統計検定 1級 2021年 統計数理 問4 無作為標本の関数の3乗値に関する問題

本稿には、2021年に実施された統計検定1級『統計数理』 問4の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕標本平均の分散

確率変数が互いに独立な時、分散の性質 $V\left(\sum _{i=1}^{n}a{X}_i\right)=a^2\sum _{i=1}^{n}V\left(X_i\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(\overline{X}\right)& =V\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)\\ & =\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}V\left(X_i\right)\\ & =\frac{1}{n^2}\cdot n{\sigma }^2\\ & =\frac{{\sigma }^2}{n}\end{array}$$ $◼$

〔2〕観測値の差の3乗値の期待値

$$\begin{array}{r}{(X_1-X_2)}^3=X_1^3-3X_1^2{X}_2+3X_1{X}_2^2-X_2^3\end{array}$$ 両辺の期待値を取ると、 $$\begin{array}{rl}E\left[{(X_1-X_2)}^3\right]& =E(X_1^3-3X_1^2{X}_2+3X_1{X}_2^2-X_2^3)\\ & =E\left(X_1^3\right)-3E\left(X_1^2{X}_2\right)+3E\left(X_1{X}_2^2\right)-E\left(X_2^3\right)\end{array}$$ $X_1,X_2$ は互いに独立なので、期待値の性質 $E[g_1\left(X_1\right)\cdot g_2\left(X_2\right)]=E\left[g_1\left(X_1\right)\right]\cdot E\left[g_2\left(X_2\right)\right]$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left[{(X_1-X_2)}^3\right]& =E\left(X_1^3\right)-3E\left(X_1^2\right)E\left(X_2\right)+3E\left(X_1\right)E\left(X_2^2\right)-E\left(X_2^3\right)\\ & =E\left(X^3\right)-3E\left(X^2\right)E\left(X\right)+3E\left(X\right)E\left(X^2\right)-E\left(X^3\right)\\ & =0\end{array}$$ $◼$

〔3〕偏差の関数の期待値

偏差の期待値を求めると、 $$\begin{array}{rl}E\left[Y_i\right]& =E(X_i-\mu )\\ & =E\left(X_i\right)-\mu \\ & =\mu -\mu \\ & =0\end{array}$$ （i）偏差の3乗値の期待値
問題文の定義より、 $$\begin{array}{r}E\left[Y_i^3\right]=E\left[{(X_i-\mu )}^3\right]=\tau \end{array}$$ （ii）偏差の2乗値と偏差の積の期待値
分散の定義式より、 $$\begin{array}{r}E\left[Y_i^2\right]=E\left[{(X_i-\mu )}^2\right]={\sigma }^2\end{array}$$ $Y_i,Y_i$ は互いに独立なので、期待値の性質 $E[g_i\left(Y_i\right)\cdot g_j\left(Y_i\right)]=E\left[g_i\left(Y_i\right)\right]\cdot E\left[g_j\left(Y_i\right)\right]$ より、 $$\begin{array}{r}E\left[Y_i^2{Y}_j\right]=E\left[Y_i^2\right]E\left[Y_j\right]={\sigma }^2\cdot 0=0\end{array}$$ （iii）偏差の積の期待値
（ii）と同様に、 $$\begin{array}{r}E\left[Y_i{Y}_j{Y}_k\right]=E\left[Y_i\right]E\left[Y_j\right]E\left[Y_k\right]=0\cdot 0\cdot 0=0\end{array}$$ $◼$

