カイ2乗分布の定義と概要（確率密度関数の導出付き）

（i）すべての $x$ に関して、$f\left(x\right)\ge 0$ $$\begin{array}{c}0<\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right),0<2^{\frac{n}{2}}\Rightarrow 0<\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\\ 0<x\Rightarrow 0<x^{\frac{n}{2}-1}\\ 0<e^a\Rightarrow 0<e^{-\frac{x}{2}}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}\ge 0\end{array}$$ （ii）すべての確率の和が1 $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}\cdot e^{-\frac{x}{2}}dx\\ & =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\frac{n}{2}-1}\cdot e^{-\frac{x}{2}}dx\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}t=\frac{x}{2}\iff x=2t\\ \frac{dx}{dt}=2\Rightarrow dx=2dt\\ x:0\to \mathrm{\infty }\Rightarrow t:0\to \mathrm{\infty }\end{array}$$ となるので、 置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx& =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(2t\right)}^{\frac{n}{2}-1}\cdot e^{-t}\cdot 2dt\\ & =\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\cdot 2^{\frac{n}{2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{\frac{n}{2}-1}\cdot e^{-t}dt\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{\frac{n}{2}-1}\cdot e^{-t}dt\end{array}$$ ガンマ関数の定義式 $\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}\cdot e^{-x}dx$ より、$\alpha =\frac{n}{2}$ とすると、 $$\begin{array}{r}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}=1\end{array}$$ よって、確率密度関数の定義を満たしているため、確率密度関数である。 $◼$

標準正規分布の確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}\begin{array}{cc}f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}& -\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }\end{array}\end{array}$$ 確率変数 $Y=X^2$ の取り得る値の範囲は、 $$\begin{array}{r}-\mathrm{\infty }<X<\mathrm{\infty }\Rightarrow 0\le Y<\mathrm{\infty }\end{array}$$ 平方変換の公式 $g\left(y\right)=\frac{1}{2\sqrt{y}}\{f\left(\sqrt{y}\right)+f(-\sqrt{y})\}$ より、 $$\begin{array}{rl}g\left(y\right)& =\frac{1}{2\sqrt{y}}(\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y}{2}}+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y}{2}})\\ & =\frac{2}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y}{2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{y}{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{y}}\end{array}$$ これを変形すると、 $$\begin{array}{r}g\left(y\right)=\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}\sqrt{\pi }}{y}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{y}{2}}\end{array}$$ ガンマ関数の性質 $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$ より、 $$\begin{array}{r}g\left(y\right)=\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)}{y}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{y}{2}}\end{array}$$ これは、${\chi }^2$分布の確率密度関数 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}\end{array}$$ において、$n=1$ を代入したものである。 したがって、$Y$ は、自由度1の ${\chi }^2$分布 $$\begin{array}{r}{\chi }^2\left(1\right)\end{array}$$ に従う。 $◼$