マクネマー検定

この考え方においては、①抽出したものが不一致な応答であり、②応答の総数 $M=f+g$ が固定されていると仮定する。

抽出したものが不一致な応答であるという条件のもとで、それが「発症あり・発症なし $ \left(D,\bar{D}\right)$」、「発症なし・発症あり $ \left(\bar{D},D\right)$」である確率は、 \begin{align} P \left(D,\bar{D}\right)=\frac{\pi_{12}}{\pi_{12}+\pi_{21}} \quad P \left(\bar{D},D\right)=\frac{\pi_{21}}{\pi_{12}+\pi_{21}} \end{align} 不一致な応答の総数 $M=f+g$ が固定されているとの仮定のもとで、「発症あり・発症なし $ \left(D,\bar{D}\right)$」となるペア数 $f$ は、 \begin{align} f \sim \mathrm{B} \left(M,\frac{\pi_{12}}{\pi_{12}+\pi_{21}}\right) \end{align} したがって、得られた観測値が観測される確率（尤度）は、 \begin{align} P \left(f\middle| M\right)&={}_{M}C_f \left(\frac{\pi_{12}}{\pi_{12}+\pi_{21}}\right)^f \left(\frac{\pi_{21}}{\pi_{12}+\pi_{21}}\right)^g\\ &=\frac{M!}{f! \left(M-f\right)!} \left(\frac{\pi_{12}}{\pi_{12}+\pi_{21}}\right)^f \left(\frac{\pi_{21}}{\pi_{12}+\pi_{21}}\right)^g\\ &=\frac{M!}{f!g!} \left(\frac{\pi_{12}}{\pi_{12}+\pi_{21}}\right)^f \left(\frac{\pi_{21}}{\pi_{12}+\pi_{21}}\right)^g \end{align}

二項分布の期待値と分散の公式より、 \begin{align} E \left(f\right)=\frac{M\pi_{12}}{\pi_{12}+\pi_{21}} \quad V \left(f\right)=\frac{M\pi_{12}\pi_{21}}{ \left(\pi_{12}+\pi_{21}\right)^2} \end{align} 二項分布の正規近似より、漸近的に、 \begin{align} f \sim \mathrm{N} \left[\frac{M\pi_{12}}{\pi_{12}+\pi_{21}},\frac{M\pi_{12}\pi_{21}}{ \left(\pi_{12}+\pi_{21}\right)^2}\right] \end{align} 線形変換の性質より、「発症あり・発症なし」の標本確率は漸近的に、 \begin{align} \frac{f}{M}=p_f \sim \mathrm{N} \left[\frac{\pi_{12}}{\pi_{12}+\pi_{21}},\frac{\pi_{12}\pi_{21}}{M \left(\pi_{12}+\pi_{21}\right)^2}\right] \end{align}

対称性の帰無仮説 $H_0:\pi_{12}=\pi_{21}=\pi$ のもとでは、 \begin{gather} \frac{\pi_{12}}{\pi_{12}+\pi_{21}}=\frac{\pi}{\pi+\pi}=\frac{1}{2}\\ \frac{\pi_{12}\pi_{21}}{ \left(\pi_{12}+\pi_{21}\right)^2}=\frac{\pi \cdot \pi}{ \left(\pi+\pi\right)^2}=\frac{1}{4} \end{gather} したがって、帰無仮説のもとで、 \begin{align} \frac{f}{M}=p_f \sim \mathrm{N} \left(\frac{1}{2},\frac{1}{4M}\right) \end{align} 帰無仮説のもとで、「発症あり・発症なし」の標本確率を標準化した値は、 \begin{gather} 2\sqrt M \left(\frac{f}{M}-\frac{1}{2}\right)=Z_M \sim \left(0,1\right) \end{gather} また、 \begin{align} Z_M&=2\sqrt M \left(\frac{2f-M}{2M}\right)\\ &=\frac{2f-M}{\sqrt M}\\ &=\frac{2f- \left(f+g\right)}{\sqrt{f+g}}\\ &=\frac{f-g}{\sqrt{f+g}} \end{align} これを2乗した値は、 \begin{gather} \frac{ \left(f-g\right)^2}{f+g}=\chi_M^2 \sim \chi^2 \left(1\right) \end{gather} $\blacksquare$

