統計検定 1級 2019年 統計数理 問1 二項分布の確率母関数

本稿には、2019年に実施された統計検定1級『統計数理』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕確率母関数と期待値・分散の関係

確率母関数の定義式の1階微分を求めると、 \begin{align} G_X^{ \left(1\right)} \left(t\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{xt^{x-1} \cdot f \left(x\right)} \end{align} この式に $t=1$ を代入すると、期待値の定義式より、 \begin{align} G_X^{ \left(1\right)} \left(t\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)}=E \left(X\right) \end{align} 確率母関数の定義式の2階微分を求めると、 \begin{align} G_X^{ \left(2\right)} \left(t\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{x \left(x-1\right)t^{x-2} \cdot f \left(x\right)} \end{align} この式に $t=1$ を代入すると、期待値の定義式より、 \begin{align} G_X^{ \left(2\right)} \left(t\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{x \left(x-1\right) \cdot f \left(x\right)}=E \left[X \left(X-1\right)\right] \end{align} 2次階乗モーメントを用いた分散の公式 $V \left(X\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}+E \left(X\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)=G_X^{ \left(2\right)} \left(t\right)+G_X^{ \left(1\right)} \left(t\right)- \left\{G_X^{ \left(1\right)} \left(t\right)\right\}^2 \end{align} $\blacksquare$

〔2〕二項分布の確率母関数の導出と使用

確率母関数の定義式 $G_X \left(t\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{t^x \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} G_X \left(t\right)&=\sum_{x=0}^{n}{t^x \cdot \ {}_{n}C_xp^x \left(1-p\right)^{n-x}}\\ &=\sum_{x=0}^{n}{{}_{n}C_x \left(tp\right)^x \left(1-p\right)^{1-x}} \end{align} 二項定理 $ \left(a+b\right)^n=\sum_{x=0}^{n}{{}_{n}C_xa^xb^{n-x}}$ において、$a=tp,b=1-p$ とすると、 \begin{align} G_X \left(t\right)= \left(tp+1-p\right)^n \end{align}

（i）期待値
確率母関数の1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 \begin{align} G_X^{ \left(1\right)} \left(t\right)&=n \left(tp+1-p\right)^{n-1} \cdot \frac{d}{dt} \left(tp+1-p\right)\\ &=np \left(tp+1-p\right)^{n-1} \end{align} 1次モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{ \left(1\right)} \left(1\right)=E \left(X\right)$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=np \left(p+1-p\right)^{n-1}\\ &=np \end{align}

（ii）分散
確率母関数の2階微分を求めると、 \begin{align} G_X^{ \left(2\right)} \left(t\right)&=n \left(n-1\right)p \left(tp+1-p\right)^{n-2} \cdot \frac{d}{dt} \left(tp+1-p\right)\\ &=n \left(n-1\right)p^2 \left(tp+1-p\right)^{n-2} \end{align} 2次階乗モーメントと確率母関数の関係 $G_X^{ \left(2\right)} \left(1\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}$ より、 \begin{align} E \left\{X \left(X-1\right)\right\}&=n \left(n-1\right)p^2 \left(p+1-p\right)^{n-2}\\ &=n \left(n-1\right)p^2\\ &=n^2p^2-np^2 \end{align} 2次階乗モーメントを用いた分散の公式 $V \left(X\right)=E \left\{X \left(X-1\right)\right\}+E \left(X\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=n^2p^2-np^2+np-n^2p^2\\ &=np-np^2\\ &=np \left(1-p\right) \end{align} $\blacksquare$

