統計検定 1級 2018年 統計数理 問5 連続一様分布の順序統計量の分布

本稿には、2018年に実施された統計検定1級『統計数理』 問5の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕最大値・最小値の分布と期待値

連続一様分布 $\mathrm{U} \left(0,1\right)$ の確率密度関数と累積分布関数は、 \begin{gather} g \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}1&0 \le x \le 1\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right.\\ G \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}0&x \lt 0\\x&0 \le x \le 1\\1&1 \lt x\\\end{matrix}\right. \end{gather} それぞれの確率変数が取り得る値は、 \begin{gather} 0 \le Y_1 \le 1\\ 0 \le Y_2 \le 1\\ 0 \le Y_3 \le 1 \end{gather}

（I-i）最大値の分布
最大値が $y$ 以下となるとき、すべての $Y_i$ が $y$ 以下となるので、 \begin{align} F_3 \left(y\right)=P \left(Y_1 \le y,Y_2 \le y,Y_3 \le y\right) \end{align} すべての確率変数は互いに独立であるため、この確率は、 \begin{align} F_3 \left(y\right)&=P \left(X_1 \le y\right) \cdot P \left(X_2 \le y\right) \cdot P \left(X_n \le y\right)\\ &=G \left(y\right) \cdot G \left(y\right) \cdot G \left(y\right)\\ &=y^3 \end{align} 累積分布関数と確率密度関数の関係 $f \left(x\right)=\frac{d}{dx}F \left(x\right)$ より、 \begin{align} f_3 \left(y\right)=3y^2 \end{align}

（I-ii）最小値の分布
最小値が $y$ 以下となるとき、少なくとも1つの $Y_i$ が $y$ 以下となる。これは、「すべての $Y_i$ が $y$ 以上となる事象」の余事象であるから、 \begin{align} F_1 \left(y\right)=1-P \left(y \le Y_1,y \le Y_2,y \le Y_3\right) \end{align} 確率変数は互いに独立であるため、この確率は、 \begin{align} F_1 \left(y\right)=1-P \left(y \le Y_1\right) \cdot P \left(y \le Y_2\right) \cdot P \left(y \le Y_3\right) \end{align} 確率の基本性質 $P \left(x \le X\right)=1-P \left(X \le x\right)$ より、 \begin{align} F_1 \left(y\right)&=1- \left[ \left\{1-G \left(y\right)\right\} \cdot \left\{1-G \left(y\right)\right\} \cdot \left\{1-G \left(y\right)\right\}\right]\\ &=1- \left(1-y\right)^3 \end{align} 累積分布関数と確率密度関数の関係 $f \left(x\right)=\frac{d}{dx}F \left(x\right)$ より、 \begin{align} f_1 \left(y\right)&=-3 \left(1-y\right)^2 \cdot \frac{d}{dy} \left(1-y\right)\\ &=3 \left(1-y\right)^2 \end{align} したがって、 \begin{gather} f_3 \left(y\right)= \left\{\begin{matrix}3y^2&0 \le y \le 1\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right.\\ f_1 \left(y\right)= \left\{\begin{matrix}3 \left(1-y\right)^2&0 \le y \le 1\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right. \end{gather}

（II）期待値
期待値の定義式 $E \left(Y\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{y \cdot f \left(y\right)dy}$ より、 \begin{align} E \left(Y_3\right)&=\int_{0}^{1}{y \cdot 3y^2dy}\\ &=\int_{0}^{1}{3y^3dy}\\ &= \left[\frac{3}{4}y^4\right]_0^1\\ &=\frac{3}{4} \left(1-0\right)\\ &=\frac{3}{4} \end{align} \begin{align} E \left(Y_1\right)&=\int_{0}^{1}{y \cdot 3 \left(1-y\right)^2dy}\\ &=3\int_{0}^{1} \left(y-2y^2+y^3\right)dy\\ &=3 \left[\frac{1}{4}y^4-\frac{2}{3}y^3+\frac{1}{2}y^2\right]_0^1\\ &=3 \left(\frac{1}{4}-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right)\\ &=\frac{1}{4} \end{align} $\blacksquare$

〔2〕2番目に大きい値の分布

2番目の値が $y$ 以下となるのは、
$X_1,\ X_2,X_3$ のうち2つが $y$ 以下、かつ、1つが $y$ 以上 もしくは、 $X_1,\ X_2,X_3$ のすべてが $y$ 以下 のときであるから、 （a）2つが $y$ 以下となる確率は、 \begin{align} P_1&={}_{3}C_2 \cdot P \left(X_1 \le y\right) \cdot P \left(X_2 \le y\right) \cdot P \left(X_3 \geq y\right)\\ &=3 \cdot y \cdot y \cdot \left(1-y\right)\\ &=3y^2-3y^3 \end{align}