〔4〕標本平均からの偏差の3乗値の期待値

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^3& =\sum _{i=1}^n{\{(X_i-\mu )-(\overline{X}-\mu )\}}^3\\ & =\sum _{i=1}^n\{{(X_i-\mu )}^3-3{(X_i-\mu )}^2(\overline{X}-\mu )+3(X_i-\mu ){(\overline{X}-\mu )}^2-{(\overline{X}-\mu )}^3\}\\ & =\sum _{i=1}^n\{Y_i^3-3Y_i^2(\overline{X}-\mu )+3Y_i{(\overline{X}-\mu )}^2-{(\overline{X}-\mu )}^3\}\\ & =\sum _{i=1}^n{Y}_i^3-3(\overline{X}-\mu )\sum _{i=1}^n{Y}_i^2+3{(\overline{X}-\mu )}^2\sum _{i=1}^n{Y}_i-n{(\overline{X}-\mu )}^3\end{array}$$ 両辺の期待値を取ると、 $$\begin{array}{rl}E\left\{\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^3\right\}& =E\{\sum _{i=1}^n{Y}_i^3-3(\overline{X}-\mu )\sum _{i=1}^n{Y}_i^2+3{(\overline{X}-\mu )}^2\sum _{i=1}^n{Y}_i-n{(\overline{X}-\mu )}^3\}\\ & =\sum _{i=1}^{n}E\left(Y_i^3\right)-3E\left[(\overline{X}-\mu )\sum _{i=1}^n{Y}_i^2\right]+3E\left[{(\overline{X}-\mu )}^2\sum _{i=1}^n{Y}_i\right]-nE\left[{(\overline{X}-\mu )}^3\right]\\ \text{(1)}& & =nE\left(Y_i^3\right)-3E\left[(\overline{X}-\mu )\sum _{i=1}^n{Y}_i^2\right]+3E\left[{(\overline{X}-\mu )}^2\sum _{i=1}^n{Y}_i\right]-nE\left[{(\overline{X}-\mu )}^3\right]\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{rl}\overline{X}-\mu & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-\frac{1}{n}\cdot n\mu \\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i\end{array}$$ よって、
（i）式 $(1)$ 第2項 $$\begin{array}{rl}E\left[(\overline{X}-\mu )\sum _{i=1}^n{Y}_i^2\right]& =E\left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i\sum _{i=1}^n{Y}_i^2\right]\\ & =\frac{1}{n}E\left[\sum _{i=1}^n{Y}_i\sum _{i=1}^n{Y}_i^2\right]\\ & =\frac{1}{n}E[\sum _{i=1}^n{Y}_i^3+\sum _{j\ne i}\sum _{i=1}^n{Y}_i^2{Y}_j]\\ & =\frac{1}{n}[\sum _{i=1}^{n}E\left(Y_i^3\right)+\sum _{j\ne i}\sum _{i=1}^{n}E\left(Y_i^2{Y}_j\right)]\end{array}$$ 〔3〕の結果より、 $$\begin{array}{rl}E\left[(\overline{X}-\mu )\sum _{i=1}^n{Y}_i^2\right]& =\frac{1}{n}\cdot (n\tau +0)=\tau \end{array}$$ 以下、残りの項について、実質的に意味のある $Y_i^3$ となる項について考えると、
（ii）式 $(1)$ 第3項
$$\begin{array}{rl}E\left[{(\overline{X}-\mu )}^2\sum _{i=1}^n{Y}_i\right]& =E\left[{\left\{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i\right\}}^2\sum _{i=1}^n{Y}_i\right]\\ & =E\left[\frac{1}{n^2}{\left\{\sum _{i=1}^n{Y}_i\right\}}^3\right]\\ & =\frac{1}{n^2}E[\sum _{i=1}^n{Y}_i^3+\sum _{j\ne i}\sum _{i=1}^n{Y}_i^2{Y}_j+\sum _{k\ne j\ne i}\sum _{j\ne i}\sum _{i=1}^n{Y}_i{Y}_j{Y}_k]\\ & =\frac{1}{n^2}[\sum _{i=1}^{n}E\left(Y_i^3\right)+\sum _{j\ne i}\sum _{i=1}^{n}E\left(Y_i^2{Y}_j\right)+\sum _{k\ne j\ne i}\sum _{j\ne i}\sum _{i=1}^{n}E\left(Y_i{Y}_j{Y}_k\right)]\\ & =\frac{1}{n^2}\cdot n\tau \\ & =\frac{\tau }{n}\end{array}$$ （iii）式 $(1)$ 第4項
$$\begin{array}{rl}E\left[{(\overline{X}-\mu )}^3\right]& ={\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i\right)}^3\\ & =\frac{1}{n^3}\{\sum _{i=1}^{n}E\left(Y_i^3\right)+\sum _{j\ne i}\sum _{i=1}^{n}E\left(Y_i^2{Y}_j\right)+\sum _{k\ne j\ne i}\sum _{j\ne i}\sum _{i=1}^{n}E\left(Y_i{Y}_j{Y}_k\right)\}\\ & =\frac{1}{n^3}\cdot n\tau \\ & =\frac{\tau }{n^2}\end{array}$$ したがって、式 $(1)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left\{\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^3\right\}& =n\tau -3\tau +\frac{3\tau }{n}-n\cdot \frac{\tau }{n^2}\\ & =\frac{n^2-3n+2}{n}\tau \\ & =\frac{(n-1)(n-2)}{n}\tau \end{array}$$ $◼$