〔3〕累積確率と確率母関数の関係

確率母関数の定義式（1）における和を分解すると、 \begin{align} G_X \left(t\right)=\sum_{k=0}^{r}{t^x \cdot P \left(X=k\right)}+\sum_{k=r+1}^{n}{t^x \cdot P \left(X=k\right)} \end{align} 両辺に $t^{-r}$ をかけると、 \begin{align} t^{-r}G_X \left(\theta\right)&=t^{-r}\sum_{k=0}^{r}{t^x \cdot P \left(X=k\right)}+t^{-r}\sum_{k=r+1}^{n}{t^x \cdot P \left(X=k\right)}\\ &=\sum_{k=0}^{r}{t^{x-r} \cdot P \left(X=k\right)}+\sum_{k=r+1}^{n}{t^{x-r} \cdot P \left(X=k\right)} \end{align} ここで、 \begin{align} \sum_{k=0}^{r}{t^{x-r} \cdot P \left(X=k\right)}=t^{-r} \cdot P \left(X=0\right)+t^{-r+1} \cdot P \left(X=1\right)+ \cdots +t^0 \cdot P \left(X=r\right) \end{align} $X$ が $r$ 以下になる確率は、 \begin{align} P \left(X \le r\right)=\sum_{k=0}^{r}P \left(X=k\right) \end{align} これを書き直すと、 \begin{align} P \left(X \le r\right)=\sum_{k=0}^{r}{t^0 \cdot P \left(X=k\right)} \end{align} ここで、 \begin{align} 0 \lt t \le 1\Rightarrow t^0=1 \le t^{-i} \left(i=0,1, \cdots ,r\right) \end{align} つまり、各 $P \left(X=k\right)$ に1以上の値をかけているので、 \begin{align} P \left(X \le r\right)=\sum_{k=0}^{r}P \left(X=k\right) \le \sum_{k=0}^{r}{t^{x-r} \cdot P \left(X=k\right)} \end{align} また、 \begin{align} 0 \lt \sum_{k=r+1}^{n}{t^{x-r} \cdot P \left(X=k\right)} \end{align} したがって、 \begin{align} P \left(X \le r\right) \le \sum_{k=0}^{r}{t^{x-r} \cdot P \left(X=k\right)} \le \sum_{k=0}^{r}{t^{x-r} \cdot P \left(X=k\right)}+\sum_{k=r+1}^{n}{t^{x-r} \cdot P \left(X=k\right)} \end{align} ゆえに、正の実数 $r$ とすべての $0 \lt t \le 1$ に対し、 \begin{align} P \left(X \le r\right) \le t^{-r}G_X \left(t\right) \end{align} $\blacksquare$

〔4〕累積確率と確率母関数の関係の応用

式（2）において、$r=an$ を代入すると、 \begin{align} P \left(X \le a n\right) \le t^{-an}G_X \left(t\right) \end{align} 〔2〕の結果より、$G_X \left(t\right)= \left(pt+1-p\right)^n$ なので、これを上式に代入すると、 \begin{align} P \left(X \le a n\right) \le t^{-an} \left(pt+1-p\right)^n \end{align} ここで、$g \left(t\right)=t^{-an} \left(pt+1-p\right)^n$ として、$g \left(t\right)$ を最小にする $t$ の値を求める。

$g \left(t\right)$ の1回微分を求めると、 \begin{align} g^\prime \left(t\right)=npt^{-an} \left(pt+1-p\right)^{n-1}-ant^{-an-1} \left(pt+1-p\right)^n \end{align} 最小値は極値であると考えられるので、$g^\prime \left(t\right)=0$ とすると、 \begin{gather} 0=pt-a \left(pt+1-p\right)\\ 0=pt-apt-a \left(1-p\right)\\ pt-apt=a \left(1-p\right)\\ pt \left(1-a\right)=a \left(1-p\right)\\ t=\frac{a \left(1-p\right)}{p \left(1-a\right)} \end{gather} これを上式に代入すると、 \begin{align} P \left(X \le a n\right)& \le \left\{\frac{a \left(1-p\right)}{p \left(1-a\right)}\right\}^{-an} \left\{p \cdot \frac{a \left(1-p\right)}{p \left(1-a\right)}+1-p\right\}^n\\ & \le \left\{\frac{p \left(1-a\right)}{a \left(1-p\right)}\right\}^{an} \left\{\frac{a \left(1-p\right)+ \left(1-a\right) \left(1-p\right)}{1-a}\right\}^n\\ & \le \left\{\frac{p \left(1-a\right)}{a \left(1-p\right)}\right\}^{an} \left\{\frac{ \left(1-p\right) \left(a+1-a\right)}{1-a}\right\}^n\\ & \le \left\{\frac{p \left(1-a\right)}{a \left(1-p\right)}\right\}^{an} \left(\frac{1-p}{1-a}\right)^n\\ & \le \left(\frac{p}{a}\right)^{an} \left(\frac{1-p}{1-a}\right)^{n-an}\\ & \le \left(\frac{p}{a}\right)^{an} \left(\frac{1-p}{1-a}\right)^{ \left(1-a\right)n} \end{align} $\blacksquare$

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