統計検定 1級 2017年 統計数理 問3 ポアソン分布に関する問題

本稿には、2017年に実施された統計検定1級『統計数理』 問3の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕ポアソン分布の確率関数の導出

$p=\frac{\lambda}{n}$ を代入して、二項分布の確率関数を変形すると、 \begin{align} f \left(x\right)&={}_{n}C_xp^x \left(1-p\right)^{n-x}\\ &=\frac{n!}{x! \left(n-x\right)!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^x \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x}\\ &=\frac{1}{x!} \cdot \frac{n!}{ \left(n-x\right)!} \cdot \frac{\lambda^x}{n^x} \cdot \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n\\ &=\frac{\lambda^x}{x!} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n \cdot \frac{n \left(n-1\right) \cdots \left(n-x+1\right)}{n^x} \cdot \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}\\ &=\frac{\lambda^x}{x!} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n \left(\frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n-x+1}{n}\right) \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x} \end{align} 両辺の $n\rightarrow\infty$ のときの極限を取ると、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{f \left(x\right)}&=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left\{\frac{\lambda^x}{x!} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n \left(\frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n-x+1}{n}\right) \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}\right\}}\\ &=\frac{\lambda^x}{x!}\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n} \cdot \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(\frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n-x+1}{n}\right)} \cdot \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}} \end{align} ここで、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(\frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n-x+1}{n}\right)}=1 \cdot 1 \cdot \cdots \cdot 1=1\\ \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-x}}= \left(1-0\right)^{-x}=1 \end{gather} したがって、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{f \left(x\right)}=\frac{\lambda^x}{x!}\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n} \end{align} また、ネイピアの数の定義式より、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{ \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}=e^{-\lambda} \end{align} したがって、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{f \left(x\right)}=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!} \end{align} $\blacksquare$

〔2〕ポアソン分布のモーメント母関数と期待値・分散

（i）モーメント母関数の導出
モーメント母関数の定義式 $M_X \left(t\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{e^{tx} \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} M_X \left(t\right)&=\sum_{x=0}^{\infty}{e^{tx} \cdot \frac{\lambda^x}{x!}}\\ &=e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty}{ \cdot \frac{ \left(\lambda e^t\right)^x}{x!}} \end{align} 指数関数のマクローリン展開 $e^\alpha=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{\alpha^x}{x!}$ より、$\alpha=\lambda e^t$ とすると、 \begin{align} M_X \left(t\right)&=e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda e^t}\\ &=e^{-\lambda+\lambda e^t}\\ &=e^{\lambda \left(e^t-1\right)} \end{align}

（ii）期待値
モーメント母関数の1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 \begin{align} M_X^{ \left(1\right)} \left(t\right)&=e^{\lambda \left(e^t-1\right)} \cdot \frac{d}{dt} \left(\lambda e^t-\lambda\right)\\ &=e^{\lambda \left(e^t-1\right)} \cdot \lambda e^t\\ \end{align} 1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(1\right)} \left(0\right)=E \left(X\right)$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&=e^{\lambda \left(1-1\right)} \cdot \lambda e^0\\ &=\lambda \end{align}

（iii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、積の微分公式より、 \begin{align} M_X^{ \left(2\right)} \left(t\right)&=\lambda e^t \cdot \frac{d}{dt} \left\{e^{\lambda \left(e^t-1\right)}\right\}+e^{\lambda \left(e^t-1\right)} \cdot \frac{d}{dt} \left(\lambda e^t\right)\\ &=\lambda e^t \cdot e^{\lambda \left(e^t-1\right)} \cdot \lambda e^t+e^{\lambda \left(e^t-1\right)} \cdot \lambda e^t\\ &=\lambda^2e^{2t} \cdot e^{\lambda \left(e^t-1\right)}+\lambda e^t \cdot e^{\lambda \left(e^t-1\right)} \end{align} 2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)=E \left(X^2\right)$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\lambda^2e^0 \cdot e^{\lambda \left(1-1\right)}+\lambda e^0 \cdot e^{\lambda \left(1-1\right)}\\ &=\lambda^2+\lambda \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)&=\lambda^2+\lambda-\lambda^2\\ &=\lambda \end{align} $\blacksquare$

