本稿では、確率変数の和（差）の分散の一般公式を導出しています。それぞれが互いに独立なときは、共分散が0であることから、独立なときの和の分散の公式に帰着します。
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【公式】確率変数の和（差）の分散の一般公式
【公式】
確率変数の和（差）の分散の一般公式
General Variance Formula of Sum or Difference of Random Variables
（I）2次元確率変数 $X,Y$ それぞれの分散と共分散を \begin{align} V \left(X\right) \quad V \left(Y\right) \quad \mathrm{Cov} \left(X,Y\right) \end{align} とするとき、 2変数の和、あるいは差の分散は、 \begin{gather} V \left(X+Y\right)=V \left(X\right)+V \left(Y\right)+2\mathrm{Cov} \left(X,Y\right)\\ V \left(X-Y\right)=V \left(X\right)+V \left(Y\right)-2\mathrm{Cov} \left(X,Y\right) \end{gather} で与えられる。
（II）$n$ 次元確率変数 $X_1,X_2, \cdots ,X_n$ の分散が存在するとき、$n$ 変数の和の分散は、 \begin{gather} V \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}V \left(X_i\right)+2\sum\sum_{i \lt j}{\mathrm{Cov} \left(X_i,X_j\right)}\\ \end{gather} で与えられる。
導出
（I）分散の定義式 $V \left(X\right)=E \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2\right]$ より
（i）和の分散
\begin{align}
V \left(X+Y\right)=E \left[ \left\{ \left(X+Y\right)-E \left(X+Y\right)\right\}^2\right]
\end{align}
期待値の性質 $E \left(X+Y\right)=E \left(X\right)+E \left(Y\right)$ より、
\begin{align}
V \left(X+Y\right)&=E \left[ \left\{X+Y-E \left(X\right)-E \left(Y\right)\right\}^2\right]\\
&=E \left[ \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\}+ \left\{Y-E \left(Y\right)\right\}\right]^2\right]\\
&=E \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2+2 \left\{X-E \left(X\right)\right\} \left\{Y-E \left(Y\right)\right\}+ \left\{Y-E \left(Y\right)\right\}^2\right]\\
\end{align}
期待値の性質 $E \left(X+Y\right)=E \left(X\right)+E \left(Y\right)$ より、
\begin{align}
V \left(X+Y\right)=E \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2\right]+2E \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\} \left\{Y-E \left(Y\right)\right\}\right]+E \left[ \left\{Y-E \left(Y\right)\right\}^2\right]
\end{align}
分散と共分散の定義式より、
\begin{align}
V \left(X+Y\right)=V \left(X\right)+V \left(Y\right)+2\mathrm{Cov} \left(X,Y\right)
\end{align}
（ii）差の分散 \begin{align} V \left(X-Y\right)=E \left[ \left\{ \left(X-Y\right)-E \left(X-Y\right)\right\}^2\right] \end{align} 期待値の性質 $E \left(X-Y\right)=E \left(X\right)-E \left(Y\right)$ より、 \begin{align} V \left(X-Y\right)&=E \left[ \left\{X-Y-E \left(X\right)+E \left(Y\right)\right\}^2\right]\\ &=E \left[ \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\}- \left\{Y-E \left(Y\right)\right\}\right]^2\right]\\ &=E \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2-2 \left\{X-E \left(X\right)\right\} \left\{Y-E \left(Y\right)\right\}+ \left\{Y-E \left(Y\right)\right\}^2\right] \end{align} 期待値の性質 $E \left(X+Y\right)=E \left(X\right)+E \left(Y\right)$ より、 \begin{align} V \left(X+Y\right)=E \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2\right]-2E \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\} \left\{Y-E \left(Y\right)\right\}\right]+E \left[ \left\{Y-E \left(Y\right)\right\}^2\right] \end{align} 分散と共分散の定義式より、 \begin{align} V \left(X-Y\right)=V \left(X\right)+V \left(Y\right)-2\mathrm{Cov} \left(X,Y\right) \end{align} $\blacksquare$
（II）分散の定義式 $V \left(X\right)=E \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2\right]$ より \begin{align} V \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)&=E \left[ \left(\sum_{i=1}^{n} \left\{X_i-E \left(X_i\right)\right\}\right)^2\right]\\ &=E \left[\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n} \left\{X_i-E \left(X_i\right)\right\} \left\{X_j-E \left(X_j\right)\right\}\right]\\ &=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}E \left[ \left\{X_i-E \left(X_i\right)\right\} \left\{X_j-E \left(X_j\right)\right\}\right]\\ &=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}{\mathrm{Cov} \left(X_i,X_j\right)} \end{align} ここで、$\mathrm{Cov} \left(X_i,X_i\right)=V \left(X_i\right),\mathrm{Cov} \left(X_i,X_j\right)=\mathrm{Cov} \left(X_j,X_i\right)$ なので、 \begin{align} V \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)&=\sum_{i=1}^{n}V \left(X_i\right)+\sum_{j \neq i}\sum_{i=1}^{n}{\mathrm{Cov} \left(X_i,X_j\right)}\\ &=\sum_{i=1}^{n}V \left(X_i\right)+2\sum\sum_{i \lt j}{\mathrm{Cov} \left(X_i,X_j\right)} \end{align} $\blacksquare$
コメント
別形式の定義式 \begin{gather} V \left(X\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2 \cdot f \left(x\right)dx \end{gather} より、 \begin{gather} Z=X+Y \end{gather} として \begin{gather} V \left(Z\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \left\{Z-E \left(Z\right)\right\}^2 \cdot f \left(z\right)dz \end{gather} を計算することも可能であるが、 一般に $f \left(z\right)$ を求めるのは手間がかかるので、期待値の性質を用いて証明した方が簡単である。
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.87
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