\le X)\end{array}$$

（vi-b）連続型の場合
期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& E\left(X\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx\end{array}$$ ここで、$S={\int }_0^{s}x\cdot f\left(x\right)dx$ として、部分積分法を用いると、 $$\begin{array}{rl}S& ={[x\cdot F\left(x\right)]}_0^s-{\int }_0^{s}F\left(x\right)dx\\ & =s\cdot F\left(s\right)-{\int }_0^{s}F\left(x\right)dx\\ \text{(2)}& & =-s\{1-F\left(s\right)\}+{\int }_0^s\{1-F\left(s\right)\}dx\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{r}s\{1-F\left(s\right)\}=s{\int }_s^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx\le {\int }_s^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx\end{array}$$ $s\to \mathrm{\infty }$ のときの極限を取ると、 $$\begin{array}{r}\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_s^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx=0\end{array}$$ 確率の公理より、$0\le s{\int }_s^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx$ なので、はさみうちの原理により、 $$\begin{array}{}\text{(3)}& \underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}s{\int }_s^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx=0\end{array}$$ したがって、式 $(1)\sim \left(3\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\{1-F\left(x\right)\}dx\end{array}$$ $◼$