本稿には、2021年に実施された統計検定1級『統計数理』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
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- この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕確率変数の期待値の算出
期待値の定義式 $E \left(X\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)dx}$ より、
（i）$X$ の期待値
\begin{align}
E \left(X\right)=\int_{0}^{\infty}{x \cdot e^{-x}dx}
\end{align}
部分積分法により、
\begin{align}
E \left(X\right)&= \left[-x \cdot e^{-x}\right]_0^\infty-\int_{0}^{\infty}{-e^{-x}dx}\\
&=-\lim_{x\rightarrow\infty}{x \cdot e^{-x}}+\int_{0}^{\infty}{e^{-x}dx}
\end{align}
ここで、ロピタルの定理より、
\begin{align}
\lim_{x\rightarrow\infty}{xe^{-x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{x}{e^x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{1}{e^x}}=0
\end{align}
したがって、
\begin{align}
E \left(X\right)&=\int_{0}^{\infty}{e^{-x}dx}\\
&= \left[-e^{-x}\right]_0^\infty\\
&=- \left(\lim_{x\rightarrow\infty}{e^{-x}}-e^0\right)\\
&=- \left(0-1\right)\\
&=1
\end{align}
（ii）$Y$ の期待値 \begin{align} E \left(Y\right)&=\int_{0}^{1}{y \cdot d y}\\ &= \left[\frac{1}{2}y^2\right]_0^1\\ &=\frac{1}{2} \left(1-0\right)\\ &=\frac{1}{2} \end{align} $\blacksquare$
〔2〕独立な確率変数の積の期待値
$X$ と $Y$ が独立なとき、期待値の性質 $E \left(XY\right)=E \left(X\right) \cdot E \left(Y\right)$ より、 \begin{align} E \left(XY\right)=1 \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{align} $\blacksquare$
〔3〕独立な確率変数の和の確率密度関数の導出
$X$ と $Y$ が独立なとき、同時確率密度関数 $f_{X,Y} \left(x,y\right)=f_X \left(x\right) \cdot f_Y \left(y\right)$ は、 \begin{align} f_{X,Y} \left(x,y\right)= \left\{\begin{matrix}e^{-x}&0 \lt x,0 \lt y \lt 1\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right. \end{align} 次のような変数変換を行うと、 \begin{gather} \left\{\begin{matrix}w=x\\z=x+y\\\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=w\\y=z-w\\\end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix}0 \lt x\\0 \lt y \lt 1\\\end{matrix}\right. \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{matrix}0 \lt w\\0 \lt z-w \lt 1\\\end{matrix}\right. \end{gather} 変数変換のヤコビアンは、 \begin{align} J&= \left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial w}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\frac{\partial x}{\partial z}&\frac{\partial y}{\partial z}\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|\begin{matrix}-1&1\\1&0\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|-1\right|\\ &=1 \end{align} このとき、$w,s$ の同時確率密度関数 $g_{W,Z} \left(w,z\right)=f_X \left(z-w\right) \cdot f_Y \left(w\right) \left|J\right|$ は、 \begin{align} g_{W,Z} \left(w,z\right)=e^{-w} \cdot 1 \cdot 1=e^{-w} \end{align} ここで、$w$ の定義域は、 \begin{align} \left\{\begin{matrix}0 \lt w\\z-1 \lt w \lt z\\\end{matrix}\right. \end{align} よって、周辺確率密度関数算出の定義式 $f \left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x,y\right)dy$ より、$Z$ の周辺確率密度関数は、
（i）$0 \lt z \lt 1$ のとき \begin{align} g_Z \left(z\right)&=\int_{0}^{z}e^{-w}dw\\ &= \left[-e^{-w}\right]_0^z\\ &=- \left(e^{-z}-e^0\right)\\ &=1-e^{-z} \end{align}
（i）$1 \le z$ のとき \begin{align} g_Z \left(z\right)&=\int_{z-1}^{z}e^{-w}dw\\ &= \left[-e^{-w}\right]_{z-1}^z\\ &=- \left[e^{-z}-e^{-z+1}\right]_0^z\\ &=e^{-z+1}-e^{-z}\\ &=e^{-z} \left(e-1\right) \end{align} したがって、 \begin{align} g_Z \left(z\right)= \left\{\begin{matrix}1-e^{-z}&0 \lt z \lt 1\\e^{-z} \left(e-1\right)&1 \le z\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right. \end{align} グラフの概形を描くと、以下のようになる。 $\blacksquare$
〔4〕確率変数同士の関係式の導出
分布関数の定義式 $F \left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}f \left(t\right)dt$ より、 \begin{align} F_X \left(x\right)&=\int_{0}^{x}{e^{-t}dt}\\ &= \left[-e^{-t}\right]_0^x\\ &=1-e^{-x}\\ F_Y \left(y\right)&=\int_{0}^{y}{1 \cdot d t}\\ &= \left[t\right]_0^y\\ &=y \end{align} また、分布関数の定義式 $F \left(x\right)=P \left(X \le x\right)$ より、 \begin{align} F_X \left(x\right)&=P \left(X \le x\right)\\ &=P \left\{h \left(X\right) \le h \left(x\right)\right\}\\ &=P \left\{Y \le h \left(x\right)\right\}\\ &=F_Y \left[h \left(x\right)\right] \end{align} したがって、 \begin{align} h \left(x\right)=1-e^{-x} \end{align} また、このとき、 \begin{align} E \left(XY\right)&=E \left[X \left(1-e^{-X}\right)\right]\\ &=E \left(X-Xe^{-X}\right)\\ &=E \left(X\right)-E \left(Xe^{-X}\right) \end{align} 期待値の定義式 $E \left(Xe^{-X}\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{xe^{-x} \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} E \left(Xe^{-X}\right)=\int_{0}^{\infty}{xe^{-x} \cdot e^{-x}dx}\\ =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}{x \cdot 2e^{-2x}dx} \end{align} 部分積分法により、 \begin{align} E \left(Xe^{-X}\right)&=\frac{1}{2} \left[-x \cdot e^{-2x}\right]_0^\infty-\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}{-e^{-2x}dx}\\ &=-\lim_{x\rightarrow\infty}{x \cdot e^{-2x}}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}{e^{-2x}dx} \end{align} ここで、ロピタルの定理より、 \begin{align} \lim_{x\rightarrow\infty}{xe^{-2x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{x}{e^{2x}}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{1}{2e^x}}=0 \end{align} したがって、 \begin{align} E \left(Xe^{-X}\right)&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}{e^{-2x}dx}\\ &=\frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_0^\infty\\ &=-\frac{1}{4} \left(\lim_{x\rightarrow\infty}{e^{-2x}}-e^0\right)\\ &=-\frac{1}{4} \left(0-1\right)\\ &=\frac{1}{4} \end{align} したがって、 \begin{align} E \left(XY\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \end{align} $\blacksquare$
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