マクネマー検定

この考え方においては、①抽出したものが不一致な応答であり、②応答の総数 $M=f+g$ が固定されていると仮定する。

抽出したものが不一致な応答であるという条件のもとで、それが「発症あり・発症なし $(D,\overline{D})$」、「発症なし・発症あり $(\overline{D},D)$」である確率は、 $$\begin{array}{r}P(D,\overline{D})=\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}P(\overline{D},D)=\frac{{\pi }_{21}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}\end{array}$$ 不一致な応答の総数 $M=f+g$ が固定されているとの仮定のもとで、「発症あり・発症なし $(D,\overline{D})$」となるペア数 $f$ は、 $$\begin{array}{r}f\sim \mathrm{B}(M,\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}})\end{array}$$ したがって、得られた観測値が観測される確率（尤度）は、 $$\begin{array}{rl}P\left(f\right|M)& ={}_M{C}_f{\left(\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}\right)}^f{\left(\frac{{\pi }_{21}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}\right)}^g\\ & =\frac{M!}{f!(M-f)!}{\left(\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}\right)}^f{\left(\frac{{\pi }_{21}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}\right)}^g\\ & =\frac{M!}{f!g!}{\left(\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}\right)}^f{\left(\frac{{\pi }_{21}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}\right)}^g\end{array}$$

二項分布の期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{r}E\left(f\right)=\frac{M{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}V\left(f\right)=\frac{M{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}\end{array}$$ 二項分布の正規近似より、漸近的に、 $$\begin{array}{r}f\sim \mathrm{N}[\frac{M{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}},\frac{M{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}]\end{array}$$ 線形変換の性質より、「発症あり・発症なし」の標本確率は漸近的に、 $$\begin{array}{r}\frac{f}{M}=p_f\sim \mathrm{N}[\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}},\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{M{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}]\end{array}$$

対称性の帰無仮説 $H_0:{\pi }_{12}={\pi }_{21}=\pi$ のもとでは、 $$\begin{array}{c}\frac{{\pi }_{12}}{{\pi }_{12}+{\pi }_{21}}=\frac{\pi }{\pi +\pi }=\frac{1}{2}\\ \frac{{\pi }_{12}{\pi }_{21}}{{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})}^2}=\frac{\pi \cdot \pi }{{(\pi +\pi )}^2}=\frac{1}{4}\end{array}$$ したがって、帰無仮説のもとで、 $$\begin{array}{r}\frac{f}{M}=p_f\sim \mathrm{N}(\frac{1}{2},\frac{1}{4M})\end{array}$$ 帰無仮説のもとで、「発症あり・発症なし」の標本確率を標準化した値は、 $$\begin{array}{c}2\sqrt{M}(\frac{f}{M}-\frac{1}{2})=Z_M\sim (0,1)\end{array}$$ また、 $$\begin{array}{rl}{Z}_M& =2\sqrt{M}\left(\frac{2f-M}{2M}\right)\\ & =\frac{2f-M}{\sqrt{M}}\\ & =\frac{2f-(f+g)}{\sqrt{f+g}}\\ & =\frac{f-g}{\sqrt{f+g}}\end{array}$$ これを2乗した値は、 $$\begin{array}{c}\frac{{(f-g)}^2}{f+g}={\chi }_M^2\sim {\chi }^2\left(1\right)\end{array}$$ $◼$

この考え方では、分割表に四項分布モデルを仮定し、標本確率ベクトル $$\begin{array}{r}\mathit{p}=\left(\begin{array}{c}{p}_{11}\\ p_{12}\\ p_{21}\\ p_{22}\end{array}\right)\end{array}$$ が漸近的に、4変量正規分布 $$\begin{array}{c}\mathit{p}\sim {\mathrm{N}}_4(\mathit{\pi },\mathbf{\Sigma })\\ \mathbf{\Sigma }=\frac{1}{N}\left[\begin{array}{cccc}{\pi }_{11}(1-{\pi }_{11})& -{\pi }_{11}{\pi }_{12}& -{\pi }_{11}{\pi }_{21}& -{\pi }_{11}{\pi }_{22}\\ -{\pi }_{12}{\pi }_{11}& {\pi }_{12}(1-{\pi }_{12})& -{\pi }_{12}{\pi }_{21}& -{\pi }_{12}{\pi }_{22}\\ -{\pi }_{21}{\pi }_{11}& -{\pi }_{21}{\pi }_{12}& {\pi }_{21}(1-{\pi }_{21})& -{\pi }_{21}{\pi }_{22}\\ -{\pi }_{22}{\pi }_{11}& -{\pi }_{22}{\pi }_{12}& -{\pi }_{22}{\pi }_{21}& {\pi }_{22}(1-{\pi }_{22})\end{array}\right]\end{array}$$ に従うとする。 このとき、確率変数の差の分散の公式 $V(X-Y)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)-2\mathrm{Cov}(X,Y)$ より、 $$\begin{array}{rl}V(p_{12}-p_{21})& =V\left(p_{12}\right)+V\left(p_{21}\right)-2\mathrm{Cov}(p_{12},p_{21})\\ & =\frac{{\pi }_{12}(1-{\pi }_{12})}{N}+\frac{{\pi }_{21}(1-{\pi }_{21})}{N}-2(-\frac{{\pi }_{12}{\pi }_{11}}{N})\\ & =\frac{{\pi }_{12}-{\pi }_{12}^2+{\pi }_{21}-{\pi }_{21}^2+2{\pi }_{12}{\pi }_{11}}{N}\\ & =\frac{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})-{({\pi }_{12}-{\pi }_{21})}^2}{N}\end{array}$$

帰無仮説 $H_0:{\pi }_{12}={\pi }_{21}=\pi$ における標本比率の差の分散は、 $$\begin{array}{rl}V(p_{12}-p_{21})& =\frac{(\pi +\pi )-{(\pi -\pi )}^2}{N}\\ & =\frac{2\pi }{N}\end{array}$$

標本比率の差の分散の一致推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{V}(p_{12}-p_{21})=\frac{p_{12}+p_{21}}{N}\end{array}$$ これを標準化した値は、 $$\begin{array}{r}\frac{\sqrt{N}(p_{12}-p_{21})}{\sqrt{p_{12}+p_{21}}}=Z_M\sim (0,1)\end{array}$$ また、 $$\begin{array}{rl}{Z}_M& =\frac{N}{N}\cdot \frac{\sqrt{N}(p_{12}-p_{21})}{\sqrt{p_{12}+p_{21}}}\\ & =\frac{N(p_{12}-p_{21})}{\sqrt{N(p_{12}+p_{21})}}\end{array}$$ $N{p}_{12}=f,N{p}_{21}=g$ より、 $$\begin{array}{r}{Z}_M=\frac{f-g}{\sqrt{f+g}}\end{array}$$ これを2乗した値は、 $$\begin{array}{c}\frac{{(f-g)}^2}{f+g}={\chi }_M^2\sim {\chi }^2\left(1\right)\end{array}$$ $◼$