行列とその演算

本稿では、行列とその演算を紹介しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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多項ベクトル

一般に、$n$ 個の実数の組 \begin{gather} \left(x_1,x_2, \cdots ,x_n\right) \end{gather} のことを、 $n$ 次元空間の点、あるいは $n$ 次元空間のベクトルと呼ぶ。またこれを、単純に $n$ 項ベクトルとも呼ぶ。$x_i$ はこのべクトルの第 $i$ 成分と呼ばれる。

\begin{gather} \boldsymbol{x}= \left(\begin{matrix}x_1&x_2&x_3\\\end{matrix}\right) \end{gather} のように 横に並べて書いたベクトルは横ベクトルまたは行ベクトル row vector と呼ばれ、 \begin{gather} \boldsymbol{x}= \left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\\end{matrix}\right) \end{gather} のように 縦に並べて書いたベクトルは縦ベクトル、または列ベクトル column vector と呼ばれる。

 

行列

\begin{gather} \left(\begin{matrix}2&9&-5\\-10&3&4\\\end{matrix}\right)\tag{1} \end{gather} のように 数を長方形状に配列したものを行列 matrix といい、配列された数をその行列の成分 matrix entry と呼ぶ。

行列においては、成分の横の並びを行 row といい、上から順に第1行、第2行、…という。

また、成分の縦の並びを列 columnといい、左から順に第1列、第2列、…という。

行列の第 $i$ 行、第 $j$ 列をそれぞれ第 $i$ 行ベクトル、第 $j$ 列ベクトルともいう。

行列の第 $i$ 行と第 $j$ 列の交差する位置にある成分を行列の $ \left(i,j\right)$ 成分という。

行列を1つの文字で表すときには、ふつう $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}, \cdots $ のような大文字を使う。たとえば、先ほどの行列（1）を \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}2&9&-5\\-10&3&4\\\end{matrix}\right) \end{gather} のように書く。

$m$ 個の行と $n$ 個の列をもつ行列を $m$ 行 $n$ 列の行列、または、$m\times n$ 行列という。上の行列（1）は $2\times3$ 行列である。

$m\times n$ 行列において、整数の組 $ \left(m,n\right)$、あるいは記号 $m\times n$ をこの行列の型 order と呼ぶ。

2つの行列 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ の型が同じで、対応する成分がそれぞれ等しいとき、これらの行列は等しいといい、 \begin{gather} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \end{gather} のように書く。

 

行列の一般的記法

$m\times n$ 行列を一般的に表すためには、1つの文字、たとえば $a$ に2重の添字をつけて、$ \left(i,j\right)$ 成分を $a_{ij}$ と書き、 \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}& \cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}& \cdots &a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}& \cdots &a_{mn}\\\end{matrix}\right) \end{gather} のように書き表す。 簡単にこれを \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(a_{ij}\right) \quad i=1,2, \cdots ,m \quad j=1,2, \cdots ,n \end{gather} と略記する。

正方行列

型が $n\times n$ である行列、すなわち成分が正方形状に配列されている行列は $n$ 次の正方行列 square matrix、または単に $n$ 次の行列と呼ばれる。$n$ をこの正方行列の次数という。

$1\times n$ 行列は $n$ 項行ベクトルであり、$m\times1$ 行列は $m$ 項列ベクトルと同じである。

$n$ 次正方行列に対し、その $ \left(i,i\right)$ 成分を対角成分 といい、対角成分の和 \begin{gather} \mathrm{tr} \left(\boldsymbol{A}\right)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii} \end{gather} を $\boldsymbol{A}$ のトレース trace という。

 

行列の加法・減法・実数倍

行列 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ の和 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ は $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ の型が等しい場合にのみ定義される。すなわち、$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ が同じ型をもつとき、両者の $ \left(i,j\right)$ 成分 $a_{ij},b_{ij}$ の和 $a_{ij}+b_{ij}$ を $ \left(i,j\right)$ 成分とする行列を $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ と定義する。たとえば、 \begin{gather} \left(\begin{matrix}a_1\\a_2\\a_3\\\end{matrix}\right)+ \left(\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_3\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\\\end{matrix}\right)\\ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)+ \left(\begin{matrix}a^\prime&b^\prime\\c^\prime&d^\prime\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}a+a^\prime&b+b^\prime\\c+c^\prime&d+d^\prime\\\end{matrix}\right) \end{gather}

