統計検定 1級 2017年 統計数理 問4 2変量正規分布の条件付き分布

本稿には、2017年に実施された統計検定1級『統計数理』 問4の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕正規分布の線形変換と和の分布

線形変換の性質より、 $$\begin{array}{r}a+kX\sim \mathrm{N}(a,k^2)\end{array}$$ 正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}Z\sim \mathrm{N}(a,k^2+1)\end{array}$$ $◼$

〔2〕相関係数の算出

$X$ と $Z$ の積の期待値は、 $$\begin{array}{rl}E\left(XZ\right)& =E\left\{X(a+kX+Y)\right\}\\ & =E(aX+k{X}^2+XY)\\ & =aE\left(X\right)+kE\left(X^2\right)+E\left(XY\right)\end{array}$$ ここで、分散の公式の変形 $E\left(X^2\right)=V\left(X\right)+{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(X^2\right)=1+0=1\end{array}$$ また、$X$ と $Y$ は独立なので、期待値の性質 $E\left(XY\right)=E\left(X\right)E\left(Y\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(XY\right)=0\cdot 0=0\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}E\left(XZ\right)=a\cdot 0+k\cdot 1+0=k\end{array}$$ 共分散の公式 $\mathrm{Cov}(X,Z)=E\left(XZ\right)-E\left(X\right)E\left(Z\right)$ より、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Cov}(X,Z)=k+0\cdot a=k\end{array}$$ 相関係数の定義式 ${\rho }_{XZ}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Z)}{{\sigma }_X\cdot {\sigma }_Z}$ より、 $$\begin{array}{r}{\rho }_{XZ}=\frac{k}{\sqrt{1}\cdot \sqrt{k^2+1}}=\frac{k}{\sqrt{k^2+1}}\end{array}$$ $◼$

〔3〕条件付き分布の導出：元の確率変数に関する条件が与えられた場合

$X=x$ が与えられたとき、$a+kx$ は定数なので、線形変換の性質より、 $$\begin{array}{rl}E\left(Z\right|x)& =E(a+kx+Y)\\ & =a+kx+E\left(Y\right)\\ & =a+kx\\ V\left(Z\right|x)& =V(a+kx+Y)\\ & =V\left(Y\right)\\ & =1\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}Z|x\sim \mathrm{N}(a+kx,1)\end{array}$$ $◼$

〔4〕条件付き分布の導出：結果の確率変数に関する条件が与えられた場合

正規分布の確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\end{array}$$ $X$ および $Z$ の確率密度関数、条件付き確率密度関数、同時確率密度関数をそれぞれ以下のようにおくと、 $$\begin{array}{r}g\left(x\right)h\left(z\right)g\left(x\right|z)f(x,z)\end{array}$$ 条件付き確率密度関数の定義式より、 $$\begin{array}{r}g\left(x\right|z)=\frac{f(x,y)}{h\left(z\right)}\end{array}$$ 同時確率密度関数の定義式 $f(x,y)=h\left(z\right|x)\cdot g\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}g\left(x\right|z)=\frac{h\left(z\right|x)\cdot g\left(x\right)}{h\left(z\right)}\end{array}$$ 〔1〕と〔3〕の結果から、同時確率密度関数は、 $$\begin{array}{rl}h\left(z\right|x)\cdot g\left(x\right)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{{\{z-(a+kx)\}}^2}{2}]\times \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{x^2}{2}]\\ & =\frac{1}{2\pi }\exp [-\frac{{\{z-(a+kx)\}}^2+x^2}{2}]\\ & =\frac{1}{2\pi }\exp [-\frac{1}{2}(k^2+1){\{x-\frac{k}{k^2+1}(z-a)\}}^2]\exp [-\frac{{(z-a)}^2}{2(k^2+1)}]\end{array}$$ いっぽう、確率変数 $Z$ の確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}h\left(z\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi (k^2+1)}}\exp [-\frac{{(z-a)}^2}{2(k^2+1)}]\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}g\left(x\right|z)& =\frac{\frac{1}{2\pi }\exp [-\frac{1}{2}(k^2+1){\{x-\frac{k}{k^2+1}(z-a)\}}^2]\exp [-\frac{{(z-a)}^2}{2(k^2+1)}]}{\frac{1}{\sqrt{2\pi (k^2+1)}}\exp [-\frac{{(z-a)}^2}{2(k^2+1)}]}\\ & =\frac{\sqrt{k^2+1}}{\sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{k^2+1}{2}{\{x-\frac{k}{k^2+1}(z-a)\}}^2]\end{array}$$ これは、平均と分散がそれぞれ、以下の値である正規分布の確率密度関数であるとみなすことができる。 $$\begin{array}{c}\mu =\frac{k}{k^2+1}(z-a)\\ {\sigma }^2=\frac{1}{k^2+1}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}X|z\sim \mathrm{N}[\frac{k}{k^2+1}(z-a),\frac{1}{k^2+1}]\end{array}$$ $◼$

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