（b）3つが $y$ 以下となる確率は、（i）の結果より、 \begin{align} P_2&=y^3 \end{align} したがって、 \begin{align} F_2 \left(y\right)&=3y^2-3y^3+y^3\\ &=3y^2-2y^3 \end{align} 累積分布関数と確率密度関数の関係 $f \left(x\right)=\frac{d}{dx}F \left(x\right)$ より、 \begin{align} f_2 \left(x\right)&=-6y^2+6y \end{align} また、累積分布関数の定義 $P \left(Y_2 \lt y\right)=F_2 \left(y\right)$ より、累積分布関数に $y=0.5$ を代入すると、 \begin{align} P \left(Y_2 \lt 0.5\right)&=3 \cdot {0.5}^2-2 \cdot {0.5}^3\\ &=0.75-0.25\\ &=0.5 \end{align} $\blacksquare$

〔3〕標本範囲の期待値と分散

（i）期待値
期待値の性質 $E \left(Y_3-Y_1\right)=E \left(Y_3\right)-E \left(Y_1\right)$& より、 \begin{align} E \left(Z\right)=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \end{align} （ii）分散
定義より、$Y_1$ と $Y_3$ の同時分布関数は、 \begin{align} F_{1,3} \left(y_1,y_3\right)=P \left(Y_1 \le y_1,Y_3 \le y_3\right) \end{align} すなわち、 最小値が $y_1$ 以下 かつ 最大値が $y_3$ 以下となる確率 これは、 「最大値が $y_3$ 以下」と「最小値が $y_1$ 以上 かつ 最大値が $y_3$ 以下」の差事象 と言い換えることができるので、 \begin{align} F_{1,3} \left(y_1,y_3\right)&=P \left[X_{ \left(1\right)} \le x_1,X_{ \left(n\right)} \le x_n\right]\\ &=P \left(Y_3 \le y_3\right)-P \left(y_1 \lt Y_1,Y_3 \le y_3\right)\\ &=F_3 \left(y_3\right)-P \left(y_1 \lt X_1 \le y_3,y_1 \lt X_2 \le y_3,y_1 \lt X_3 \le y_3\right)\\ &=y_3^3-P \left(y_1 \lt X_1 \le y_3\right) \cdot P \left(y_1 \lt X_2 \le y_3\right) \cdot P \left(y_1 \lt X_3 \le y_3\right)\\ &=y_3^3- \left\{G \left(y_3\right)-G \left(y_1\right)\right\}^3\\ &=y_3^3- \left(y_3-y_1\right)^3 \end{align} 同時分布関数と同時確率密度関数の関係 $f \left(x,y\right)=\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}F \left(x,y\right)$ より、 \begin{align} f_{1,3} \left(y_1,y_3\right)&=\frac{\partial}{\partial y_3} \left\{-3 \left(y_3-y_1\right)^2 \cdot \frac{\partial}{\partial y_1} \left(y_3-y_1\right)\right\}\\ &=\frac{\partial}{\partial y_3} \left\{3 \left(y_3-y_1\right)^2\right\}\\ &=6 \left(y_3-y_1\right) \end{align} ここで、$Y_3,Y_1$が取り得る値は、 \begin{gather} 0 \le Y_1 \le Y_3 \le 1 \end{gather} 期待値の定義式 $E \left[g \left(x,y\right)\right]=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{g \left(x,y\right) \cdot f \left(x,y\right)dxdy}$ より、 \begin{align} E \left(Z^2\right)&=\int_{0}^{1}\int_{0}^{y_3}{ \left(y_3-y_1\right)^2 \cdot 6 \left(y_3-y_1\right)dy_1dy_3}\\ &=\int_{0}^{1}{6dy_3}\int_{0}^{y_3}{ \left(y_3-y_1\right)^3dy_1}\\ &=\frac{3}{2}\int_{0}^{1}{- \left[ \left(y_3-y_1\right)^4\right]_0^{y_3}dy_3}\\ &=\frac{3}{2}\int_{0}^{1}{y_3^4dy_3}\\ &=\frac{3}{10} \left[y_3^5\right]_0^1\\ &=\frac{3}{10} \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(Z\right)=\frac{3}{10}-\frac{1}{4}=\frac{1}{20} \end{align} $\blacksquare$

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