すべての成分が $0$ である行列、すなわち \begin{gather} \left(\begin{matrix}0&0\\0&0\\\end{matrix}\right) \quad \left(\begin{matrix}0&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}\right) \end{gather} のような行列は零行列 zero matrix と呼ばれる。 型が異なる零行列は行列としては等しくないが、混同のおそれがなければ、ふつう同じ文字 \begin{gather} \boldsymbol{O} \end{gather} で表す。

また、行列 $\boldsymbol{A}$ に対してその各成分の符号を変えた行列を $-\boldsymbol{A}$ で表す。たとえば \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}-2&4\\0&-3\\\end{matrix}\right) \quad -\boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}2&-4\\0&3\\\end{matrix}\right) \end{gather}

 

平面や空間のベクトルのときと同様に、行列の加法についても次の法則が成り立つ。ただし、この法則で行列はすべて同じ型のものを表す。

 

同じ型の行列 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ に対して、$\boldsymbol{A}+ \left(-\boldsymbol{B}\right)$ を \begin{gather} \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B} \end{gather} で表し、$\boldsymbol{A}$ から $\boldsymbol{B}$ を引いた差と呼ぶ。 差 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$ は \begin{gather} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{X}=\boldsymbol{A} \end{gather} を満たす行列 $\boldsymbol{X}$ である。

次に、行列 $\boldsymbol{A}$ と実数 $k$ に対して、$\boldsymbol{A}$ の $ \left(i,j\right)$ 成分 $a_{ij}$ の $k$ 倍 $ka_{ij}$ を $ \left(i,j\right)$ 成分とする行列を、$\boldsymbol{A}$ の $k$ 倍 \begin{gather} k\boldsymbol{A} \end{gather} と定義する。 さらにまた次の法則が成り立つ。

   

行列の乗法

一般に、$\boldsymbol{A}= \left(a_{ij}\right)$ を $m\times n$ 行列、$\boldsymbol{B}= \left(b_{jk}\right)$ を $n\times r$ 行列 \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}a_{11}& \cdots &a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}& \cdots &a_{mn}\\\end{matrix}\right) \quad \boldsymbol{B}= \left(\begin{matrix}b_{11}& \cdots &a_{1r}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}& \cdots &a_{nr}\\\end{matrix}\right) \end{gather} とする。 このとき、$\boldsymbol{A}$ の第 $i$ 行ベクトルと $\boldsymbol{B}$ の第 $k$ 列ベクトルとの積 \begin{gather} \left(\begin{matrix}a_{i1}&a_{i2}& \cdots &a_{in}\\\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}b_{1k}\\b_{2k}\\\vdots\\b_{nk}\\\end{matrix}\right)=a_{i1}b_{1k}+a_{i2}b_{2k}+ \cdots +a_{in}b_{nk} \end{gather} を $ \left(i,k\right)$ 成分とする $m\times r$ 行列を $\boldsymbol{A}$ と $\boldsymbol{B}$ の積 $\boldsymbol{AB}$ と定義する。

すなわち、$m\times n$ 行列 $\boldsymbol{A}= \left(a_{ij}\right)$ と $n\times r$ 行列 $\boldsymbol{B}= \left(b_{jk}\right)$ との積 $AB$ は、 \begin{gather} c_{ik}=\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}b_{jk}} \end{gather} を $ \left(i,k\right)$ 成分とする $m\times r$ 行列 \begin{gather} \boldsymbol{C}= \left(c_{ik}\right) \end{gather} である。 行列の積 $\boldsymbol{AB}$ は、$\boldsymbol{A}$ の列の個数と $\boldsymbol{B}$ の行の個数とが等しい場合にのみ定義される。

一般に、$\boldsymbol{A}$ が $m\times n$ 行列、$\boldsymbol{X}$ が $n\times1$ 行列（すなわち $n$ 項列ベクトル）ならば、積 $\boldsymbol{AX}$ を作ることができる。その積は $m\times1$ 行列（すなわち $m$ 項列ベクトル）であり、具体的には、 \begin{gather} \left(\begin{matrix}a_{11}& \cdots &a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}& \cdots &a_{mn}\\\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_m\\\end{matrix}\right)\\ y_i=\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}x_j} \end{gather}

$\boldsymbol{A}$ が正方行列ならば、積 $\boldsymbol{AA}$ も同じ次数の正方行列となる。これを \begin{gather} \boldsymbol{A}^2 \end{gather} と書く。 同様にして、 \begin{gather} \boldsymbol{A}^2\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^3 \quad \boldsymbol{A}^3\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^4 \cdots \end{gather} が定義される。 これらはすべて $A$ と同じ次数の正方行列となる。

