相関係数の定義と基本性質の証明

独立なときの期待値の性質より、 $$\begin{array}{r}E\left(XY\right)=E\left(X\right)\cdot E\left(Y\right)\end{array}$$ 共分散の公式 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)$ より、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Cov}(X,Y)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)=0\end{array}$$ 相関係数の定義式 ${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$ より、 $$\begin{array}{r}{\rho }_{XY}=\frac{0}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}=0\end{array}$$ $◼$

共分散の定義式 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E\left[\{X-E\left(X\right)\}\{Y-E\left(Y\right)\}\right]$ より、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}(U,V)& =E\left[\{aX+b-E(aX+b)\}\{cY+d-E(cY+d)\}\right]\\ & =E\left[\{aX+b-aE\left(X\right)-b\}\{cY+d-cE\left(Y\right)-d\}\right]\\ & =E\left[\{aX-aE\left(X\right)\}\{cY-cE\left(Y\right)\}\right]\\ & =E[a\{X-E\left(X\right)\}\cdot c\{Y-cE\left(Y\right)\}]\\ & =acE[\{X-E\left(X\right)\}\cdot \{Y-cE\left(Y\right)\}]\\ & =ac\cdot \mathrm{Cov}(X,Y)\end{array}$$ 分散の性質 $V(aX+b)=a^{2}V\left(X\right)$ より、確率変数 $X,Y,U,V$ の標準偏差をそれぞれ ${\sigma }_X,{\sigma }_Y,{\sigma }_U,{\sigma }_V$ とすると、 $$\begin{array}{c}{\sigma }_U^2=V(aX+b)=a^2{\sigma }_X^2\Rightarrow {\sigma }_U=\left|a\right|{\sigma }_X\\ {\sigma }_V^2=V(cY+d)=c^2{\sigma }_Y^2\Rightarrow {\sigma }_V=\left|c\right|{\sigma }_Y\end{array}$$ 相関係数の定義式 ${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$ より、 $$\begin{array}{rl}{\rho }_{UV}& =\frac{\mathrm{Cov}(U,V)}{{\sigma }_U{\sigma }_V}\\ & =\frac{ac}{\left|a\right|\left|c\right|}\cdot \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}\end{array}$$ 相関係数の定義式 ${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$ より、 $$\begin{array}{r}{\rho }_{XY}=\frac{ac}{\left|a\right|\left|c\right|}{\rho }_{UV}\end{array}$$ $◼$

コーシー・シュワルツの不等式 ${\left\{E\left(UV\right)\right\}}^2\le E\left(U^2\right)E\left(V^2\right)$ において、 $$\begin{array}{c}U=X-E\left(X\right)\\ V=Y-E\left(Y\right)\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{r}{\left[E\left[\{X-E\left(X\right)\}\{Y-E\left(Y\right)\}\right]\right]}^2\le E\left[{\{X-E\left(X\right)\}}^2\right]E\left[{\{X-E\left(X\right)\}}^2\right]\end{array}$$ 共分散と分散の定義式より、 $$\begin{array}{c}{\left[\mathrm{Cov}(X,Y)\right]}^2\le {\sigma }_X^2{\sigma }_Y^2\\ {\left[\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}\right]}^2\le 1\end{array}$$ 相関係数の定義式 ${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}$ より、 $$\begin{array}{c}{\rho }_{XY}^2\le 1\\ -1\le {\rho }_{XY}\le 1\end{array}$$ $◼$