統計検定 1級 2018年 統計数理 問5 連続一様分布の順序統計量の分布

本稿には、2018年に実施された統計検定1級『統計数理』 問5の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕最大値・最小値の分布と期待値

連続一様分布 $\mathrm{U}(0,1)$ の確率密度関数と累積分布関数は、 $$\begin{array}{c}g\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}1& 0\le x\le 1\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\\ G\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ x& 0\le x\le 1\\ 1& 1<x\end{array}\end{array}$$ それぞれの確率変数が取り得る値は、 $$\begin{array}{c}0\le Y_1\le 1\\ 0\le Y_2\le 1\\ 0\le Y_3\le 1\end{array}$$

（I-i）最大値の分布
最大値が $y$ 以下となるとき、すべての $Y_i$ が $y$ 以下となるので、 $$\begin{array}{r}{F}_3\left(y\right)=P(Y_1\le y,Y_2\le y,Y_3\le y)\end{array}$$ すべての確率変数は互いに独立であるため、この確率は、 $$\begin{array}{rl}{F}_3\left(y\right)& =P(X_1\le y)\cdot P(X_2\le y)\cdot P(X_n\le y)\\ & =G\left(y\right)\cdot G\left(y\right)\cdot G\left(y\right)\\ & =y^3\end{array}$$ 累積分布関数と確率密度関数の関係 $f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}{f}_3\left(y\right)=3y^2\end{array}$$

（I-ii）最小値の分布
最小値が $y$ 以下となるとき、少なくとも1つの $Y_i$ が $y$ 以下となる。これは、「すべての $Y_i$ が $y$ 以上となる事象」の余事象であるから、 $$\begin{array}{r}{F}_1\left(y\right)=1-P(y\le Y_1,y\le Y_2,y\le Y_3)\end{array}$$ 確率変数は互いに独立であるため、この確率は、 $$\begin{array}{r}{F}_1\left(y\right)=1-P(y\le Y_1)\cdot P(y\le Y_2)\cdot P(y\le Y_3)\end{array}$$ 確率の基本性質 $P(x\le X)=1-P(X\le x)$ より、 $$\begin{array}{rl}{F}_1\left(y\right)& =1-[\{1-G\left(y\right)\}\cdot \{1-G\left(y\right)\}\cdot \{1-G\left(y\right)\}]\\ & =1-{(1-y)}^3\end{array}$$ 累積分布関数と確率密度関数の関係 $f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{f}_1\left(y\right)& =-3{(1-y)}^2\cdot \frac{d}{dy}(1-y)\\ & =3{(1-y)}^2\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}{f}_3\left(y\right)=\{\begin{array}{cc}3y^2& 0\le y\le 1\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\\ f_1\left(y\right)=\{\begin{array}{cc}3{(1-y)}^2& 0\le y\le 1\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$

（II）期待値
期待値の定義式 $E\left(Y\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y\cdot f\left(y\right)dy$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(Y_3\right)& ={\int }_0^{1}y\cdot 3y^{2}dy\\ & ={\int }_0^{1}3y^{3}dy\\ & ={\left[\frac{3}{4}{y}^4\right]}_0^1\\ & =\frac{3}{4}(1-0)\\ & =\frac{3}{4}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}E\left(Y_1\right)& ={\int }_0^{1}y\cdot 3{(1-y)}^{2}dy\\ & =3{\int }_0^1(y-2y^2+y^3)dy\\ & =3{[\frac{1}{4}{y}^4-\frac{2}{3}{y}^3+\frac{1}{2}{y}^2]}_0^1\\ & =3(\frac{1}{4}-\frac{2}{3}+\frac{1}{2})\\ & =\frac{1}{4}\end{array}$$ $◼$

〔2〕2番目に大きい値の分布

2番目の値が $y$ 以下となるのは、
$X_1,X_2,X_3$ のうち2つが $y$ 以下、かつ、1つが $y$ 以上 もしくは、 $X_1,X_2,X_3$ のすべてが $y$ 以下 のときであるから、 （a）2つが $y$ 以下となる確率は、 $$\begin{array}{rl}{P}_1& ={}_3{C}_2\cdot P(X_1\le y)\cdot P(X_2\le y)\cdot P(X_3\ge y)\\ & =3\cdot y\cdot y\cdot (1-y)\\ & =3y^2-3y^3\end{array}$$

