統計検定 1級 2017年 統計数理 問2 連続一様分布の上限値の推定

本稿には、2017年に実施された統計検定1級『統計数理』 問2の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕連続一様分布の最尤推定量

本問において、確率変数 $X$ は $$\begin{array}{r}\mathrm{U}\sim (0,\theta )\end{array}$$ 尤度関数 $L\left(\theta \right)$ を求めると、 $$\begin{array}{rl}L\left(\theta \right)& =\prod _{i=1}^n\frac{1}{\theta }\\ & =\frac{1}{{\theta }^n}\end{array}$$ 対数尤度関数 $l\left(\theta \right)=\log L\left(\theta \right)$ を求めると、 $$\begin{array}{r}l\left(\theta \right)=-n\log \theta \end{array}$$ ここで、この対数尤度関数は、$0<\theta$ において単調減少な関数であり、論理的に、 $$\begin{array}{r}{X}_{\max }\le \theta \end{array}$$ という制約があるため、 実際には、 $$\begin{array}{r}l\left(\theta \right)=\{\begin{array}{cc}0& \theta <X_{\max }\\ -n\log \theta & X_{\max }\le \theta \end{array}\end{array}$$ したがって、対数尤度関数は、 $$\begin{array}{r}\hat{\theta }=X_{\max }\end{array}$$ において最大となるから、 最尤推定量の定義より、$\theta$ の最尤推定量は $\hat{\theta }=X_{\max }$ である。 $◼$

〔2〕連続一様分布の不偏推定量

期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx$ より、この分布の期待値は、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& ={\int }_0^{\theta }x\cdot \frac{1}{\theta }dx\\ & =\frac{1}{\theta }{\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^{\theta }\\ & =\frac{1}{\theta }(\frac{b^2}{2}-\frac{a^2}{2})\\ & =\frac{1}{\theta }\cdot \frac{{\theta }^2}{2}\\ & =\frac{\theta }{2}\end{array}$$ ${\theta }^{\prime }$ の期待値を取ると、 $$\begin{array}{rl}E\left({\theta }^{\prime }\right)& =E\left(\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)\\ & =\frac{2}{n}E\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)\\ & =\frac{2}{n}\sum _{i=1}^{n}E\left(X_i\right)\\ & =\frac{2}{n}\cdot \frac{n\theta }{2}\\ & =\theta \end{array}$$ よって、$E\left(\hat{\theta }\right)=\theta$ が成り立つので、${\theta }^{\prime }$ は $\theta$ の不偏推定量である。 $◼$

〔3〕最大値の分布

（i）累積分布関数
累積分布関数の定義式 $F\left(x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}f\left(t\right)dt$ より、
$0<x\le \theta$ のとき $$\begin{array}{rl}F\left(x\right)& ={\int }_0^x\frac{1}{\theta }dt\\ & =\frac{1}{\theta }{\int }_0^{x}1\cdot dt\\ & =\frac{1}{\theta }{\left[t\right]}_0^x\\ & =\frac{x}{\theta }\end{array}$$

（ii）最大値の分布
最大値が $x$ 以下となるとき、すべての $X_i$ が $x$ 以下となるので、 $$\begin{array}{r}{F}_{\max }\left(x\right)=P(X_1\le x,X_2\le x,\cdots X_n\le x)\end{array}$$ すべての確率変数は互いに独立であるため、この確率は、 $$\begin{array}{rl}{F}_{\max }\left(x\right)& =P(X_1\le x)\cdot P(X_2\le x)\cdot \cdots \cdot P(X_n\le x)\\ & =F\left(x\right)\cdot F\left(x\right)\cdot \cdots \cdot F\left(x\right)\\ & ={\left\{F\left(x\right)\right\}}^n\\ & =\frac{x^n}{{\theta }^n}\end{array}$$ 累積分布関数と確率密度関数の関係 $f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}{f}_{\max }\left(x\right)=\frac{n{x}^{n-1}}{{\theta }^n}\end{array}$$

