統計検定 1級 2017年 統計数理 問5 確率変数変換

本稿には、2017年に実施された統計検定1級『統計数理』 問5の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕カイ2乗分布の確率密度関数の導出

確率変数 $V=Z^2$ の取り得る値の範囲は、 $$\begin{array}{r}-\mathrm{\infty }<Z<\mathrm{\infty }\Rightarrow 0\le V<\mathrm{\infty }\end{array}$$ 確率変数 $Z$ の累積分布関数を $G\left(z\right)$ とすると、累積分布関数の定義式 $F\left(x\right)=P(X\le x)$ より、 $$\begin{array}{rl}G\left(v\right)& =P(V\le v)\\ & =P(Z^2\le v)\\ & =P(-\sqrt{v}\le Z\le \sqrt{v})\end{array}$$ 累積分布関数の定義式 $F\left(z\right)=P(Z\le z)$ より、確率変数 $Z$ の累積分布関数を $F\left(z\right)$ とすると、 $$\begin{array}{r}G\left(v\right)=F\left(\sqrt{v}\right)-F(-\sqrt{v})\end{array}$$ 確率密度関数を $g\left(v\right)$ とすると、累積分布関数と確率密度関数との関係 $f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}g\left(v\right)& =\frac{d}{dv}G\left(v\right)\\ & =\frac{d}{dv}\{F\left(\sqrt{v}\right)-F(-\sqrt{v})\}\\ & =f\left(\sqrt{v}\right)\cdot \frac{1}{2\sqrt{v}}-f(-\sqrt{v})\cdot (-\frac{1}{2\sqrt{v}})\\ & =\frac{1}{2\sqrt{v}}\{f\left(\sqrt{v}\right)+f(-\sqrt{v})\}\\ & =\frac{1}{2\sqrt{v}}(\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{v}{2}}+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{v}{2}})\\ & =\frac{2}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{v}{2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{v}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{1}{\sqrt{v}}{e}^{-\frac{v}{2}}\end{array}$$ $◼$

〔2〕カイ2乗分布の比の分布

$X$ と $Y$ が互い独立なとき、同時確率密度関数は、 $$\begin{array}{rl}j(x,y)& =k\left(x\right)\cdot l\left(y\right)\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{\sqrt{x}}{e}^{-\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{\sqrt{y}}{e}^{-\frac{y}{2}}\\ & =\frac{1}{2\pi }\frac{1}{\sqrt{xy}}{e}^{-\frac{x+y}{2}}\end{array}$$ 次のような変数変換を行うと、 $$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}s=\frac{x}{y}\\ w=y\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=ws\\ y=w\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x:0\to \mathrm{\infty }\\ y:0\to \mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}s:0\to \mathrm{\infty }\\ w:0\to \mathrm{\infty }\end{array}\end{array}$$ 変数変換のヤコビアンは、 $$\begin{array}{rl}J& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial s}& \frac{\partial y}{\partial s}\\ \frac{\partial x}{\partial w}& \frac{\partial y}{\partial w}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}w& 0\\ s& 1\end{array}\right|\\ & =w\end{array}$$ このとき、$s,w$ の同時確率密度関数 $m(s,w)=j\{x(s,w),y(s,w)\}\left|J\right|$ は、 $$\begin{array}{rl}m(s,w)& =k\left(ws\right)\cdot l\left(w\right)\left|w\right|\\ & =\frac{1}{2\pi }\frac{1}{\sqrt{ws\cdot w}}{e}^{-\frac{ws+w}{2}}\cdot w\\ & =\frac{1}{2\pi }\frac{1}{\sqrt{s}}{e}^{-\frac{1+s}{2}w}\end{array}$$ よって、周辺確率密度関数算出の定義式 $f\left(x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$ より、$S$ の周辺確率密度関数は、 $$\begin{array}{rl}g\left(s\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2\pi }\frac{1}{\sqrt{s}}{e}^{-\frac{1+s}{2}w}dw\\ & =\frac{1}{2\pi }\frac{1}{\sqrt{s}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{1+s}{2}w}dw\\ & =\frac{1}{2\pi }\frac{1}{\sqrt{s}}{[-\frac{2}{1+s}{e}^{-\frac{1+s}{2}w}]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{1}{\sqrt{s}}\cdot \frac{2}{1+s}(e^0-\underset{w\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-\frac{1+s}{2}w})\\ & =\frac{1}{\pi \sqrt{s}}\cdot \frac{1}{1+s}\end{array}$$ $◼$

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