（b）3つが $y$ 以下となる確率は、（i）の結果より、 $$\begin{array}{rl}{P}_2& =y^3\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}{F}_2\left(y\right)& =3y^2-3y^3+y^3\\ & =3y^2-2y^3\end{array}$$ 累積分布関数と確率密度関数の関係 $f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{f}_2\left(x\right)& =-6y^2+6y\end{array}$$ また、累積分布関数の定義 $P(Y_2<y)=F_2\left(y\right)$ より、累積分布関数に $y=0.5$ を代入すると、 $$\begin{array}{rl}P(Y_2<0.5)& =3\cdot {0.5}^2-2\cdot {0.5}^3\\ & =0.75-0.25\\ & =0.5\end{array}$$ $◼$

〔3〕標本範囲の期待値と分散

（i）期待値
期待値の性質 $E(Y_3-Y_1)=E\left(Y_3\right)-E\left(Y_1\right)$& より、 $$\begin{array}{r}E\left(Z\right)=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\end{array}$$ （ii）分散
定義より、$Y_1$ と $Y_3$ の同時分布関数は、 $$\begin{array}{r}{F}_{1,3}(y_1,y_3)=P(Y_1\le y_1,Y_3\le y_3)\end{array}$$ すなわち、 最小値が $y_1$ 以下 かつ 最大値が $y_3$ 以下となる確率 これは、 「最大値が $y_3$ 以下」と「最小値が $y_1$ 以上 かつ 最大値が $y_3$ 以下」の差事象 と言い換えることができるので、 $$\begin{array}{rl}{F}_{1,3}(y_1,y_3)& =P[X_{\left(1\right)}\le x_1,X_{\left(n\right)}\le x_n]\\ & =P(Y_3\le y_3)-P(y_1<Y_1,Y_3\le y_3)\\ & =F_3\left(y_3\right)-P(y_1<X_1\le y_3,y_1<X_2\le y_3,y_1<X_3\le y_3)\\ & =y_3^3-P(y_1<X_1\le y_3)\cdot P(y_1<X_2\le y_3)\cdot P(y_1<X_3\le y_3)\\ & =y_3^3-{\{G\left(y_3\right)-G\left(y_1\right)\}}^3\\ & =y_3^3-{(y_3-y_1)}^3\end{array}$$ 同時分布関数と同時確率密度関数の関係 $f(x,y)=\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}F(x,y)$ より、 $$\begin{array}{rl}{f}_{1,3}(y_1,y_3)& =\frac{\partial }{\partial y_3}\{-3{(y_3-y_1)}^2\cdot \frac{\partial }{\partial y_1}(y_3-y_1)\}\\ & =\frac{\partial }{\partial y_3}\left\{3{(y_3-y_1)}^2\right\}\\ & =6(y_3-y_1)\end{array}$$ ここで、$Y_3,Y_1$が取り得る値は、 $$\begin{array}{c}0\le Y_1\le Y_3\le 1\end{array}$$ 期待値の定義式 $E\left[g(x,y)\right]={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x,y)\cdot f(x,y)dxdy$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(Z^2\right)& ={\int }_0^1{\int }_0^{y_3}{(y_3-y_1)}^2\cdot 6(y_3-y_1)d{y}_{1}d{y}_3\\ & ={\int }_0^{1}6d{y}_3{\int }_0^{y_3}{(y_3-y_1)}^{3}d{y}_1\\ & =\frac{3}{2}{\int }_0^1-{\left[{(y_3-y_1)}^4\right]}_0^{y_3}d{y}_3\\ & =\frac{3}{2}{\int }_0^1{y}_3^{4}d{y}_3\\ & =\frac{3}{10}{\left[y_3^5\right]}_0^1\\ & =\frac{3}{10}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{r}V\left(Z\right)=\frac{3}{10}-\frac{1}{4}=\frac{1}{20}\end{array}$$ $◼$

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