本稿では、標本平均の期待値と分散を導出しています。どのような分布でも成り立つという点が重要で、統計的推論における漸近論を考えるうえでも重要な事実です。
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【定理】標本平均の期待値と分散
【定理】
標本平均の期待値と分散
Expected Value and Variance of Sample Mean
平均と分散がそれぞれ $\mu$ と $\sigma^2$ である任意の母集団分布 $\mathrm{P} \left(\mu,\sigma^2\right)$ からの大きさ $n$ の無作為標本 \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{align} についての 標本平均の期待値と分散はそれぞれ、 \begin{gather} E \left(\bar{X}\right)=\mu\\ V \left(\bar{X}\right)=\frac{\sigma^2}{n} \end{gather} で与えられる。
導出
（i）期待値の性質 $E \left(\sum_{i=1}^{n}{aX_i}\right)=a\sum_{i=1}^{n}E \left(X_i\right)$ より、 \begin{align} E \left(\bar{X}\right)&=E \left[\frac{1}{n} \left(X_1+X_2+ \cdots +X_n\right)\right]\\ &=\frac{1}{n}E \left(X_1+X_2+ \cdots +X_n\right)\\ &=\frac{1}{n} \left\{E \left(X_1\right)+E \left(X_2\right)+ \cdots +E \left(X_n\right)\right\}\\ &=\frac{1}{n} \cdot n\mu\\ &=\mu \end{align} $\blacksquare$
（ii）分散の性質 $V \left(\sum_{i=1}^{n}{aX_i}\right)=a^2\sum_{i=1}^{n}V \left(X_i\right)$ より、 \begin{align} V \left(\bar{X}\right)&=V \left[\frac{1}{n} \left(X_1+X_2+ \cdots +X_n\right)\right]\\ &=\frac{1}{n^2}V \left(X_1+X_2+ \cdots +X_n\right)\\ &=\frac{1}{n^2} \left\{V \left(X_1\right)+V \left(X_2\right)+ \cdots +V \left(X_n\right)\right\}\\ &=\frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2\\ &=\frac{\sigma^2}{n} \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.167-168
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