カイ2乗分布の定義と概要（確率密度関数の導出付き）

（i）すべての $x$ に関して、$f \left(x\right) \geq 0$ \begin{gather} 0 \lt \Gamma \left(\frac{n}{2}\right),0 \lt 2^\frac{n}{2}\Rightarrow0 \lt \frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\\ 0 \lt x\Rightarrow0 \lt x^{\frac{n}{2}-1}\\ 0 \lt e^a\Rightarrow0 \lt e^{-\frac{x}{2}} \end{gather} したがって、 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} \geq 0 \end{align} （ii）すべての確率の和が1 \begin{align} \int_{0}^{\infty}f \left(x\right)dx&=\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1} \cdot e^{-\frac{x}{2}}dx}\\ &=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}{x^{\frac{n}{2}-1} \cdot e^{-\frac{x}{2}}dx} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} t=\frac{x}{2}\Leftrightarrow x=2t\\ \frac{dx}{dt}=2\Rightarrow dx=2dt\\ x:0\rightarrow\infty \quad \Rightarrow \quad t:0\rightarrow\infty \end{gather} となるので、 置換積分法により、 \begin{align} \int_{0}^{\infty}f \left(x\right)dx&=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}{ \left(2t\right)^{\frac{n}{2}-1} \cdot e^{-t} \cdot 2dt}\\ &=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \cdot 2^\frac{n}{2}\int_{0}^{\infty}{t^{\frac{n}{2}-1} \cdot e^{-t}dt}\\ &=\frac{1}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}{t^{\frac{n}{2}-1} \cdot e^{-t}dt} \end{align} ガンマ関数の定義式 $\Gamma \left(\alpha\right)=\int_{0}^{\infty}{x^{\alpha-1} \cdot e^{-x}dx}$ より、$\alpha=\frac{n}{2}$ とすると、 \begin{align} \int_{0}^{\infty}f \left(x\right)dx=\frac{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}=1 \end{align} よって、確率密度関数の定義を満たしているため、確率密度関数である。 $\blacksquare$

標準正規分布の確率密度関数は、 \begin{align} \begin{matrix}f \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}&-\infty \lt x \lt \infty\\\end{matrix} \end{align} 確率変数 $Y=X^2$ の取り得る値の範囲は、 \begin{align} -\infty \lt X \lt \infty\Rightarrow0 \le Y \lt \infty \end{align} 平方変換の公式 $g \left(y\right)=\frac{1}{2\sqrt y} \left\{f \left(\sqrt y\right)+f \left(-\sqrt y\right)\right\}$ より、 \begin{align} g \left(y\right)&=\frac{1}{2\sqrt y} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y}{2}}+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y}{2}}\right)\\ &=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y}{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt y}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt y} \end{align} これを変形すると、 \begin{align} g \left(y\right)=\frac{1}{2^\frac{1}{2}\sqrt\pi}y^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y}{2}} \end{align} ガンマ関数の性質 $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt\pi$ より、 \begin{align} g \left(y\right)=\frac{1}{2^\frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)}y^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y}{2}} \end{align} これは、$\chi^2$分布の確率密度関数 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} \end{align} において、$n=1$ を代入したものである。 したがって、$Y$ は、自由度1の $\chi^2$分布 \begin{align} \chi^2 \left(1\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$