（iii）${\theta }^{\prime \prime }$ の期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X_{\max }\right)& ={\int }_0^{\theta }x\cdot \frac{n{x}^{n-1}}{{\theta }^n}dx\\ & =\frac{n}{{\theta }^n}{\int }_0^{\theta }{x}^n\cdot dx\\ & =\frac{n}{{\theta }^n}{\left[\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}\right]}_0^{\theta }\\ & =\frac{n}{{\theta }^n}\cdot \frac{1}{n+1}{\theta }^{n+1}\\ & =\frac{n}{n+1}\cdot \theta \end{array}$$ 期待値の性質 $E\left(aX\right)=aE\left(X\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left({\theta }^{\prime \prime }\right)& =E\left(\frac{n+1}{n}{X}_{\max }\right)\\ & =\frac{n+1}{n}E\left(X_{\max }\right)\\ & =\frac{n+1}{n}\cdot \frac{n}{n+1}\cdot \theta \\ & =\theta \end{array}$$ よって、$E\left(\hat{\theta }\right)=\theta$ が成り立つので、${\theta }^{\prime \prime }$ は $\theta$ の不偏推定量である。 $◼$

〔4〕不偏推定量の相対効率

（i）${\theta }^{\prime }$ の分散
2乗の期待値の定義式 $E\left(X^2\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& ={\int }_0^{\theta }{x}^2\cdot \frac{1}{\theta }dx\\ & =\frac{1}{\theta }{\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^{\theta }\\ & =\frac{{\theta }^2}{3}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =\frac{{\theta }^2}{3}-\frac{{\theta }^2}{4}\\ & =\frac{{\theta }^2}{12}\end{array}$$ これを用いて、${\theta }^{\prime }$ の分散を求めると、 $$\begin{array}{rl}V\left({\theta }^{\prime }\right)& =V\left(\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)\\ & =\frac{4}{n^2}\sum _{i=1}^{n}V\left(X_i\right)\\ & =\frac{4}{n^2}\cdot \frac{n{\theta }^2}{12}\\ & =\frac{{\theta }^2}{3n}\end{array}$$

（ii）${\theta }^{\prime }$ の分散
2乗の期待値の定義式 $E\left(X^2\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X_{\max }^2\right)& ={\int }_0^{\theta }{x}^2\cdot \frac{n}{{\theta }^n}{x}^{n-1}dx\\ & =\frac{n}{{\theta }^n}{\left[\frac{1}{n+2}{x}^{n+2}\right]}_0^{\theta }\\ & =\frac{n}{{\theta }^n}\cdot \frac{{\theta }^{n+2}}{n+2}\\ & =\frac{n}{n+2}{\theta }^2\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X_{\max }\right)& =\frac{n}{n+2}{\theta }^2-\frac{n^2}{{(n+1)}^2}{\theta }^2\\ & =\frac{n(n^2+2n+1)-n^2(n+2)}{(n+2){(n+1)}^2}{\theta }^2\\ & =\frac{n^3+2n^2+n-n^3-2n^2}{(n+2){(n+1)}^2}{\theta }^2\\ & =\frac{n}{(n+2){(n+1)}^2}{\theta }^2\end{array}$$ これを用いて、${\theta }^{\prime \prime }$ の分散を求めると、 $$\begin{array}{rl}V\left({\theta }^{\prime \prime }\right)& =V\left(\frac{n+1}{n}{X}_{\max }\right)\\ & =\frac{{(n+1)}^2}{n^2}V\left(X_{\max }\right)\\ & =\frac{{(n+1)}^2}{n^2}\cdot \frac{n}{(n+2){(n+1)}^2}{\theta }^2\\ & =\frac{{\theta }^2}{n(n+2)}\end{array}$$

（iii）推定量の分散の大小関係
$n(n+2)$ と $3n$ の大小関係について、$1\le n$ なので、 $$\begin{array}{rl}n(n+2)-3n& =n^2+2n-3n\\ & =n^2-n\\ & =n(n-1)\ge 0\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{r}3n\le n(n+2)\iff \frac{1}{3n}\ge \frac{1}{n(n+2)}\end{array}$$ これより、$n=1$ のときは、 $$\begin{array}{r}V\left({\theta }^{\prime }\right)=V\left({\theta }^{\prime \prime }\right)\end{array}$$ $2\le n$ のときは、 $$\begin{array}{r}V\left({\theta }^{\prime }\right)>V\left({\theta }^{\prime \prime }\right)\end{array}$$ すなわち、サンプルサイズが2以上であれば、${\theta }^{\prime \prime }$ の方がより望ましい。 $◼$

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