この考え方では、分割表に四項分布モデルを仮定し、標本確率ベクトル \begin{align} \boldsymbol{p}= \left(\begin{matrix}p_{11}\\p_{12}\\p_{21}\\p_{22}\\\end{matrix}\right) \end{align} が漸近的に、4変量正規分布 \begin{gather} \boldsymbol{p} \sim {\mathrm{N}}_4 \left(\boldsymbol{\pi},\boldsymbol{\Sigma}\right)\\ \boldsymbol{\Sigma}=\frac{1}{N} \left[\begin{matrix}\pi_{11} \left(1-\pi_{11}\right)&-\pi_{11}\pi_{12}&-\pi_{11}\pi_{21}&-\pi_{11}\pi_{22}\\-\pi_{12}\pi_{11}&\pi_{12} \left(1-\pi_{12}\right)&-\pi_{12}\pi_{21}&-\pi_{12}\pi_{22}\\-\pi_{21}\pi_{11}&-\pi_{21}\pi_{12}&\pi_{21} \left(1-\pi_{21}\right)&-\pi_{21}\pi_{22}\\-\pi_{22}\pi_{11}&-\pi_{22}\pi_{12}&-\pi_{22}\pi_{21}&\pi_{22} \left(1-\pi_{22}\right)\\\end{matrix}\right] \end{gather} に従うとする。 このとき、確率変数の差の分散の公式 $V \left(X-Y\right)=V \left(X\right)+V \left(Y\right)-2\mathrm{Cov} \left(X,Y\right)$ より、 \begin{align} V \left(p_{12}-p_{21}\right)&=V \left(p_{12}\right)+V \left(p_{21}\right)-2\mathrm{Cov} \left(p_{12},p_{21}\right)\\ &=\frac{\pi_{12} \left(1-\pi_{12}\right)}{N}+\frac{\pi_{21} \left(1-\pi_{21}\right)}{N}-2 \left(-\frac{\pi_{12}\pi_{11}}{N}\right)\\ &=\frac{\pi_{12}-\pi_{12}^2+\pi_{21}-\pi_{21}^2+2\pi_{12}\pi_{11}}{N}\\ &=\frac{ \left(\pi_{12}+\pi_{21}\right)- \left(\pi_{12}-\pi_{21}\right)^2}{N} \end{align}

帰無仮説 $H_0:\pi_{12}=\pi_{21}=\pi$ における標本比率の差の分散は、 \begin{align} V \left(p_{12}-p_{21}\right)&=\frac{ \left(\pi+\pi\right)- \left(\pi-\pi\right)^2}{N}\\ &=\frac{2\pi}{N} \end{align}

標本比率の差の分散の一致推定量は、 \begin{align} \hat{V} \left(p_{12}-p_{21}\right)=\frac{p_{12}+p_{21}}{N} \end{align} これを標準化した値は、 \begin{align} \frac{\sqrt N \left(p_{12}-p_{21}\right)}{\sqrt{p_{12}+p_{21}}}=Z_M \sim \left(0,1\right) \end{align} また、 \begin{align} Z_M&=\frac{N}{N} \cdot \frac{\sqrt N \left(p_{12}-p_{21}\right)}{\sqrt{p_{12}+p_{21}}}\\ &=\frac{N \left(p_{12}-p_{21}\right)}{\sqrt{N \left(p_{12}+p_{21}\right)}} \end{align} $Np_{12}=f,Np_{21}=g$ より、 \begin{align} Z_M=\frac{f-g}{\sqrt{f+g}} \end{align} これを2乗した値は、 \begin{gather} \frac{ \left(f-g\right)^2}{f+g}=\chi_M^2 \sim \chi^2 \left(1\right) \end{gather} $\blacksquare$