ある自然数 $k$ に対して、 \begin{gather} \boldsymbol{A}^k=\boldsymbol{O} \end{gather} となる正方行列 $\boldsymbol{A}$ をべき零行列 \begin{gather} \boldsymbol{A}^k=\boldsymbol{A} \end{gather} となる正方行列 $\boldsymbol{A}$ をべき等行列という。

 

行列の乗法の性質①

行列の乗法においては次のような性質が成り立つ。

 

行列の乗法の性質②

行列 \begin{gather} \boldsymbol{E}= \left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right) \end{gather} を2次の単位行列 identity matrix という。

任意の2次正方行列 $\boldsymbol{A}$ と単位行列 $\boldsymbol{E}$ に対して \begin{gather} \boldsymbol{AE}=\boldsymbol{EA}=\boldsymbol{A} \end{gather} が成り立つ。 すなわち、単位行列 $\boldsymbol{E}$ は行列の乗法において数の $1$ に相当する役割を果たす。

いっぽう、 \begin{gather} \boldsymbol{AO}=\boldsymbol{OA}=\boldsymbol{O} \end{gather} が成り立つ。 すなわち、零行列は数の乗法における $0$ に相当する。

行列の乗法は、①交換法則が成り立たない、②零因子が存在するという2点において、数の乗法と著しく異なる。一般には \begin{gather} \boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA} \end{gather} は成り立たない。 $\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}$ が成り立つとき、行列 $\boldsymbol{A}$ と $\boldsymbol{B}$ は可換であるという。たとえば、単位行列 $\boldsymbol{E}$ は任意の行列 $\boldsymbol{A}$ と可換である。$k$ を任意の定数とするとき、行列 \begin{gather} k\boldsymbol{E}= \left(\begin{matrix}k&0\\0&k\\\end{matrix}\right) \end{gather} も任意の行列と可換である。

また、行列の乗法においては、$\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O},\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$ であっても、$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{O}$ となることがある。たとえば \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&6\\\end{matrix}\right) \quad \boldsymbol{B}= \left(\begin{matrix}2&4\\1&2\\\end{matrix}\right) \end{gather} とすると、 \begin{align} \boldsymbol{AB}&= \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&6\\\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}2&4\\1&2\\\end{matrix}\right)\\ &= \left(\begin{matrix}1 \cdot 2-2 \cdot 1&1 \cdot 4-2 \cdot 2\\-3 \cdot 2+6 \cdot 1&-3 \cdot 4+6 \cdot 2\\\end{matrix}\right)\\ &= \left(\begin{matrix}0&0\\0&0\\\end{matrix}\right) \end{align} このように、$\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O},\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$ のとき、$\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{O}$ を満たすような零行列でない行列 $A,B$ は零因子 zero divisor と呼ばれる。

行列の乗法においては、零因子が存在するので、 \begin{gather} \boldsymbol{AB}=\boldsymbol{O}\Rightarrow\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O} \quad \mathrm{or} \quad \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O} \end{gather} あるいは、 \begin{gather} \boldsymbol{AB}=\boldsymbol{AC},\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}\Rightarrow\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C} \end{gather} という法則は成り立たない。 一般に、$n$次（ただし$2 \le n$）の行列の乗法では交換法則が成り立たず、零因子が存在する。

$n$ 次の行列 $A= \left(a_{ij}\right)$ において、$a_{ii} \left(i=1,2, \cdots ,n\right)$ を対角成分 diagonal element という。対角成分以外の成分がすべて0であるような正方行列 \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}a_{11}&0& \cdots &0\\0&a_{22}& \cdots &0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0& \cdots &a_{nn}\\\end{matrix}\right) \end{gather} は対角行列 diagonal matrix と呼ばれる。 とくにすべての対角成分が1である $n$ 次の対角行列 \begin{gather} \boldsymbol{E}_n= \left(\begin{matrix}1&0& \cdots &0\\0&1& \cdots &0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0& \cdots &1\\\end{matrix}\right) \end{gather} は $n$ 次の単位行列と呼ばれる。

なお、対角行列は対角成分のみを抜き出してきて、 \begin{gather} \mathrm{diag} \left(a_{11},a_{22}, \cdots ,a_{nn}\right) \end{gather} と書くこともある。

 