〔3〕ポアソン分布の再生性

ポアソン分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{gather} M_{X_1} \left(t\right)=e^{\lambda_1 \left(e^t-1\right)}\\ M_{X_2} \left(t\right)=e^{\lambda_2 \left(e^t-1\right)} \end{gather} モーメント母関数の性質 $M_Y \left(t\right)=M_{X_1} \left(t\right) \cdot M_{X_2} \left(t\right)$ より、 \begin{align} M_Y \left(t\right)&=e^{\lambda_1 \left(e^t-1\right)} \cdot e^{\lambda_2 \left(e^t-1\right)}\\ &=e^{ \left(\lambda_1+\lambda_2\right) \left(e^t-1\right)} \end{align} これは、ポアソン分布 \begin{align} \mathrm{Po} \left(\lambda_1+\lambda_2\right) \end{align} のモーメント母関数とみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Y$ は、ポアソン分布 \begin{align} Y \sim \mathrm{Po} \left(\lambda_1+\lambda_2\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$

〔4〕ポアソン分布の極限分布

モーメント母関数の定義式 $M_Z \left(t\right)=E \left(e^{Zt}\right)$ より、 \begin{align} M_Z \left(\theta\right)&=E \left(e^{\frac{X-\lambda}{\sqrt\lambda}t}\right)\\ &=E \left(e^{\frac{X}{\sqrt\lambda}t-\sqrt\lambda t}\right)\\ &=e^{-\sqrt\lambda t} \cdot E \left(e^{\frac{t}{\sqrt\lambda}X}\right)\\ &=\mathrm{exp} \left(-\sqrt\lambda t\right) \cdot \mathrm{exp} \left\{\lambda \left(e^\frac{t}{\sqrt\lambda}-1\right)\right\}\\ &=\mathrm{exp} \left\{\lambda \left(e^\frac{t}{\sqrt\lambda}-1\right)-\sqrt\lambda t\right\} \end{align} ここで、$g \left(t\right)=e^\frac{t}{\sqrt\lambda}$ をマクローリン展開すると、 \begin{align} e^\frac{t}{\sqrt\lambda}&=1+\frac{t}{\sqrt\lambda}+\frac{1}{2!} \left(\frac{t}{\sqrt\lambda}\right)^2+\frac{1}{3!} \left(\frac{t}{\sqrt\lambda}\right)^3+ \cdots \\ &=1+\frac{t}{\sqrt\lambda}+\frac{t^2}{2\lambda}+\frac{t^3}{6\lambda\sqrt\lambda}+ \cdots \end{align} したがって、 \begin{align} M_Z \left(t\right)&=\mathrm{exp} \left\{\lambda \left(1+\frac{t}{\sqrt\lambda}+\frac{t^2}{2\lambda}+\frac{t^3}{6\lambda\sqrt\lambda}+ \cdots \right)-\lambda-\sqrt\lambda t\right\}\\ &=\mathrm{exp} \left\{ \left(\lambda+\sqrt\lambda t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6\sqrt\lambda}+ \cdots \right)-\lambda-\sqrt\lambda t\right\}\\ &=\mathrm{exp} \left(\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6\sqrt\lambda}+ \cdots \right) \end{align} $\lambda\rightarrow\infty$ のときの極限を取ると、 \begin{align} \lim_{\lambda\rightarrow\infty}{M_Z \left(t\right)}=\mathrm{exp} \left(\frac{t^2}{2}\right) \end{align} これは、標準正規分布 \begin{align} \mathrm{N} \left(0,1\right) \end{align} のモーメント母関数であるから、 モーメント母関数の一意性により、$\lambda\rightarrow\infty$ のとき確率変数 $Z$ は標準正規分布 \begin{align} Z\xrightarrow[]{d}\mathrm{N} \left(0,1\right) \end{align} に分布収束する。 $\blacksquare$

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