〔5〕不偏推定量のための規格化定数

$\hat{\tau }$ が $\tau$ の不偏推定量であるとき、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& E\left(\hat{\tau }\right)=\tau =E\left[Y_i^3\right]\end{array}$$ $\hat{\tau }$ の定義式を変形すると、 $$\begin{array}{rl}{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i\right)}^3& ={\left\{\sum _{i=1}^n{a}_i(Y_i+\mu )\right\}}^3\\ & ={\{\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i+\mu \sum _{i=1}^n{a}_i\}}^3\\ & ={\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i\right)}^3+3\mu \sum _{i=1}^n{a}_i{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i\right)}^2+3{\mu }^2{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i+{\mu }^3{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^3\end{array}$$ 両辺の期待値を取ると、 $$\begin{array}{rl}E\left(\hat{\tau }\right)& =E[{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i\right)}^3+3\mu \sum _{i=1}^n{a}_i{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i\right)}^2+3{\mu }^2{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i+{\mu }^3{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^3]\\ & =E\left[{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i\right)}^3\right]+3\mu \sum _{i=1}^n{a}_{i}E\left[{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i\right)}^2\right]+3{\mu }^2{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^{2}E\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i\right)+{\mu }^3{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^3\\ & =E\left[{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i\right)}^3\right]+\sum _{i=1}^n{a}_i\{3\mu E\left[{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i\right)}^2\right]+3{\mu }^2\sum _{i=1}^n{a}_{i}E\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i\right)+{\mu }^3{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2\}\\ \text{(2)}& & =E\left[{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i\right)}^3\right]+\sum _{i=1}^n{a}_i\{3\mu E\left[{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i\right)}^2\right]+{\mu }^3{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2\}\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{rl}E\left[{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i\right)}^3\right]& =\sum _{i=1}^n{a}_i^{3}E\left(Y_i^3\right)+\sum _{j\ne i}\sum _{i=1}^n{a}_i^2{a}_j\cdot E\left(Y_i^2{Y}_j\right)+\sum _{k\ne j\ne i}\sum _{j\ne i}\sum _{i=1}^n{a}_i{a}_j{a}_k\cdot E\left(Y_i{Y}_j{Y}_k\right)\\ & =\sum _{i=1}^n{a}_i^{3}E\left(Y_i^3\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}E\left[{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{Y}_i\right)}^2\right]& =\sum _{i=1}^n{a}_i^{2}E\left(Y_i^2\right)+\sum _{j\ne i}\sum _{i=1}^n{a}_i{a}_{j}E\left(Y_i{Y}_j\right)\\ & ={\sigma }^2\sum _{i=1}^n{a}_i^2\end{array}$$ したがって、式 $(2)$ は、 $$\begin{array}{}\text{(3)}& E\left(\hat{\tau }\right)=\sum _{i=1}^n{a}_i^{3}E\left(Y_i^3\right)+\sum _{i=1}^n{a}_i\{3\mu {\sigma }^2\sum _{i=1}^n{a}_i^2+{\mu }^3{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2\}\end{array}$$ 式 $(1)$ と式 $(3)$ の係数を比較すると、 $$\begin{array}{c}\sum _{i=1}^n{a}_i^3=1\\ \sum _{i=1}^n{a}_i=0\mathrm{or}3\mu {\sigma }^2\sum _{i=1}^n{a}_i^2+{\mu }^3{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^2=0\end{array}$$ ここで、$a_1,\cdots ,a_n$ 未知パラメータ $\mu ,{\sigma }^2$ に依存しないので、求める条件は、 $$\begin{array}{c}\sum _{i=1}^n{a}_i^3=1\\ \sum _{i=1}^n{a}_i=0\end{array}$$ $◼$

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