行列の転置

転置行列

$\boldsymbol{A}= \left(a_{ij}\right)$ を $m\times n$ 行列とするとき、$b_{ji}=a_{ij}$ とおき、$b_{ji}$ を $ \left(j,i\right)$ 成分とする $n\times m$ 行列 \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(b_{ji}\right) \end{gather} を $A$ の転置行列 transposed matrix という。 転置行列は、 \begin{gather} \boldsymbol{A}^T \quad \boldsymbol{A}^\prime \quad {^t}\boldsymbol{A} \end{gather} などと表される。 簡単にいえば、$\boldsymbol{A}$ の転置行列 $\boldsymbol{A}^T$ は、$\boldsymbol{A}$ の行と列とを入れかえた行列である。例えば、 \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}& \cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}& \cdots &a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}& \cdots &a_{mn}\\\end{matrix}\right)\\ \boldsymbol{A}^T= \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{21}& \cdots &a_{m1}\\a_{12}&a_{22}& \cdots &a_{m2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{1n}&a_{2n}& \cdots &a_{mn}\\\end{matrix}\right) \end{gather}

 

転置行列の性質

 

対称行列・交代行列

転置行列が元の行列と等しい正方行列 \begin{gather} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^T \end{gather} は対称行列 symmetric matrix と呼ばれる。

\begin{gather} \boldsymbol{A}^T=-\boldsymbol{A} \end{gather} を満たす正方行列は交代行列 alternating matrix と呼ばれる。

 

逆行列

$\boldsymbol{A}$ を $n$ 次の正方行列、$\boldsymbol{E}$ を同じ次数の単位行列とする。もし \begin{gather} \boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}=\boldsymbol{E} \end{gather} となるような、$n$ 次の行列 $B$ が存在するならば、 $B$ を $\boldsymbol{A}$ の逆行列といい、 \begin{gather} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{-1} \end{gather} で表す。

$2\times2$ 行列 \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right) \end{gather} に対して \begin{gather} \Delta=ad-bc \end{gather} とおくと、次のことが成り立つ。

① $\Delta \neq 0$ならば、$\boldsymbol{A}$ は逆行列をもち、 \begin{gather} \boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{\Delta} \left(\begin{matrix}d&-b\\-c&a\\\end{matrix}\right) \end{gather} ② $\Delta=0$ならば、$\boldsymbol{A}$ は逆行列をもたない。

一般に逆行列をもつ$n$ 次正方行列を正則行列 regular matrix、または、可逆行列 invertible matrix と呼ぶ。

 

行列の分割

分割と小行列

行列 $\boldsymbol{A}$ の各ブロックを行列とみなして \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}\boldsymbol{A}_{11}&\boldsymbol{A}_{12}\\\boldsymbol{A}_{21}&\boldsymbol{A}_{22}\\\end{matrix}\right) \end{gather} と表す。 このように縦と横の区切り線で行列 $\boldsymbol{A}$ をいくつかのブロックに分けることを $\boldsymbol{A}$ の分割という。また、分割で用いた各ブロックの行列 $\boldsymbol{A}_{11},\boldsymbol{A}_{12},\boldsymbol{A}_{21},\boldsymbol{A}_{22}$ を $\boldsymbol{A}$ の小行列という。

分割行列の演算

行列 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ を $m\times n$ 行列とし、それぞれ同じ形に分割する。 \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}\boldsymbol{A}_{11}&\boldsymbol{A}_{12}\\\boldsymbol{A}_{21}&\boldsymbol{A}_{22}\\\end{matrix}\right) \quad \boldsymbol{B}= \left(\begin{matrix}\boldsymbol{B}_{11}&\boldsymbol{B}_{12}\\\boldsymbol{B}_{21}&\boldsymbol{B}_{22}\\\end{matrix}\right) \end{gather}

このとき、和・差・スカラー倍は対応する小行列ごとに計算できる、すなわち \begin{gather} \boldsymbol{A}\pm\boldsymbol{B}= \left(\begin{matrix}\boldsymbol{A}_{11}\pm\boldsymbol{B}_{11}&\boldsymbol{A}_{12}\pm\boldsymbol{B}_{12}\\\boldsymbol{A}_{21}\pm\boldsymbol{B}_{21}&\boldsymbol{A}_{22}\pm\boldsymbol{B}_{22}\\\end{matrix}\right)\\ k\boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}k\boldsymbol{A}_{11}&k\boldsymbol{A}_{12}\\k\boldsymbol{A}_{21}&k\boldsymbol{A}_{22}\\\end{matrix}\right) \end{gather} が成り立つ。 また、分割行列の転置行列は \begin{gather} \boldsymbol{A}^T= \left(\begin{matrix}\boldsymbol{A}_{11}^T&\boldsymbol{A}_{12}^T\\\boldsymbol{A}_{21}^T&\boldsymbol{A}_{22}^T\\\end{matrix}\right) \end{gather} となる。

