本稿には、2017年に実施された統計検定1級『統計数理』 問5の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- 著作権の関係上、問題文は、掲載することができません。申し訳ありませんが、閲覧者のみなさまでご用意いただければ幸いです。
- この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
- 計算ミスや誤字・脱字などがありましたら、コメントなどでご指摘いただければ大変助かります。
- 本問は〔3〕の解答例はありません。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
〔1〕カイ2乗分布の確率密度関数の導出
確率変数 $V=Z^2$ の取り得る値の範囲は、 \begin{align} -\infty \lt Z \lt \infty\Rightarrow0 \le V \lt \infty \end{align} 確率変数 $Z$ の累積分布関数を $G \left(z\right)$ とすると、累積分布関数の定義式 $F \left(x\right)=P \left(X \le x\right)$ より、 \begin{align} G \left(v\right)&=P \left(V \le v\right)\\ &=P \left(Z^2 \le v\right)\\ &=P \left(-\sqrt v \le Z \le \sqrt v\right)\\ \end{align} 累積分布関数の定義式 $F \left(z\right)=P \left(Z \le z\right)$ より、確率変数 $Z$ の累積分布関数を $F \left(z\right)$ とすると、 \begin{align} G \left(v\right)=F \left(\sqrt v\right)-F \left(-\sqrt v\right) \end{align} 確率密度関数を $g \left(v\right)$ とすると、累積分布関数と確率密度関数との関係 $f \left(x\right)=\frac{d}{dx}F \left(x\right)$ より、 \begin{align} g \left(v\right)&=\frac{d}{dv}G \left(v\right)\\ &=\frac{d}{dv} \left\{F \left(\sqrt v\right)-F \left(-\sqrt v\right)\right\}\\ &=f \left(\sqrt v\right) \cdot \frac{1}{2\sqrt v}-f \left(-\sqrt v\right) \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt v}\right)\\ &=\frac{1}{2\sqrt v} \left\{f \left(\sqrt v\right)+f \left(-\sqrt v\right)\right\}\\ &=\frac{1}{2\sqrt v} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{v}{2}}+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{v}{2}}\right)\\ &=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{v}{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt v}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{1}{\sqrt v}e^{-\frac{v}{2}} \end{align} $\blacksquare$
〔2〕カイ2乗分布の比の分布
$X$ と $Y$ が互い独立なとき、同時確率密度関数は、 \begin{align} j \left(x,y\right)&=k \left(x\right) \cdot l \left(y\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt x}e^{-\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt y}e^{-\frac{y}{2}}\\ &=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{\sqrt{xy}}e^{-\frac{x+y}{2}} \end{align} 次のような変数変換を行うと、 \begin{gather} \left\{\begin{matrix}s=\frac{x}{y}\\w=y\\\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=ws\\y=w\\\end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix}x:0\rightarrow\infty\\y:0\rightarrow\infty\\\end{matrix}\right. \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{matrix}s:0\rightarrow\infty\\w:0\rightarrow\infty\\\end{matrix}\right. \end{gather} 変数変換のヤコビアンは、 \begin{align} J&= \left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial s}&\frac{\partial y}{\partial s}\\\frac{\partial x}{\partial w}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|\begin{matrix}w&0\\s&1\\\end{matrix}\right|\\ &=w \end{align} このとき、$s,w$ の同時確率密度関数 $m \left(s,w\right)=j \left\{x \left(s,w\right),y \left(s,w\right)\right\} \left|J\right|$ は、 \begin{align} m \left(s,w\right)&=k \left(ws\right) \cdot l \left(w\right) \left|w\right|\\ &=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{\sqrt{ws \cdot w}}e^{-\frac{ws+w}{2}} \cdot w\\ &=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{\sqrt s}e^{-\frac{1+s}{2}w} \end{align} よって、周辺確率密度関数算出の定義式 $f \left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x,y\right)dy$ より、$S$ の周辺確率密度関数は、 \begin{align} g \left(s\right)&=\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{2\pi}\frac{1}{\sqrt s}e^{-\frac{1+s}{2}w}dw}\\ &=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{\sqrt s}\int_{0}^{\infty}{e^{-\frac{1+s}{2}w}dw}\\ &=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{\sqrt s} \left[-\frac{2}{1+s}e^{-\frac{1+s}{2}w}\right]_0^\infty\\ &=\frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt s} \cdot \frac{2}{1+s} \left(e^0-\lim_{w\rightarrow\infty}{e^{-\frac{1+s}{2}w}}\right)\\ &=\frac{1}{\pi\sqrt s} \cdot \frac{1}{1+s} \end{align} $\blacksquare$
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