分割行列の積は、$\boldsymbol{A}$ を $m\times n$ 行列、$\boldsymbol{B}$ を $n\times l$ 行列とするとき、$\boldsymbol{A}$ の列の分け方と $\boldsymbol{B}$ の行の分け方が同じになるように \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}\boldsymbol{A}_{11}&\boldsymbol{A}_{12}\\\boldsymbol{A}_{21}&\boldsymbol{A}_{22}\\\end{matrix}\right) \quad \boldsymbol{B}= \left(\begin{matrix}\boldsymbol{B}_{11}&\boldsymbol{B}_{12}\\\boldsymbol{B}_{21}&\boldsymbol{B}_{22}\\\end{matrix}\right) \end{gather} と分割する。 このとき、積 $\boldsymbol{AB}$ は（$\boldsymbol{A}$ の行の分け方や $\boldsymbol{B}$ の列の分け方に無関係に）小行列をあたかも成分のように扱って計算できる。すなわち \begin{align} \boldsymbol{AB}&= \left(\begin{matrix}\boldsymbol{A}_{11}&\boldsymbol{A}_{12}\\\boldsymbol{A}_{21}&\boldsymbol{A}_{22}\\\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}\boldsymbol{B}_{11}&\boldsymbol{B}_{12}\\\boldsymbol{B}_{21}&\boldsymbol{B}_{22}\\\end{matrix}\right)\\ &= \left(\begin{matrix}\boldsymbol{A}_{11}\boldsymbol{B}_{11}+\boldsymbol{A}_{12}\boldsymbol{B}_{21}&\boldsymbol{A}_{11}\boldsymbol{B}_{12}+\boldsymbol{A}_{12}\boldsymbol{B}_{22}\\\boldsymbol{A}_{21}\boldsymbol{B}_{11}+\boldsymbol{A}_{22}\boldsymbol{B}_{21}&\boldsymbol{A}_{21}\boldsymbol{B}_{12}+\boldsymbol{A}_{22}\boldsymbol{B}_{22}\\\end{matrix}\right) \end{align} が成り立つ。

 

ベクトルへの分割

$\boldsymbol{A}= \left(a_{ij}\right)$ を $m\times n$ 行列とする。$\boldsymbol{A}$ の各列ベクトルを \begin{gather} \boldsymbol{a}_1= \left(\begin{matrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{m1}\\\end{matrix}\right) \quad \boldsymbol{a}_2= \left(\begin{matrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots\\a_{m2}\\\end{matrix}\right) \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_n= \left(\begin{matrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots\\a_{mn}\\\end{matrix}\right) \end{gather} とおくとき、 $\boldsymbol{A}$ の分割 \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}\boldsymbol{a}_1&\boldsymbol{a}_2& \cdots &\boldsymbol{a}_n\\\end{matrix}\right) \end{gather} を $\boldsymbol{A}$ の列ベクトル分割という。 また、$\boldsymbol{A}$ の行ベクトルをそれぞれ \begin{gather} \boldsymbol{a}_1^\prime= \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}& \cdots &a_{1n}\\\end{matrix}\right)\\ \boldsymbol{a}_2^\prime= \left(\begin{matrix}a_{21}&a_{22}& \cdots &a_{2n}\\\end{matrix}\right)\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_m^\prime= \left(\begin{matrix}a_{m1}&a_{m2}& \cdots &a_{mn}\\\end{matrix}\right) \end{gather} とおくとき、 $\boldsymbol{A}$ の分割 \begin{gather} \boldsymbol{A}= \left(\begin{matrix}\boldsymbol{a}_1^\prime\\\boldsymbol{a}_2^\prime\\\vdots\\\boldsymbol{a}_m^\prime\\\end{matrix}\right) \end{gather} を $\boldsymbol{A}$ の行ベクトル分割という。

 

$m\times n$ 行列 $\boldsymbol{A}$ の行ベクトル分割と $n\times l$ 行列 $\boldsymbol{B}$ の列ベクトル分割に対して、次の等式が成り立つ。

 

参考文献

• 村上 正康, 佐藤 恒雄, 野澤 宗平, 稲葉 尚志 共著. 教養の線形代数. 培風館, 2016, p.1-16
• 松坂 和夫 著. 数学読本 5. 新装版, 岩波書店, 2019, p.1101-1123
• 馬場 敬之 著. 線形代数キャンパス・ゼミ. 改訂8, マセマ出版社, 2020, p.28-43

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